Aspects énergétiques des phénomènes électriques

Une pile qui chauffe quand on la court-circuite, une batterie de téléphone dont la tension chute quand on lance un jeu, une lampe qui convertit l'électricité en lumière et en chaleur : tous ces phénomènes se comprennent avec un point de vue énergétique sur les circuits. Ce chapitre relie l'intensité au débit de charges, modélise une source réelle de tension par une source idéale et une résistance, puis établit le bilan de puissance d'un circuit pour définir le rendement d'un convertisseur.

1. Intensité et débit de charges

1.1 Porteurs de charge

Le courant électrique est un déplacement d'ensemble de porteurs de charge : des électrons (charge $-e$) dans les métaux, des ions dans les solutions électrolytiques. Par convention, le sens du courant est celui du déplacement des charges positives, de la borne $+$ vers la borne $-$ du générateur à l'extérieur de celui-ci ; les électrons circulent en sens inverse.

1.2 Intensité

L'intensité $I$ d'un courant continu est le débit de charges : la charge $Q$ qui traverse une section du conducteur pendant la durée $\Delta t$, divisée par cette durée.

$I = \frac{Q}{\Delta t} \qquad I \text{ en ampères (A)},\ Q \text{ en coulombs (C)},\ \Delta t \text{ en secondes (s)}$

Un ampère correspond à un coulomb par seconde. Le nombre de porteurs qui passent est $N = Q/e$ avec $e = 1{,}60 \times 10^{-19}$ C.

Exemple. Un courant de $0{,}50$ A pendant $2{,}0$ min transporte $Q = 0{,}50 \times 120 = 60$ C, soit $N = \dfrac{60}{1{,}60 \times 10^{-19}} = 3{,}8 \times 10^{20}$ électrons.

2. Modèle d'une source réelle de tension

2.1 Observation

Une pile neuve indique $4{,}5$ V « à vide », lorsqu'aucun courant ne circule. Dès qu'on la branche sur un récepteur, la tension à ses bornes diminue, d'autant plus que l'intensité débitée est grande. Une source réelle n'est donc pas une source de tension idéale (tension constante quel que soit le courant).

2.2 Le modèle

Une source réelle de tension continue est modélisée par l'association en série :

• d'une source idéale de tension, de force électromotrice $E$ (en V), qui impose une tension constante ;
• d'une résistance interne $r$ (en Ω), qui représente les pertes à l'intérieur de la source.

La tension $U$ aux bornes de la source réelle, lorsqu'elle débite l'intensité $I$, vaut

$U = E - r \, I$

• À vide ($I = 0$) : $U = E$.
• En court-circuit ($U = 0$) : $I_{cc} = E / r$, intensité maximale, dangereuse (échauffement).

2.3 Caractéristique

La caractéristique $U = f(I)$ d'une source réelle est une droite décroissante : ordonnée à l'origine $E$, coefficient directeur $-r$. On la relève en branchant la source sur un rhéostat (résistance variable) et en mesurant $U$ (voltmètre en parallèle) et $I$ (ampèremètre en série) pour plusieurs réglages.

Conséquences pratiques de la résistance interne. La tension utile diminue quand on tire beaucoup de courant (une lampe pâlit au démarrage d'un moteur branché sur la même pile) ; la source s'échauffe ; on ne peut pas dépasser $I_{cc}$ ; une batterie usée a une résistance interne plus grande, d'où une chute de tension marquée sous charge.

3. Puissance et énergie électriques

3.1 Puissance reçue ou fournie par un dipôle

La puissance électrique échangée par un dipôle traversé par le courant $I$ sous la tension $U$ vaut

$P = U \times I \qquad P \text{ en watts (W)},\ U \text{ en V},\ I \text{ en A}$

Pour un récepteur (lampe, moteur, résistance), c'est la puissance reçue ; pour un générateur, la puissance fournie au circuit. L'énergie échangée pendant la durée $\Delta t$ est

$E = P \times \Delta t \qquad E \text{ en joules (J)},\ \Delta t \text{ en s}$

Le kilowattheure est l'unité des factures : $1$ kWh $= 1\,000 \text{ W} \times 3\,600 \text{ s} = 3{,}6 \times 10^6$ J.

3.2 Effet Joule

Tout conducteur ohmique de résistance $R$ traversé par un courant $I$ convertit l'énergie électrique reçue en énergie thermique : c'est l'effet Joule. D'après la loi d'Ohm $U = R I$,

$P_J = U I = R \, I^2 = \frac{U^2}{R}$

L'effet Joule est utile (radiateur, bouilloire, grille-pain, fusible) ou subi (pertes dans les lignes électriques, échauffement des appareils, résistance interne des sources).

