Exercices type brevet — Statistiques & Probabilités

4 exercices de difficulté croissante. Chaque exercice est suivi de son corrigé détaillé.

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Exercice 1 — Moyenne, médiane et étendue ⭐

Durée estimée : 10 minutes — 12 points

Lors d'un contrôle de mathématiques, les notes sur 20 de 25 élèves sont résumées dans le tableau suivant.

1. Calculer la moyenne des notes. Arrondir au dixième.

2. Déterminer l'étendue de la série.

3. Compléter la ligne des effectifs cumulés croissants.

4. Déterminer la médiane de cette série. Interpréter le résultat.

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Corrigé — Exercice 1

1. $\bar{x} = \dfrac{2 \times 6 + 4 \times 8 + 7 \times 10 + 6 \times 12 + 4 \times 14 + 2 \times 16}{25}$

$= \frac{12 + 32 + 70 + 72 + 56 + 32}{25} = \frac{274}{25} = 10{,}96$

$\boxed{\bar{x} = 11{,}0}$

2. $\text{Étendue} = x_{\max} - x_{\min} = 16 - 6 = 10$

$\boxed{\text{Étendue} = 10 \text{ points}}$

3. Effectifs cumulés croissants :

Calcul : $2 \to 2+4=6 \to 6+7=13 \to 13+6=19 \to 19+4=23 \to 23+2=25$

4. $N = 25$ (impair) → la médiane est la valeur de rang $\dfrac{25+1}{2} = 13$.

D'après les cumulés : le cumulé atteint exactement $13$ à la note $10$.

La 13ème valeur est donc $10$.

$\boxed{Me = 10}$

Interprétation : la moitié des élèves (12 sur 25) ont obtenu une note inférieure ou égale à 10, et l'autre moitié a obtenu 10 ou plus.

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Exercice 2 — Quartiles et boîte à moustaches ⭐⭐

Durée estimée : 15 minutes — 16 points

On reprend la série de l'exercice 1.

1. Déterminer le premier quartile $Q_1$.

2. Déterminer le troisième quartile $Q_3$.

3. Calculer l'écart interquartile. Interpréter.

4. Construire la boîte à moustaches de cette série sur un axe gradué de 4 à 18.

5. Une autre classe a obtenu les résultats suivants : Min = 4, $Q_1 = 9$, $Me = 12$, $Q_3 = 15$, Max = 19. Comparer les deux classes.

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Corrigé — Exercice 2

1. $Q_1$ est la plus petite valeur dont le cumulé atteint ou dépasse $\dfrac{N}{4} = \dfrac{25}{4} = 6{,}25$.

Le cumulé atteint $6$ à la note $8$ (pas encore $6{,}25$) et atteint $13$ à la note $10$ ($13 \geqslant 6{,}25$).

$\boxed{Q_1 = 10}$

💡 Attention : le cumulé de la note 8 vaut exactement 6, qui est inférieur à 6,25. On passe donc à la valeur suivante.

2. $Q_3$ est la plus petite valeur dont le cumulé atteint ou dépasse $\dfrac{3N}{4} = \dfrac{75}{4} = 18{,}75$.

Le cumulé atteint $13$ à la note $10$ (pas assez), $19$ à la note $12$ ($19 \geqslant 18{,}75$).

$\boxed{Q_3 = 12}$

3. $\text{Écart interquartile} = Q_3 - Q_1 = 12 - 10 = 2$

$\boxed{\text{Écart interquartile} = 2 \text{ points}}$

Interprétation : les 50% centraux des élèves ont des notes réparties sur seulement 2 points (entre 10 et 12). Les résultats sont assez groupés autour de la médiane.

4. Boîte à moustaches :

Les 5 valeurs : Min = $6$, $Q_1 = 10$, $Me = 10$, $Q_3 = 12$, Max = $16$.

Min   Q₁  Me  Q₃       Max
 6    10  10   12        16
 |—————[===|====]—————————|

Remarque : ici $Q_1 = Me = 10$, donc le trait de la médiane est confondu avec le bord gauche de la boîte. La boîte est courte (2 points), ce qui confirme des résultats groupés.

