Exercices type brevet — Fonctions

4 exercices de difficulté croissante. Chaque exercice est suivi de son corrigé détaillé.

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Exercice 1 — Image, antécédent et lecture graphique ⭐

Durée estimée : 10 minutes — 12 points

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = 3x - 2$.

1. Calculer l'image de $4$ par $f$.

2. Calculer l'image de $-1$ par $f$.

3. Déterminer l'antécédent de $13$ par $f$.

4. Déterminer l'antécédent de $-8$ par $f$.

5. La fonction $f$ est-elle une fonction linéaire ou affine ? Justifier. Préciser le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine.

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Corrigé — Exercice 1

1. On remplace $x$ par $4$ dans $f(x) = 3x - 2$ :

$f(4) = 3 \times 4 - 2 = 12 - 2 = 10$

$\boxed{f(4) = 10}$

2. $f(-1) = 3 \times (-1) - 2 = -3 - 2 = -5$

$\boxed{f(-1) = -5}$

3. On cherche $x$ tel que $f(x) = 13$ :

$3x - 2 = 13 \quad \Rightarrow \quad 3x = 15 \quad \Rightarrow \quad x = 5$

$\boxed{\text{L'antécédent de } 13 \text{ est } 5}$

Vérification : $f(5) = 3 \times 5 - 2 = 13$ ✅

4. $3x - 2 = -8 \quad \Rightarrow \quad 3x = -6 \quad \Rightarrow \quad x = -2$

$\boxed{\text{L'antécédent de } -8 \text{ est } -2}$

5. $f(x) = 3x - 2$ est de la forme $f(x) = ax + b$ avec $a = 3$ et $b = -2$.

C'est une fonction affine (car $b = -2 \neq 0$, sinon ce serait linéaire).

• Coefficient directeur : $a = 3$ (la droite monte de 3 quand $x$ augmente de 1).
• Ordonnée à l'origine : $b = -2$ (la droite coupe l'axe des ordonnées en $(0 \,;\, -2)$).
• Comme $a = 3 > 0$, la fonction est croissante.

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Exercice 2 — Déterminer une fonction affine et résolution graphique ⭐⭐

Durée estimée : 15 minutes — 16 points

Dans un repère, on a tracé la droite $(d)$ représentant une fonction affine $f$. Cette droite passe par les points $A(1 \,;\, 4)$ et $B(3 \,;\, 10)$.

Partie A — Déterminer l'expression

1. Calculer le coefficient directeur $a$ de la droite $(d)$.

2. En déduire l'ordonnée à l'origine $b$.

3. Écrire l'expression de $f(x)$.

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Partie B — Résolution graphique et algébrique

On considère une deuxième fonction $g(x) = -x + 9$.

4. Résoudre algébriquement l'équation $f(x) = g(x)$.

5. Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $f(x) > g(x)$ ? Interpréter graphiquement.

6. La droite $(d)$ coupe-t-elle l'axe des abscisses ? Si oui, en quel point ?

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Corrigé — Exercice 2

1. $a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{10 - 4}{3 - 1} = \dfrac{6}{2} = 3$

$\boxed{a = 3}$

2. On utilise le point $A(1 \,;\, 4)$ dans $f(x) = 3x + b$ :

$f(1) = 3 \times 1 + b = 4 \quad \Rightarrow \quad b = 4 - 3 = 1$

$\boxed{b = 1}$

3. $\boxed{f(x) = 3x + 1}$

Vérification avec $B$ : $f(3) = 3 \times 3 + 1 = 10$ ✅

4. On résout $f(x) = g(x)$ :

$3x + 1 = -x + 9$

$3x + x = 9 - 1$

$4x = 8$

$x = 2$

Pour $x = 2$ : $f(2) = 7$ et $g(2) = -2 + 9 = 7$ ✅

$\boxed{x = 2 \text{ (les droites se coupent en } (2 \,;\, 7) \text{)}}$

5. On résout $f(x) > g(x)$ :

$3x + 1 > -x + 9 \quad \Rightarrow \quad 4x > 8 \quad \Rightarrow \quad x > 2$

$\boxed{f(x) > g(x) \text{ pour } x > 2}$

Interprétation graphique : pour $x > 2$, la droite $(d)$ de $f$ est au-dessus de la droite de $g$. Pour $x < 2$, elle est en dessous.

6. La droite coupe l'axe des abscisses quand $f(x) = 0$ :

$3x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{1}{3}$

$\boxed{\text{La droite coupe l'axe des abscisses en } \left(-\frac{1}{3} \,;\, 0\right)}$

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Exercice 3 — Fonction carré et lecture graphique ⭐⭐⭐

Durée estimée : 20 minutes — 20 points

On considère la fonction carré $f(x) = x^2$ et la fonction affine $g(x) = 2x + 3$.

Partie A — Tableau de valeurs

1. Compléter le tableau de valeurs suivant.

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Partie B — Lecture graphique

On admet que les courbes de $f$ et $g$ sont tracées dans un repère.

2. Résoudre graphiquement $f(x) = g(x)$. (On montrera le résultat par le calcul à la question 4.)

3. Résoudre graphiquement $f(x) < g(x)$.

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Partie C — Résolution algébrique

4. Résoudre l'équation $x^2 = 2x + 3$.

Indication : se ramener à une équation produit nul.

5. L'équation $x^2 = -4$ a-t-elle des solutions ? Justifier.

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Corrigé — Exercice 3

1.

