Exercices type brevet — Calcul & Algèbre

4 exercices de difficulté croissante. Chaque exercice est suivi de son corrigé détaillé.

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Exercice 1 — Fractions et puissances ⭐

Durée estimée : 10 minutes — 12 points

Partie A — Calcul fractionnaire

Calculer les expressions suivantes et donner le résultat sous forme de fraction irréductible.

1. $A = \dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{3}$

2. $B = \dfrac{7}{15} \times \dfrac{9}{14}$

3. $C = \dfrac{5}{3} \div \dfrac{10}{9}$

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Partie B — Puissances et notation scientifique

4. Écrire sous la forme d'une seule puissance de $10$ : $\dfrac{10^5 \times 10^{-2}}{10^4}$

5. La distance Terre-Lune est d'environ $3{,}84 \times 10^5$ km. La vitesse de la lumière est $3 \times 10^5$ km/s. Calculer le temps mis par la lumière pour aller de la Terre à la Lune. Donner le résultat en secondes, arrondi au dixième.

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Corrigé — Exercice 1

1. Dénominateur commun : $\text{PPCM}(4, 6, 3) = 12$.

$A = \frac{3 \times 3}{12} - \frac{5 \times 2}{12} + \frac{1 \times 4}{12} = \frac{9 - 10 + 4}{12} = \frac{3}{12}$

On simplifie : $\text{PGCD}(3, 12) = 3$ → $A = \dfrac{1}{4}$

$\boxed{A = \dfrac{1}{4}}$

2. Avant de multiplier, on simplifie : $7$ et $14$ → simplifier par $7$ ; $9$ et $15$ → simplifier par $3$.

$B = \frac{7}{15} \times \frac{9}{14} = \frac{1}{5} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{10}$

$\boxed{B = \dfrac{3}{10}}$

3. Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse.

$C = \frac{5}{3} \times \frac{9}{10} = \frac{5 \times 9}{3 \times 10} = \frac{45}{30}$

On simplifie : $\text{PGCD}(45, 30) = 15$ → $C = \dfrac{3}{2}$

$\boxed{C = \dfrac{3}{2}}$

4. On applique les règles des puissances :

$\frac{10^5 \times 10^{-2}}{10^4} = \frac{10^{5+(-2)}}{10^4} = \frac{10^3}{10^4} = 10^{3-4} = 10^{-1}$

$\boxed{10^{-1}}$

5. $t = \dfrac{d}{v} = \dfrac{3{,}84 \times 10^5}{3 \times 10^5} = \dfrac{3{,}84}{3} \times \dfrac{10^5}{10^5} = 1{,}28 \times 10^0 = 1{,}28$

$\boxed{t \approx 1{,}3 \text{ s}}$

La lumière met environ $1{,}3$ seconde pour aller de la Terre à la Lune.

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Exercice 2 — Identités remarquables et factorisation ⭐⭐

Durée estimée : 15 minutes — 16 points

Partie A — Développer et réduire

1. $D = (2x + 5)^2$

2. $E = (3x - 4)(3x + 4)$

3. $F = (x + 3)(2x - 1) - (x + 3)^2$

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Partie B — Factoriser

4. $G = 9x^2 - 25$

5. $H = x^2 + 8x + 16$

6. $I = (x - 2)(3x + 1) + (x - 2)(x - 7)$

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Corrigé — Exercice 2

1. On reconnaît $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ avec $a = 2x$ et $b = 5$.

$D = (2x)^2 + 2 \times 2x \times 5 + 5^2 = 4x^2 + 20x + 25$

$\boxed{D = 4x^2 + 20x + 25}$

2. On reconnaît $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ avec $a = 3x$ et $b = 4$.

$E = (3x)^2 - 4^2 = 9x^2 - 16$

$\boxed{E = 9x^2 - 16}$

3. On développe chaque partie séparément.

$(x + 3)(2x - 1) = 2x^2 - x + 6x - 3 = 2x^2 + 5x - 3$

$(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$

$F = (2x^2 + 5x - 3) - (x^2 + 6x + 9) = 2x^2 + 5x - 3 - x^2 - 6x - 9 = x^2 - x - 12$

