Fiche Brevet — Calcul & Algèbre

Thème le plus fréquent au brevet. Au moins un exercice porte sur le calcul littéral, les identités remarquables et/ou les équations. Maîtriser ce bloc, c'est sécuriser 15 à 25 points.

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1. Calcul avec les fractions — Les automatismes

Additionner / soustraire

Règle : même dénominateur obligatoire.

$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \times d + c \times b}{b \times d}$

💡 Méthode rapide : si les dénominateurs sont petits, on cherche le PPCM plutôt que de multiplier les dénominateurs entre eux.

Exemple type brevet : Calculer $A = \dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{4} + \dfrac{7}{6}$.

• Dénominateur commun : $\text{PPCM}(3, 4, 6) = 12$
• $A = \dfrac{8}{12} - \dfrac{15}{12} + \dfrac{14}{12} = \dfrac{8 - 15 + 14}{12} = \dfrac{7}{12}$
• $\text{PGCD}(7, 12) = 1$ → irréductible ✅

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Multiplier / diviser

• Multiplier : numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux → simplifier avant si possible.
• Diviser : multiplier par l'inverse → $\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}$

Exemple type brevet : Calculer $B = \dfrac{7}{3} \times \dfrac{9}{14}$.

• Avant de multiplier : $7$ et $14$ → simplifier par $7$ ; $9$ et $3$ → simplifier par $3$.
• $B = \dfrac{1}{1} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{2}$

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Rendre irréductible

Diviser numérateur et dénominateur par leur PGCD.

Exemple : $\dfrac{84}{126}$ → $\text{PGCD}(84, 126) = 42$ → $\dfrac{84 \div 42}{126 \div 42} = \dfrac{2}{3}$

📌 Au brevet, le résultat final doit TOUJOURS être sous forme irréductible.

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2. Puissances — Les pièges à éviter

Les règles essentielles

⚠️ Erreur fréquente : $2^3 \times 5^3 \neq 10^3$ ? En fait si : $(2 \times 5)^3 = 10^3$. Mais $2^3 \times 5^2 \neq 10^5$ ! On ne peut additionner les exposants que si la base est la même.

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Notation scientifique

Exemple type brevet : La masse d'un atome d'hydrogène est $m = 1{,}67 \times 10^{-27}$ kg. Un litre d'eau contient environ $N = 3{,}34 \times 10^{25}$ molécules. Calculer la masse d'un litre d'eau.

$M = m \times N = 1{,}67 \times 3{,}34 \times 10^{-27+25} = 5{,}5778 \times 10^{-2} \approx 5{,}58 \times 10^{-2} \text{ kg}$

Soit environ $0{,}056$ kg, cohérent avec $\approx 1$ kg quand on multiplie par le nombre de molécules d'eau (2 atomes H + 1 atome O).

Méthode : on sépare toujours le calcul des parties décimales et le calcul des puissances de 10.

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3. Racine carrée — Simplifier et calculer

Simplifier une racine

Méthode : trouver le plus grand carré parfait qui divise le nombre sous la racine.

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Les règles

✅ $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ et $\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

⛔ $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ — C'est l'erreur n°1 sur la racine carrée.

Preuve : $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ mais $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$.

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Lien avec Pythagore

Dans un triangle rectangle de côtés 3 et 5 : hypoténuse $= \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{34}$.

Si on demande la valeur exacte → laisser $\sqrt{34}$. Si on demande une valeur approchée → $\approx 5{,}83$.

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4. Développer — La boîte à outils

Simple distributivité

$k(a + b) = ka + kb$

Avec signe négatif : $-2(3x - 5) = -6x + 10$ ← attention au changement de signe !

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Double distributivité

$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$

Exemple type brevet : Développer et réduire $(3x + 2)(x - 5)$.

$= 3x \times x + 3x \times (-5) + 2 \times x + 2 \times (-5) = 3x^2 - 15x + 2x - 10 = 3x^2 - 13x - 10$

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Identités remarquables — Développer

💡 Pour $(a+b)^2$ et $(a-b)^2$ : toujours 3 termes. Le terme du milieu ($\pm 2ab$) est le double produit.

💡 Pour $(a-b)(a+b)$ : seulement 2 termes. Pas de double produit (les termes en $ab$ s'annulent).

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5. Factoriser — La compétence clé du brevet

Étape 1 : chercher un facteur commun

$ab + ac = a(b + c)$

Exemples :

• $6x + 15 = 3(2x + 5)$
• $5x^2 - 15x = 5x(x - 3)$
• $(2x+1)(x-3) + (2x+1)(4x+7) = (2x+1)[(x-3) + (4x+7)] = (2x+1)(5x+4)$

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Étape 2 : si pas de facteur commun → identité remarquable

Reconnaître $a^2 - b^2$ (différence de deux carrés) : deux termes, les deux sont des carrés, séparés par un « − ».