5. Comparaison des deux classes :

La classe 2 a un niveau central plus élevé (médiane 12 contre 10). En revanche, la classe 1 est plus homogène : ses résultats sont regroupés sur 2 points (écart interquartile = 2) contre 6 points pour la classe 2, qui a des résultats plus dispersés.

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Exercice 3 — Probabilités ⭐⭐⭐

Durée estimée : 20 minutes — 20 points

Un sac contient $20$ boules indiscernables au toucher : $8$ rouges, $7$ bleues et $5$ vertes. On tire une boule au hasard.

Partie A — Probabilités simples

1. Calculer la probabilité de tirer une boule rouge.

2. Calculer la probabilité de tirer une boule verte.

3. Calculer la probabilité de ne pas tirer une boule bleue.

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Partie B — Réunion et intersection

On considère les événements :

• $A$ = « tirer une boule rouge »
• $B$ = « tirer une boule dont la couleur contient la lettre "e" »

4. Lister les issues de l'événement $B$. Calculer $P(B)$.

5. Déterminer $A \cap B$ et calculer $P(A \cap B)$.

6. Calculer $P(A \cup B)$ en utilisant la formule fondamentale. Vérifier en listant les issues.

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Partie C — Simulation

On simule $500$ tirages avec un programme. On obtient $196$ boules rouges, $181$ bleues et $123$ vertes.

7. Calculer la fréquence d'apparition des boules rouges. Est-elle cohérente avec la probabilité théorique ?

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Corrigé — Exercice 3

1. Il y a 8 boules rouges sur 20 boules au total. Les boules sont indiscernables au toucher, donc il y a équiprobabilité.

$P(\text{rouge}) = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$

$\boxed{P(\text{rouge}) = \frac{2}{5} = 0{,}4}$

2. $P(\text{verte}) = \dfrac{5}{20} = \dfrac{1}{4}$

$\boxed{P(\text{verte}) = \frac{1}{4} = 0{,}25}$

3. On utilise l'événement contraire :

$P(\text{pas bleue}) = 1 - P(\text{bleue}) = 1 - \frac{7}{20} = \frac{13}{20}$

$\boxed{P(\text{pas bleue}) = \frac{13}{20} = 0{,}65}$

Vérification : pas bleue = rouge ou verte → $\dfrac{8 + 5}{20} = \dfrac{13}{20}$ ✅

4. Les couleurs contenant la lettre « e » sont : rouge, verte, bleue — en fait les trois contiennent un « e » !

• Rouge : r-o-u-g-e ✅
• Bleue : b-l-e-u-e ✅
• Verte : v-e-r-t-e ✅

Donc $B$ = « tirer n'importe quelle boule » = événement certain.

$P(B) = \frac{20}{20} = 1$

$\boxed{P(B) = 1}$

5. $A \cap B$ = « rouge ET couleur contient un e » = « rouge » (car rouge contient bien un e).

$P(A \cap B) = P(A) = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$

$\boxed{P(A \cap B) = \frac{2}{5}}$

6. Formule fondamentale :

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{2}{5} + 1 - \frac{2}{5} = 1$

$\boxed{P(A \cup B) = 1}$

Vérification : $A \cup B = B$ = événement certain (toute boule est dans $B$), donc $P(A \cup B) = 1$ ✅

7. Fréquence des boules rouges :

$f = \frac{196}{500} = 0{,}392$

La probabilité théorique est $P(\text{rouge}) = 0{,}4$.

La fréquence $0{,}392$ est proche de $0{,}4$, ce qui est cohérent. L'écart ($0{,}008$) est normal pour $500$ tirages. Avec davantage de tirages, la fréquence se rapprocherait encore plus de $0{,}4$ (stabilisation des fréquences). ✅

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Exercice 4 — Problème complet type brevet ⭐⭐⭐⭐

Durée estimée : 25 minutes — 24 points

Un professeur de sport chronométre le temps (en secondes) mis par les $30$ élèves de sa classe pour courir le $100$ m. Les résultats sont résumés ci-dessous.