$\boxed{F = x^2 - x - 12}$

4. On reconnaît une différence de deux carrés : $9x^2 = (3x)^2$ et $25 = 5^2$.

$G = (3x)^2 - 5^2 = (3x - 5)(3x + 5)$

$\boxed{G = (3x - 5)(3x + 5)}$

5. On cherche un trinôme carré parfait : $x^2 = x^2$, $16 = 4^2$, et $8x = 2 \times x \times 4$ ✅

$H = (x + 4)^2$

$\boxed{H = (x + 4)^2}$

6. On repère le facteur commun $(x - 2)$.

$I = (x - 2) \Big[ (3x + 1) + (x - 7) \Big] = (x - 2)(3x + 1 + x - 7) = (x - 2)(4x - 6)$

On peut encore factoriser $4x - 6 = 2(2x - 3)$ :

$\boxed{I = 2(x - 2)(2x - 3)}$

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Exercice 3 — Équation produit nul et programme de calcul ⭐⭐⭐

Durée estimée : 20 minutes — 20 points

Partie A — Équation produit nul

1. Résoudre l'équation $(2x - 6)(x + 5) = 0$.

2. Résoudre l'équation $4x^2 - 49 = 0$.

3. Résoudre l'équation $(x + 1)(3x - 2) - (x + 1)(x + 4) = 0$.

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Partie B — Programme de calcul

On considère le programme de calcul suivant :

4. Vérifier que si on choisit le nombre $3$, on obtient $40$.

5. On appelle $x$ le nombre choisi au départ. Montrer que le résultat du programme peut s'écrire $8x + 16$.

6. Pour quelle valeur de $x$ le résultat du programme est-il égal à $0$ ?

7. Le résultat de ce programme est-il toujours un multiple de $8$ ? Justifier.

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Corrigé — Exercice 3

1. Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.

$2x - 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x = 6 \quad \Rightarrow \quad x = 3$

$x + 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -5$

$\boxed{S = \{-5 \; ; \; 3\}}$

2. Ce n'est pas un produit → on factorise d'abord.

$4x^2 - 49 = (2x)^2 - 7^2 = (2x - 7)(2x + 7)$

L'équation devient $(2x - 7)(2x + 7) = 0$ :

$2x - 7 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{7}{2}$

$2x + 7 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\dfrac{7}{2}$

$\boxed{S = \left\{-\dfrac{7}{2} \; ; \; \dfrac{7}{2}\right\}}$

3. On repère le facteur commun $(x + 1)$ et on factorise :

$(x + 1) \Big[ (3x - 2) - (x + 4) \Big] = 0$

On simplifie le crochet : $(3x - 2) - (x + 4) = 3x - 2 - x - 4 = 2x - 6$

L'équation devient $(x + 1)(2x - 6) = 0$ :

$x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -1$

$2x - 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3$

$\boxed{S = \{-1 \; ; \; 3\}}$

4. On applique le programme avec $x = 3$ :

• Ajouter 4 : $3 + 4 = 7$
• Élever au carré : $7^2 = 49$
• Soustraire $3^2 = 9$ : $49 - 9 = 40$ ✅

5. Avec un nombre quelconque $x$ :

• Ajouter 4 : $x + 4$
• Élever au carré : $(x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16$
• Soustraire $x^2$ : $x^2 + 8x + 16 - x^2 = 8x + 16$

Le résultat du programme est bien $\boxed{8x + 16}$.

6. On résout $8x + 16 = 0$ :

$8x = -16 \quad \Rightarrow \quad x = -2$

$\boxed{x = -2}$

Vérification : $(-2 + 4)^2 - (-2)^2 = 4 - 4 = 0$ ✅

7. $8x + 16 = 8(x + 2)$

$8(x + 2)$ est un produit de $8$ par un entier (si $x$ est entier), donc c'est un multiple de $8$.