Reconnaître $(a+b)^2$ ou $(a-b)^2$ (trinôme carré parfait) : trois termes, le premier et le dernier sont des carrés, le terme du milieu est $\pm 2ab$.

Exemple : $x^2 + 6x + 9$ → $x^2$ est le carré de $x$, $9 = 3^2$, et $6x = 2 \times x \times 3$ → $(x+3)^2$ ✅

Exemple : $4x^2 - 20x + 25$ → $4x^2 = (2x)^2$, $25 = 5^2$, et $20x = 2 \times 2x \times 5$ → $(2x - 5)^2$ ✅

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6. Équation produit nul — L'exercice star du brevet

La démarche complète

Étape 1 : L'expression est-elle un produit ? Si non → factoriser d'abord.

Étape 2 : Appliquer $A \times B = 0 \iff A = 0$ ou $B = 0$.

Étape 3 : Résoudre chaque équation simple.

Étape 4 : Écrire l'ensemble des solutions $S = \{... \; ; \; ...\}$.

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Exemple complet (niveau brevet)

Résoudre $(3x + 1)(x - 2) - (3x + 1)(5 - x) = 0$.

Étape 1 : Ce n'est pas un produit → on factorise par $(3x + 1)$ : $(3x + 1)[(x - 2) - (5 - x)] = 0$

On simplifie le crochet : $(x - 2) - (5 - x) = x - 2 - 5 + x = 2x - 7$

L'équation devient : $(3x + 1)(2x - 7) = 0$

Étape 2 : Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.

Étape 3 :

• $3x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\dfrac{1}{3}$
• $2x - 7 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{7}{2}$

$\boxed{S = \left\{-\frac{1}{3} \; ; \; \frac{7}{2}\right\}}$

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Autre exemple classique

Résoudre $x^2 - 25 = 0$.

Ce n'est pas un produit → on factorise : $x^2 - 5^2 = (x - 5)(x + 5) = 0$

$x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$ ou $x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5$

$\boxed{S = \{-5 \; ; \; 5\}}$

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7. Simplifier une fraction algébrique

Règle fondamentale : on simplifie des facteurs (dans un produit), jamais des termes (dans une somme).

Méthode : factoriser le numérateur et le dénominateur, puis simplifier les facteurs communs.

Exemple type brevet : Simplifier $\dfrac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 4}$.

• Numérateur : $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$ (carré d'une différence)
• Dénominateur : $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ (différence de deux carrés)

$\frac{(x-2)^2}{(x-2)(x+2)} = \frac{(x-2)\cancel{(x-2)}}{\cancel{(x-2)}(x+2)} = \frac{x-2}{x+2} \quad \text{(pour } x \neq 2 \text{ et } x \neq -2\text{)}$

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8. Programmes de calcul — Le lien calcul littéral ↔ algorithmique

Au brevet, on donne souvent un « programme de calcul » en mots et on demande :

1. De tester avec un nombre donné (→ appliquer pas à pas).
2. D'écrire l'expression algébrique correspondante (→ calcul littéral).
3. De prouver une propriété (→ développer/factoriser).

Exemple type : « Choisir un nombre. Lui ajouter 3. Élever au carré. Soustraire le carré du nombre de départ. »

• Nombre choisi : $x$
• Ajouter 3 : $x + 3$
• Élever au carré : $(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$
• Soustraire $x^2$ : $x^2 + 6x + 9 - x^2 = 6x + 9 = 3(2x + 3)$

Conclusion : le résultat est toujours un multiple de 3, quel que soit le nombre de départ.

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9. Démontrer avec le calcul littéral

Les écritures à connaître

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Exemple type brevet

Propriété : Le carré d'un nombre impair est toujours impair.

Démonstration : Soit $2n + 1$ un nombre impair.

$(2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 = 2(2n^2 + 2n) + 1$

Or $2(2n^2 + 2n)$ est pair (c'est $2 \times$ un entier), donc $2(2n^2 + 2n) + 1$ est impair. ∎

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📌 Checklist avant de rendre sa copie

• Les fractions sont sous forme irréductible
• Les résultats avec racines sont simplifiés ($6\sqrt{2}$ et non $\sqrt{72}$)
• L'ensemble des solutions d'une équation est noté $S = \{...\}$
• Les identités remarquables sont développées avec le double produit ($2ab$)
• La factorisation est vérifiée en redéveloppant mentalement
• Les démonstrations utilisent un nombre quelconque ($n$, $2n$, $2n+1$)
• Chaque étape est justifiée (nommer le théorème ou la propriété utilisée)