Exercices type brevet — Algorithmique & Programmation

4 exercices de difficulté croissante. Chaque exercice est suivi de son corrigé détaillé.

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Exercice 1 — Trace d'exécution et variables ⭐

Durée estimée : 10 minutes — 12 points

On considère le programme suivant :

a ← 8
b ← 3
c ← a - b
a ← a × 2
b ← c + a
c ← b - a

1. Recopier et compléter le tableau de trace d'exécution.

2. Quelles sont les valeurs de $a$, $b$ et $c$ à la fin du programme ?

3. L'instruction $a \leftarrow a \times 2$ est-elle une équation ? Expliquer ce qu'elle fait.

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Corrigé — Exercice 1

1. et 2.

$\boxed{a = 16, \quad b = 21, \quad c = 5}$

3. Non, $a \leftarrow a \times 2$ n'est pas une équation. C'est une affectation : le programme prend l'ancienne valeur de $a$ (qui vaut $8$), la multiplie par $2$ (ce qui donne $16$), puis range le résultat $16$ dans $a$. L'ancienne valeur $8$ est remplacée et perdue.

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Exercice 2 — Conditions et boucle bornée ⭐⭐

Durée estimée : 15 minutes — 16 points

Partie A — Conditions composées

On considère le programme suivant :

Demander l'âge → age
Demander la taille en cm → taille

Si (age ≥ 12) ET (taille ≥ 140) Alors
    Afficher "Accès autorisé"
Sinon
    Afficher "Accès refusé"
Fin Si

1. Qu'affiche le programme pour un enfant de $13$ ans mesurant $145$ cm ?

2. Qu'affiche le programme pour un enfant de $11$ ans mesurant $150$ cm ?

3. Qu'affiche le programme pour un enfant de $14$ ans mesurant $135$ cm ?

4. Expliquer en une phrase la condition pour obtenir « Accès autorisé ».

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Partie B — Boucle bornée

On considère le programme suivant :

somme ← 0
Répéter 5 fois
    somme ← somme + 3
Fin Répéter
Afficher somme

5. Compléter le tableau de trace d'exécution.

6. Que vaut somme à la fin ? Quelle opération mathématique ce programme calcule-t-il ?

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Corrigé — Exercice 2

1. $\text{age} = 13 \geqslant 12$ → Vrai. $\text{taille} = 145 \geqslant 140$ → Vrai. Vrai ET Vrai = Vrai.

$\boxed{\text{Accès autorisé}}$

2. $\text{age} = 11 \geqslant 12$ → Faux. Faux ET (...) = Faux (inutile de tester la suite).

$\boxed{\text{Accès refusé}}$

3. $\text{age} = 14 \geqslant 12$ → Vrai. $\text{taille} = 135 \geqslant 140$ → Faux. Vrai ET Faux = Faux.

$\boxed{\text{Accès refusé}}$

4. Pour obtenir « Accès autorisé », il faut avoir au moins 12 ans et mesurer au moins 140 cm. Les deux conditions doivent être remplies simultanément (c'est un ET).

5.

6. $\text{somme} = 15$.

Ce programme calcule $5 \times 3 = 15$ : il additionne $3$ cinq fois, ce qui revient à la multiplication $5 \times 3$.

$\boxed{\text{somme} = 15}$

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Exercice 3 — Boucle « Tant que » et programme de calcul ⭐⭐⭐

Durée estimée : 20 minutes — 20 points

Partie A — Boucle conditionnelle

On considère le programme suivant :

n ← 1
total ← 0
Tant que total < 50 Faire
    total ← total + n
    n ← n + 1
Fin Tant que
Afficher n - 1

1. Compléter le tableau de trace d'exécution.

Continuer jusqu'à ce que le programme sorte de la boucle.

2. Quelle valeur le programme affiche-t-il ?

3. Que calcule ce programme ? (Expliquer en une phrase.)

4. Écrire ce programme en Scratch. Attention au piège « Tant que » / « Répéter jusqu'à ».