$\boxed{\text{Oui, le résultat est toujours un multiple de 8.}}$

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Exercice 4 — Problème complet type brevet ⭐⭐⭐⭐

Durée estimée : 25 minutes — 24 points

Un chocolatier prépare des boîtes d'assortiment contenant des chocolats noirs et des chocolats au lait. Il dispose de $180$ chocolats noirs et $252$ chocolats au lait. Il veut réaliser le plus grand nombre possible de boîtes identiques, en utilisant tous les chocolats.

Partie A — Arithmétique

1. Décomposer $180$ et $252$ en produit de facteurs premiers.

2. En déduire le PGCD de $180$ et $252$.

3. Combien de boîtes le chocolatier peut-il préparer ? Que contient chaque boîte ?

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Partie B — Calcul littéral

Le prix de vente (en euros) de chaque boîte est donné par la formule :

$P(x) = (x + 3)^2 - (x - 1)^2$

où $x$ est un paramètre que le chocolatier ajuste.

4. Développer et réduire $P(x)$.

5. Factoriser $P(x)$ en utilisant une identité remarquable sur l'expression initiale $(x + 3)^2 - (x - 1)^2$.

6. Pour quelle valeur de $x$ le prix est-il de $24$ € ?

7. Le chocolatier veut que le prix soit strictement supérieur à $16$ €. Résoudre l'inéquation $P(x) > 16$.

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Corrigé — Exercice 4

1. Décomposition en facteurs premiers :

$180 = 2 \times 90 = 2 \times 2 \times 45 = 2^2 \times 9 \times 5 = 2^2 \times 3^2 \times 5$

$252 = 2 \times 126 = 2 \times 2 \times 63 = 2^2 \times 9 \times 7 = 2^2 \times 3^2 \times 7$

$\boxed{180 = 2^2 \times 3^2 \times 5 \qquad 252 = 2^2 \times 3^2 \times 7}$

2. Le PGCD se calcule en prenant chaque facteur premier commun avec le plus petit exposant :

$\text{PGCD}(180, 252) = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$

$\boxed{\text{PGCD}(180, 252) = 36}$

3. Le nombre de boîtes est le PGCD : 36 boîtes.

Chaque boîte contient :

• $180 \div 36 = 5$ chocolats noirs
• $252 \div 36 = 7$ chocolats au lait

$\boxed{36 \text{ boîtes de 5 chocolats noirs et 7 chocolats au lait}}$

Vérification : $36 \times 5 = 180$ ✅ et $36 \times 7 = 252$ ✅

4. On développe chaque carré :

$(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$

$(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$

$P(x) = (x^2 + 6x + 9) - (x^2 - 2x + 1) = x^2 + 6x + 9 - x^2 + 2x - 1 = 8x + 8$

$\boxed{P(x) = 8x + 8}$

5. L'expression $(x + 3)^2 - (x - 1)^2$ est une différence de deux carrés $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ avec $a = x + 3$ et $b = x - 1$.

$P(x) = [(x + 3) - (x - 1)][(x + 3) + (x - 1)] = [x + 3 - x + 1][x + 3 + x - 1] = 4(2x + 2)$

On peut simplifier : $4(2x + 2) = 4 \times 2(x + 1) = 8(x + 1)$

$\boxed{P(x) = 8(x + 1)}$

Vérification : $8(x + 1) = 8x + 8$ ✅ (cohérent avec la question 4)

6. On résout $P(x) = 24$ :

$8x + 8 = 24 \quad \Rightarrow \quad 8x = 16 \quad \Rightarrow \quad x = 2$

$\boxed{x = 2}$

Vérification : $P(2) = 8 \times 2 + 8 = 24$ ✅

7. On résout $P(x) > 16$ :

$8x + 8 > 16$

$8x > 8$

$x > 1$

$\boxed{x > 1}$

Le prix est strictement supérieur à 16 € pour toute valeur de $x$ strictement supérieure à $1$.