4. Bilan de puissance et rendement

4.1 Bilan de puissance d'un circuit

Dans un circuit, la puissance fournie par la source est intégralement répartie entre les récepteurs : conservation de l'énergie. Pour une source réelle ($E$, $r$) débitant $I$ dans un récepteur :

$\underbrace{E \, I}_{\text{puissance fournie par la source idéale}} = \underbrace{r \, I^2}_{\text{perdue par effet Joule dans } r} + \underbrace{U \, I}_{\text{puissance utile fournie au circuit}}$

On le retrouve en multipliant $U = E - rI$ par $I$.

4.2 Rendement d'un convertisseur

Un convertisseur transforme une forme d'énergie en une autre (moteur : électrique → mécanique ; lampe : électrique → lumineuse ; pile : chimique → électrique). Une partie de l'énergie reçue est toujours dissipée sous forme thermique. Le rendement est

$\eta = \frac{P_{\text{utile}}}{P_{\text{reçue}}} = \frac{E_{\text{utile}}}{E_{\text{reçue}}} \qquad 0 \leqslant \eta \leqslant 1$

Exemple. Une pile ($E = 4{,}5$ V, $r = 1{,}5$ Ω) débite $1{,}0$ A : puissance fournie par la source idéale $E I = 4{,}5$ W ; perdue dans $r$ : $r I^2 = 1{,}5$ W ; utile : $U I = 3{,}0 \times 1{,}0 = 3{,}0$ W. Rendement de la pile : $3{,}0/4{,}5 = 0{,}67$.

5. Exemple résolu pas à pas

Énoncé. Un moteur électrique de petit véhicule est alimenté par une batterie ($E = 12{,}0$ V, $r = 0{,}20$ Ω). En fonctionnement, le moteur reçoit une intensité $I = 5{,}0$ A et fournit une puissance mécanique de $48$ W.

a) Calculer la tension aux bornes de la batterie. b) Calculer la puissance électrique reçue par le moteur et son rendement. c) Établir le bilan de puissance de la batterie. d) Quelle énergie la batterie fournit-elle au moteur en $30$ min ? Combien d'électrons ont traversé le moteur ?

Résolution.

a) $U = E - rI = 12{,}0 - 0{,}20 \times 5{,}0 = 11{,}0$ V.

b) $P_{\text{reçue}} = U I = 11{,}0 \times 5{,}0 = 55$ W. Rendement : $\eta = \dfrac{48}{55} = 0{,}87$, soit $87\,\%$ ; les $7$ W restants sont dissipés par effet Joule dans les bobinages et par frottements.

c) Puissance de la source idéale : $E I = 12{,}0 \times 5{,}0 = 60$ W. Effet Joule interne : $r I^2 = 0{,}20 \times 25 = 5{,}0$ W. Puissance fournie au moteur : $U I = 55$ W. Vérification : $60 = 5{,}0 + 55$.

d) $E_{\text{él}} = P \Delta t = 55 \times 1\,800 = 9{,}9 \times 10^4$ J. Charge : $Q = I \Delta t = 5{,}0 \times 1\,800 = 9{,}0 \times 10^3$ C ; $N = Q/e = \dfrac{9{,}0 \times 10^3}{1{,}60 \times 10^{-19}} = 5{,}6 \times 10^{22}$ électrons.

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🎯 Rédiger. Distinguer la puissance de la source idéale ($EI$) de la puissance utile ($UI$) ; écrire le bilan sous la forme fournie $=$ utile $+$ dissipée ; donner un rendement sans unité (ou en $\%$) avec $P_{\text{utile}}$ au numérateur.

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📌 À retenir

1. Intensité = débit de charges : $I = Q/\Delta t$ ; $N = Q/e$ porteurs.
2. Source réelle = source idéale $E$ en série avec $r$ : $U = E - rI$ ; caractéristique droite de pente $-r$ ; $I_{cc} = E/r$.
3. Puissance $P = UI$, énergie $E = P\Delta t$ ; $1$ kWh $= 3{,}6 \times 10^6$ J.
4. Effet Joule : $P_J = RI^2$, conversion en énergie thermique.
5. Bilan : $EI = rI^2 + UI$ ; rendement $\eta = P_{\text{utile}}/P_{\text{reçue}} \leqslant 1$.