Couleur, absorbance et loi de Beer-Lambert

Une solution de permanganate de potassium est violette, un sirop de menthe est vert, une solution de sulfate de cuivre est bleue. D'où vient cette couleur, et comment s'en servir pour mesurer une concentration sans aucune réaction chimique ? C'est l'objet de ce chapitre : la lumière traverse la solution, une partie est absorbée, et la quantité absorbée est proportionnelle à la concentration. Un spectrophotomètre transforme ainsi une couleur en un nombre, l'absorbance, et une gamme de solutions connues permet de doser une solution inconnue.

Ce dosage par étalonnage est l'une des méthodes de mesure les plus utilisées en chimie, en biologie et en contrôle qualité.

1. Couleur d'une espèce en solution

1.1 Lumière blanche et couleurs absorbées

La lumière blanche contient toutes les radiations visibles, du violet ($400$ nm) au rouge ($700$ nm environ). Lorsqu'elle traverse une solution colorée, certaines radiations sont absorbées par l'espèce dissoute ; les autres sont transmises et parviennent à l'œil.

Le cercle chromatique résume ces couples : deux couleurs diamétralement opposées sont complémentaires.

Exemple. Une solution de sulfate de cuivre absorbe surtout dans le rouge et l'orange : elle transmet le bleu, elle apparaît bleue. Une solution qui absorbe le vert paraît violette (magenta).

1.2 Spectre d'absorption

Un spectrophotomètre envoie sur la solution une lumière de longueur d'onde $\lambda$ réglable, et mesure la fraction absorbée. Le résultat est exprimé par l'absorbance $A$, grandeur sans unité :

• $A = 0$ : la solution laisse tout passer à cette longueur d'onde ;
• plus $A$ est grand, plus la radiation est absorbée ($A = 1$ correspond à $90\,\%$ de lumière absorbée, $A = 2$ à $99\,\%$).

Le spectre d'absorption est la courbe $A = f(\lambda)$. Il présente un ou plusieurs maxima : la longueur d'onde du maximum, notée $\lambda_{\max}$, est celle que l'espèce absorbe le mieux. Elle sert de carte d'identité de l'espèce et c'est à cette longueur d'onde que l'on fera les mesures de concentration.

Lire un spectre. Le spectre des ions permanganate $\text{MnO}_4^-$ présente un maximum vers $\lambda_{\max} = 525$ nm, dans le vert : la solution est violette. Le spectre du bleu patenté (colorant E131) a son maximum vers $640$ nm, dans l'orange-rouge : la solution est bleue.

2. La loi de Beer-Lambert

2.1 Énoncé

Pour une espèce colorée en solution diluée, à une longueur d'onde fixée et dans une cuve donnée, l'absorbance est proportionnelle à la concentration en quantité de matière :

$A = k \times C$

• $A$ : absorbance, sans unité ;
• $C$ : concentration de l'espèce colorée, en mol·L⁻¹ ;
• $k$ : coefficient de proportionnalité, en L·mol⁻¹, qui dépend de l'espèce, de la longueur d'onde et de l'épaisseur de la cuve (souvent $1$ cm).

C'est la loi de Beer-Lambert. Elle se traduit graphiquement par une droite passant par l'origine : $A = f(C)$ est une fonction linéaire.

2.2 Conditions de validité

La loi n'est vérifiée que si :

1. la longueur d'onde est fixée, en général $\lambda_{\max}$, pour que la mesure soit la plus sensible possible ;
2. la solution est suffisamment diluée : au-delà d'environ $A = 1{,}5$ à $2$, la courbe s'incurve et la proportionnalité disparaît ;
3. l'espèce colorée est la seule à absorber à cette longueur d'onde ;
4. la cuve est la même pour toutes les mesures (même épaisseur), et l'appareil a été réglé au préalable sur le solvant seul (« blanc », $A = 0$).

Si l'absorbance d'une solution inconnue sort de la zone linéaire, il faut la diluer avant de mesurer, puis multiplier la concentration lue par le facteur de dilution.

3. Doser par étalonnage

3.1 Le principe

Doser une espèce, c'est déterminer sa concentration. Avec la loi de Beer-Lambert, il suffit de connaître $k$ : on le détermine expérimentalement grâce à des solutions de concentrations connues, la gamme étalon.

Protocole d'un dosage par étalonnage spectrophotométrique.