Partie A — Indicateurs statistiques

1. Calculer la moyenne des temps. On prendra le centre de chaque classe comme valeur représentative (par exemple, $12{,}5$ pour la classe $[12 \,;\, 13[$). Arrondir au dixième.

2. Compléter la ligne des effectifs cumulés croissants.

3. Déterminer la classe médiane. Justifier.

4. Déterminer la classe du premier quartile $Q_1$ et la classe du troisième quartile $Q_3$.

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Partie B — Interprétation

5. Le professeur considère que les élèves ayant un temps inférieur à $14$ s sont « rapides ». Quel pourcentage d'élèves sont rapides ?

6. Quelle est la probabilité qu'un élève choisi au hasard dans la classe ait un temps supérieur ou égal à $16$ s ?

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Partie C — Comparaison

La classe B a les indicateurs suivants : moyenne = $14{,}8$ s, médiane dans $[14 \,;\, 15[$.

7. Comparer les performances des deux classes. Laquelle est globalement plus rapide ? Justifier.

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Corrigé — Exercice 4

1. On utilise les centres de classes :

$\bar{x} = \frac{448}{30} \approx 14{,}93$

$\boxed{\bar{x} \approx 14{,}9 \text{ s}}$

2. Effectifs cumulés croissants :

3. $N = 30$ (pair) → la médiane se situe aux rangs $\dfrac{30}{2} = 15$ et $16$.

D'après les cumulés :

• Le cumulé de $[13 \,;\, 14[$ est $7$ (les 15ème et 16ème valeurs n'y sont pas encore).
• Le cumulé de $[14 \,;\, 15[$ est $16$ (les 15ème et 16ème valeurs y sont).

Les valeurs de rang 15 et 16 sont toutes les deux dans la classe $[14 \,;\, 15[$.

$\boxed{\text{La classe médiane est } [14 \,;\, 15[}$

Interprétation : la moitié des élèves ont couru le 100 m en moins de 15 s environ.

4. Premier quartile : $\dfrac{N}{4} = \dfrac{30}{4} = 7{,}5$ → on cherche la classe contenant le rang $8$.

Le cumulé de $[13 \,;\, 14[$ est $7$ (le rang 8 n'y est pas encore). Le cumulé de $[14 \,;\, 15[$ est $16$ ($16 \geqslant 7{,}5$).

$\boxed{Q_1 \text{ est dans la classe } [14 \,;\, 15[}$

Troisième quartile : $\dfrac{3N}{4} = \dfrac{90}{4} = 22{,}5$ → on cherche la classe contenant le rang $23$.

Le cumulé de $[14 \,;\, 15[$ est $16$ (pas assez). Le cumulé de $[15 \,;\, 16[$ est $24$ ($24 \geqslant 22{,}5$).

$\boxed{Q_3 \text{ est dans la classe } [15 \,;\, 16[}$

5. Les élèves « rapides » (temps $< 14$ s) sont dans les classes $[12 \,;\, 13[$ et $[13 \,;\, 14[$.

Effectif : $2 + 5 = 7$ élèves.

$\text{Pourcentage} = \frac{7}{30} \times 100 \approx 23{,}3\%$

$\boxed{\text{Environ } 23\% \text{ des élèves sont rapides}}$

6. Les élèves avec un temps $\geqslant 16$ s sont dans les classes $[16 \,;\, 17[$ et $[17 \,;\, 18[$.

Effectif : $4 + 2 = 6$ élèves.

$P(t \geqslant 16) = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}$

$\boxed{P(t \geqslant 16) = \frac{1}{5} = 0{,}2}$

7. Comparaison :

Les deux classes ont des performances très proches. La classe B a une moyenne très légèrement inférieure ($14{,}8$ s contre $14{,}9$ s), ce qui signifie qu'elle est en moyenne à peine plus rapide. Les classes médianes sont identiques.

$\boxed{\text{Les deux classes ont des performances quasi identiques, avec un très léger avantage pour la classe B.}}$

En l'absence d'autres indicateurs (écart interquartile, étendue), on ne peut pas distinguer leur homogénéité.