Thème le plus fréquent au brevet. Au moins un exercice porte sur le calcul littéral, les identités remarquables et/ou les équations. Maîtriser ce bloc, c'est sécuriser 15 à 25 points.
1. Calcul avec les fractions — Les automatismes
Additionner / soustraire
Règle : même dénominateur obligatoire.
ba+dc=b×da×d+c×b
💡 Méthode rapide : si les dénominateurs sont petits, on cherche le PPCM plutôt que de multiplier les dénominateurs entre eux.
Exemple type brevet : Calculer A=32−45+67.
Dénominateur commun : PPCM(3,4,6)=12
A=128−1215+1214=128−15+14=127
PGCD(7,12)=1 → irréductible ✅
Multiplier / diviser
Multiplier : numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux → simplifier avant si possible.
Diviser : multiplier par l'inverse → ba÷dc=ba×cd
Exemple type brevet : Calculer B=37×149.
Avant de multiplier : 7 et 14 → simplifier par 7 ; 9 et 3 → simplifier par 3.
B=11×23=23
Rendre irréductible
Diviser numérateur et dénominateur par leur PGCD.
Exemple : 12684 → PGCD(84,126)=42 → 126÷4284÷42=32
📌 Au brevet, le résultat final doit TOUJOURS être sous forme irréductible.
2. Puissances — Les pièges à éviter
Les règles essentielles
Règle
Formule
Piège
Produit même base
am×an=am+n
Ne s'applique que si la base est la même
Quotient même base
anam=am−n
Attention au signe de l'exposant
Puissance de puissance
(am)n=am×n
On multiplie les exposants (pas addition)
Exposant négatif
a−n=an1
Ce n'est pas un nombre négatif !
⚠️ Erreur fréquente : 23×53=103 ? En fait si : (2×5)3=103. Mais 23×52=105 ! On ne peut additionner les exposants que si la base est la même.
Notation scientifique
Exemple type brevet : La masse d'un atome d'hydrogène est m=1,67×10−27 kg. Un litre d'eau contient environ N=3,34×1025 molécules. Calculer la masse d'un litre d'eau.
M=m×N=1,67×3,34×10−27+25=5,5778×10−2≈5,58×10−2 kg
Soit environ 0,056 kg, cohérent avec ≈1 kg quand on multiplie par le nombre de molécules d'eau (2 atomes H + 1 atome O).
Méthode : on sépare toujours le calcul des parties décimales et le calcul des puissances de 10.
3. Racine carrée — Simplifier et calculer
Simplifier une racine
Méthode : trouver le plus grand carré parfait qui divise le nombre sous la racine.
Racine
Décomposition
Résultat
50
25×2
52
48
16×3
43
75
25×3
53
98
49×2
72
200
100×2
102
Les règles
✅ a×b=a×b et ba=ba
⛔ a+b=a+b — C'est l'erreur n°1 sur la racine carrée.
Preuve : 9+16=25=5 mais 9+16=3+4=7.
Lien avec Pythagore
Dans un triangle rectangle de côtés 3 et 5 : hypoténuse =32+52=34.
Si on demande la valeur exacte → laisser 34. Si on demande une valeur approchée → ≈5,83.
4. Développer — La boîte à outils
Simple distributivité
k(a+b)=ka+kb
Avec signe négatif : −2(3x−5)=−6x+10 ← attention au changement de signe !
Double distributivité
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
Exemple type brevet : Développer et réduire (3x+2)(x−5).
=3x×x+3x×(−5)+2×x+2×(−5)=3x2−15x+2x−10=3x2−13x−10
Identités remarquables — Développer
Identité
Résultat
Exemple
(a+b)2
a2+2ab+b2
(2x+3)2=4x2+12x+9
(a−b)2
a2−2ab+b2
(5x−1)2=25x2−10x+1
(a−b)(a+b)
a2−b2
(3x−7)(3x+7)=9x2−49
💡 Pour (a+b)2 et (a−b)2 : toujours 3 termes. Le terme du milieu (±2ab) est le double produit.
💡 Pour (a−b)(a+b) : seulement 2 termes. Pas de double produit (les termes en ab s'annulent).