1. Préparer par dilutions successives d'une solution mère une gamme de $4$ à $6$ solutions étalons de concentrations connues, encadrant la concentration attendue.
2. Tracer le spectre d'absorption de l'une d'elles et régler le spectrophotomètre sur $\lambda_{\max}$ ; faire le blanc avec le solvant.
3. Mesurer l'absorbance de chaque solution étalon, toujours dans la même cuve.
4. Tracer la droite d'étalonnage $A = f(C)$ et vérifier qu'elle passe par l'origine ; déterminer $k$ (coefficient directeur).
5. Mesurer l'absorbance $A_{\text{inc}}$ de la solution inconnue et lire sa concentration sur la droite, ou calculer $C_{\text{inc}} = A_{\text{inc}} / k$.

3.2 Exploiter la droite d'étalonnage

Deux façons d'obtenir $C$ :

• graphiquement : tracer l'horizontale $A = A_{\text{inc}}$, la prolonger jusqu'à la droite, puis descendre sur l'axe des concentrations ;
• par le calcul : $k$ est le coefficient directeur, $k = \dfrac{A}{C}$ pour n'importe quel point de la droite, puis $C_{\text{inc}} = \dfrac{A_{\text{inc}}}{k}$.

Sur le graphique ci-dessus : $k = \dfrac{0{,}75}{100} = 7{,}5 \times 10^{-3}$ L·µmol⁻¹, donc $C_{\text{inc}} = \dfrac{0{,}51}{7{,}5 \times 10^{-3}} = 68$ µmol·L⁻¹.

3.3 Limites du protocole

4. Exemple résolu pas à pas

Énoncé. Un sirop de menthe doit sa couleur au bleu patenté V (E131). Pour déterminer sa concentration en colorant, on prépare une gamme étalon de bleu patenté et on mesure l'absorbance à $\lambda_{\max} = 640$ nm :

Le sirop est dilué $10$ fois ; l'absorbance de la solution diluée vaut $A = 0{,}42$.

a) Pourquoi le sirop apparaît-il bleu ? b) Vérifier que la loi de Beer-Lambert est respectée et déterminer $k$. c) Calculer la concentration en masse de bleu patenté dans la solution diluée, puis dans le sirop. d) Pourquoi a-t-on dilué le sirop avant la mesure ?

Résolution.

a) Le colorant absorbe à $640$ nm, dans l'orange-rouge ; la couleur perçue est la complémentaire, le bleu.

b) Le rapport $A / C_m$ vaut $0{,}12$ L·mg⁻¹ pour les cinq points : $A$ est proportionnelle à $C_m$, la droite $A = f(C_m)$ passe par l'origine. $k = 0{,}12$ L·mg⁻¹.

c) Solution diluée : $C_m = \dfrac{A}{k} = \dfrac{0{,}42}{0{,}12} = 3{,}5$ mg·L⁻¹. Cette valeur est bien dans la gamme ($1{,}0$ à $5{,}0$ mg·L⁻¹), la lecture est valable. Sirop : $C_{m,\text{sirop}} = 10 \times 3{,}5 = 35$ mg·L⁻¹.

d) Sans dilution, l'absorbance du sirop serait de l'ordre de $4{,}2$ : hors de la zone linéaire de la loi de Beer-Lambert et hors de la gamme étalon. On dilue pour ramener l'absorbance dans la gamme, puis on multiplie par le facteur de dilution.

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🎯 Rédiger une exploitation de gamme étalon. Toujours dire pourquoi la loi est vérifiée (points alignés avec l'origine, ou rapport $A/C$ constant), donner $k$ avec son unité, vérifier que $A_{\text{inc}}$ est dans la gamme, et ne pas oublier de remonter à la solution initiale si elle a été diluée.

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📌 À retenir

1. Une espèce en solution absorbe certaines radiations ; la couleur perçue est la complémentaire de la couleur absorbée (cercle chromatique).
2. Le spectre d'absorption $A = f(\lambda)$ indique $\lambda_{\max}$, longueur d'onde du maximum d'absorption, à laquelle on fait les mesures.
3. Loi de Beer-Lambert : $A = k \times C$ pour une solution diluée, à $\lambda$ fixée, dans une cuve donnée ; $A$ est sans unité.
4. Dosage par étalonnage : gamme de solutions connues, droite $A = f(C)$ passant par l'origine, lecture ou calcul $C = A / k$.
5. Si $A$ est trop grande (hors gamme, courbe incurvée) : diluer, puis multiplier par le facteur de dilution.