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Partie B — Programme de calcul

On considère le programme de calcul suivant :

5. Tester le programme pour $x = 5$.

6. Montrer que le résultat peut s'écrire $8x$.

7. Pour quelle valeur de $x$ le résultat vaut-il $120$ ?

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Corrigé — Exercice 3

1. et 2.

Le programme affiche $n - 1 = 11 - 1 = 10$.

$\boxed{\text{Le programme affiche } 10}$

3. Ce programme cherche le plus grand entier $n$ tel que $1 + 2 + 3 + \cdots + n < 50$, c'est-à-dire le plus grand entier dont la somme des entiers de $1$ à $n$ reste inférieure à $50$.

On vérifie : $1 + 2 + \cdots + 9 = 45 < 50$ et $1 + 2 + \cdots + 10 = 55 \geqslant 50$. Le programme affiche donc $9$...

Attention, relisons le programme : il affiche $n - 1$. Au moment de sortir, $n = 11$, donc il affiche $11 - 1 = 10$. Mais la somme $1 + \cdots + 10 = 55 \geqslant 50$.

En fait, le programme ajoute $n$ au total puis incrémente $n$ avant de retester. Quand il sort, le dernier $n$ ajouté est $10$ (au tour 10). Donc le programme affiche le dernier nombre ajouté avant que le total dépasse $50$.

$\boxed{\text{Le programme trouve que } 1 + 2 + \cdots + 10 = 55 \text{ est la première somme } \geqslant 50}$

4. En Scratch, « Tant que total < 50 » devient « Répéter jusqu'à total $\geqslant$ 50 » (condition inversée) :

mettre n à 1
mettre total à 0
répéter jusqu'à <total ≥ 50>
    ajouter n à total
    ajouter 1 à n
fin
dire (n - 1)

📌 Le piège : en pseudo-code on écrit « Tant que $< 50$ » (on reste), en Scratch « Répéter jusqu'à $\geqslant 50$ » (on sort). La condition est inversée.

5. Pour $x = 5$ :

• $(x + 2)^2 = 7^2 = 49$
• $(x - 2)^2 = 3^2 = 9$
• $49 - 9 = 40$

$\boxed{\text{Pour } x = 5, \text{ le résultat est } 40}$

6. On développe :

$(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4$

$(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$

$(x + 2)^2 - (x - 2)^2 = (x^2 + 4x + 4) - (x^2 - 4x + 4) = x^2 + 4x + 4 - x^2 + 4x - 4 = 8x$

$\boxed{(x+2)^2 - (x-2)^2 = 8x}$

Autre méthode (identité remarquable $a^2 - b^2$) : avec $a = x + 2$ et $b = x - 2$ :

$(x+2)^2 - (x-2)^2 = [(x+2) - (x-2)][(x+2) + (x-2)] = 4 \times 2x = 8x$ ✅

Vérification avec $x = 5$ : $8 \times 5 = 40$ ✅

7. $8x = 120 \Rightarrow x = \dfrac{120}{8} = 15$

$\boxed{x = 15}$

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Exercice 4 — Problème complet : Scratch, géométrie et simulation ⭐⭐⭐⭐

Durée estimée : 25 minutes — 24 points

Partie A — Tracé de figure

Voici un programme Scratch :

stylo en position d'écriture
répéter 6 fois
    avancer de 60 pas
    tourner ↻ de 60 degrés
fin

1. Quelle figure ce programme trace-t-il ? Justifier en expliquant pourquoi l'angle est de $60°$.

2. Modifier le programme pour tracer un triangle équilatéral de côté $100$ pas. Écrire le programme modifié.

3. Modifier le programme pour tracer un octogone régulier (8 côtés) de côté $50$ pas. Écrire le programme modifié. Quel est l'angle de rotation ?

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Partie B — Programme de calcul géométrique

Le programme suivant calcule le périmètre et l'aire d'un carré :

Demander "Côté du carré ?" → c
perimetre ← c × 4
aire ← c × c
Afficher perimetre
Afficher aire

4. Qu'affiche le programme pour $c = 7$ ?

5. On modifie le programme pour calculer le périmètre et l'aire d'un rectangle de longueur $L$ et de largeur $l$. Écrire le programme modifié.