2. D'après le tableau, $f(x) = g(x)$ quand les deux lignes ont la même valeur :

• Pour $x = -1$ : $f(-1) = 1$ et $g(-1) = 1$ ✅
• Pour $x = 3$ : $f(3) = 9$ et $g(3) = 9$ ✅

$\boxed{\text{Les courbes se coupent en } x = -1 \text{ et } x = 3}$

3. $f(x) < g(x)$ quand la parabole est en dessous de la droite. D'après le tableau, entre les deux points d'intersection :

$\boxed{f(x) < g(x) \text{ pour } -1 < x < 3}$

4. On résout $x^2 = 2x + 3$ :

$x^2 - 2x - 3 = 0$

On cherche à factoriser. On remarque que $(-1)$ et $3$ sont des solutions (trouvées graphiquement), donc $x^2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3)$.

Vérification : $(x + 1)(x - 3) = x^2 - 3x + x - 3 = x^2 - 2x - 3$ ✅

L'équation devient $(x + 1)(x - 3) = 0$ :

$x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -1$

$x - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3$

$\boxed{S = \{-1 \,;\, 3\}}$

Cohérent avec la lecture graphique ✅

5. $x^2 = -4$ n'a aucune solution car un carré est toujours positif ou nul ($x^2 \geqslant 0$ pour tout $x$). Il ne peut donc jamais valoir $-4$.

$\boxed{S = \emptyset}$

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Exercice 4 — Problème complet : comparaison de tarifs ⭐⭐⭐⭐

Durée estimée : 25 minutes — 24 points

Une salle d'escalade propose deux formules :

• Formule A (sans abonnement) : $12$ € par séance.
• Formule B (avec abonnement) : $30$ € d'abonnement mensuel puis $5$ € par séance.

On note $x$ le nombre de séances dans le mois.

Partie A — Modélisation

1. Exprimer le coût mensuel $f(x)$ avec la formule A.

2. Exprimer le coût mensuel $g(x)$ avec la formule B.

3. Quelle est la nature de chacune de ces fonctions ? (Linéaire, affine, autre ?)

4. Compléter le tableau suivant.

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Partie B — Comparaison

5. Résoudre l'équation $f(x) = g(x)$. Interpréter le résultat.

6. Résoudre l'inéquation $f(x) > g(x)$. En déduire à partir de combien de séances la formule B est avantageuse.

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Partie C — Graphique

7. Représenter les droites de $f$ et $g$ dans un repère (unités : 1 cm par séance en abscisse, 1 cm pour 10 € en ordonnée).

8. Retrouver graphiquement le résultat de la question 6.

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Partie D — Troisième formule

La salle ajoute une formule C : abonnement illimité à $65$ € par mois (pas de coût par séance).

9. À partir de combien de séances la formule C devient-elle la moins chère des trois ?

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Corrigé — Exercice 4

1. Sans abonnement, on paie $12$ € par séance :

$\boxed{f(x) = 12x}$

2. $30$ € fixes + $5$ € par séance :

$\boxed{g(x) = 5x + 30}$

3. $f(x) = 12x$ est une fonction linéaire (de la forme $ax$, $b = 0$). Elle modélise une proportionnalité.

$g(x) = 5x + 30$ est une fonction affine (de la forme $ax + b$, $b \neq 0$).

4.

5. $f(x) = g(x)$ :

$12x = 5x + 30 \quad \Rightarrow \quad 7x = 30 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{30}{7} \approx 4{,}29$

Interprétation : les deux formules coûtent le même prix pour environ $4{,}3$ séances. On retrouve dans le tableau que pour $x = 4$ la formule A est encore moins chère ($48 < 50$) et pour $x = 5$ les coûts sont proches ($60 \approx 55$).

$\boxed{x = \frac{30}{7} \approx 4{,}3 \text{ séances}}$

6. $f(x) > g(x)$ :

$12x > 5x + 30 \quad \Rightarrow \quad 7x > 30 \quad \Rightarrow \quad x > \frac{30}{7} \approx 4{,}29$

Comme $x$ est un nombre entier de séances :

$\boxed{\text{La formule B est avantageuse à partir de 5 séances.}}$

Vérification : pour $x = 5$ : $f(5) = 60$ € et $g(5) = 55$ €. La formule B est bien moins chère. ✅

7. Le graphique montre deux droites :

• $f$ passe par l'origine et monte vite (pente 12).
• $g$ part de $(0 \,;\, 30)$ et monte moins vite (pente 5).
• Elles se croisent entre $x = 4$ et $x = 5$.

8. Graphiquement, la droite de $f$ est au-dessus de celle de $g$ à partir du point d'intersection ($x \approx 4{,}3$). Pour $x \geqslant 5$ (valeur entière), la formule B est moins chère. ✅

9. La formule C coûte $65$ € quel que soit le nombre de séances (droite horizontale $h(x) = 65$).

C moins chère que B : $65 < 5x + 30 \Rightarrow 35 < 5x \Rightarrow x > 7$, soit à partir de $8$ séances.

C moins chère que A : $65 < 12x \Rightarrow x > \dfrac{65}{12} \approx 5{,}4$, soit à partir de $6$ séances.

Pour que C soit la moins chère des trois, il faut qu'elle batte à la fois A et B :

$\boxed{\text{La formule C est la moins chère à partir de 8 séances.}}$

Vérification pour $x = 8$ : A = $96$ €, B = $70$ €, C = $65$ €. C est bien la moins chère. ✅

Pour $x = 7$ : A = $84$ €, B = $65$ €, C = $65$ €. B et C sont à égalité — C n'est pas strictement moins chère.