6. On veut trouver pour quelle valeur de $c$ l'aire du carré dépasse $200$. Écrire un programme utilisant une boucle « Tant que » qui trouve le plus petit entier $c$ tel que $c^2 > 200$.

7. Quelle valeur le programme de la question 6 affiche-t-il ? Vérifier.

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Partie C — Simulation de probabilités

On lance deux dés à 6 faces et on additionne les résultats. Le programme suivant simule cette expérience $1\,000$ fois :

compteur7 ← 0
répéter 1000 fois
    dé1 ← nombre aléatoire entre 1 et 6
    dé2 ← nombre aléatoire entre 1 et 6
    somme ← dé1 + dé2
    si somme = 7 alors
        compteur7 ← compteur7 + 1
    fin si
fin
frequence ← compteur7 / 1000
Afficher frequence

8. Que représente la variable $\text{compteur7}$ ?

9. Vers quelle valeur théorique la fréquence affichée devrait-elle se stabiliser ? Justifier en listant toutes les façons d'obtenir une somme de $7$ avec deux dés.

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Corrigé — Exercice 4

1. Le programme trace un hexagone régulier (polygone à 6 côtés de 60 pas chacun).

L'angle de rotation est $60°$ car pour un polygone régulier à $n$ côtés, l'angle extérieur vaut $\dfrac{360°}{n}$. Ici $\dfrac{360°}{6} = 60°$.

$\boxed{\text{Hexagone régulier de côté 60}}$

2. Triangle équilatéral : $n = 3$ côtés, angle de rotation $= \dfrac{360°}{3} = 120°$.

stylo en position d'écriture
répéter 3 fois
    avancer de 100 pas
    tourner ↻ de 120 degrés
fin

⚠️ L'angle est $120°$ (angle extérieur), pas $60°$ (angle intérieur du triangle équilatéral).

3. Octogone régulier : $n = 8$ côtés, angle de rotation $= \dfrac{360°}{8} = 45°$.

stylo en position d'écriture
répéter 8 fois
    avancer de 50 pas
    tourner ↻ de 45 degrés
fin

$\boxed{\text{Angle de rotation} = 45°}$

4. Pour $c = 7$ :

• $\text{périmètre} = 7 \times 4 = 28$
• $\text{aire} = 7 \times 7 = 49$

$\boxed{\text{Le programme affiche 28 puis 49}}$

5. Programme modifié pour un rectangle :

Demander "Longueur ?" → L
Demander "Largeur ?" → l
perimetre ← 2 × (L + l)
aire ← L × l
Afficher perimetre
Afficher aire

6. Programme avec boucle « Tant que » :

c ← 1
Tant que c × c ≤ 200 Faire
    c ← c + 1
Fin Tant que
Afficher c

7. Trace d'exécution (derniers tours) :

Le programme affiche $c = 15$.

$\boxed{c = 15}$

Vérification : $14^2 = 196 \leqslant 200$ et $15^2 = 225 > 200$. Le plus petit entier dont le carré dépasse $200$ est bien $15$. ✅

8. La variable $\text{compteur7}$ représente le nombre de fois où la somme des deux dés a donné exactement $7$ au cours des $1\,000$ simulations.

9. Listons toutes les façons d'obtenir $7$ avec deux dés :

Il y a 6 façons d'obtenir $7$ sur un total de $6 \times 6 = 36$ issues possibles.

$P(\text{somme} = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0{,}167$

La fréquence affichée par le programme devrait se stabiliser autour de $\dfrac{1}{6} \approx 0{,}167$.

$\boxed{\text{La fréquence se stabilise autour de } \frac{1}{6} \approx 0{,}167}$

C'est la loi des grands nombres : plus le nombre de simulations est grand, plus la fréquence se rapproche de la probabilité théorique.