Exercices type brevet — Thalès, Pythagore & Trigonométrie

4 exercices de difficulté croissante. Chaque exercice est suivi de son corrigé détaillé avec la rédaction attendue au brevet.

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Exercice 1 — Pythagore et sa réciproque ⭐

Durée estimée : 10 minutes — 12 points

Le triangle $RST$ est rectangle en $S$, avec $RS = 5$ cm et $ST = 12$ cm.

1. Calculer la longueur $RT$.

2. Un autre triangle $ABC$ a les dimensions suivantes : $AB = 8$ cm, $BC = 15$ cm et $AC = 17$ cm. Le triangle $ABC$ est-il rectangle ? Justifier.

3. Un troisième triangle $DEF$ a les dimensions : $DE = 6$ cm, $EF = 9$ cm et $DF = 12$ cm. Le triangle $DEF$ est-il rectangle ? Justifier.

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Corrigé — Exercice 1

1. Le triangle $RST$ est rectangle en $S$. Le côté $[RT]$ est l'hypoténuse (en face de l'angle droit).

D'après le théorème de Pythagore :

$RT^2 = RS^2 + ST^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$

$RT = \sqrt{169} = 13$

$\boxed{RT = 13 \text{ cm}}$

2. Le plus grand côté est $AC = 17$ cm. Si le triangle est rectangle, il le serait en $B$ (en face du plus grand côté).

Calculons d'une part $AC^2$ et d'autre part $AB^2 + BC^2$ :

$AC^2 = 17^2 = 289$

$AB^2 + BC^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$

On constate que $AC^2 = AB^2 + BC^2$.

D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. ✅

3. Le plus grand côté est $DF = 12$ cm. Si le triangle est rectangle, il le serait en $E$.

$DF^2 = 12^2 = 144$

$DE^2 + EF^2 = 6^2 + 9^2 = 36 + 81 = 117$

$144 \neq 117$

$DF^2 \neq DE^2 + EF^2$, donc d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle $DEF$ n'est pas rectangle. ❌

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Exercice 2 — Thalès : direct, réciproque et contraposée ⭐⭐

Durée estimée : 15 minutes — 18 points

Sur la figure ci-dessous (non représentée à l'échelle), les points $A$, $M$, $B$ sont alignés et les points $A$, $N$, $C$ sont alignés.

On donne : $AM = 4$ cm, $AB = 10$ cm, $AN = 3$ cm, $AC = 7{,}5$ cm et $BC = 12$ cm.

Partie A — Parallélisme

1. Calculer les rapports $\dfrac{AM}{AB}$ et $\dfrac{AN}{AC}$.

2. Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ? Justifier en citant le théorème utilisé.

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Partie B — Calcul de longueur

3. En admettant que $(MN) \parallel (BC)$, calculer la longueur $MN$.

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Partie C — Autre configuration

On considère maintenant deux points $P$ et $Q$ tels que $A$, $P$, $B$ alignés et $A$, $Q$, $C$ alignés, avec $AP = 3$ cm et $AQ = 2{,}5$ cm.

4. Les droites $(PQ)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ? Justifier.

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Corrigé — Exercice 2

1.

$\frac{AM}{AB} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} = 0{,}4$

$\frac{AN}{AC} = \frac{3}{7{,}5} = \frac{30}{75} = \frac{2}{5} = 0{,}4$

$\boxed{\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = 0{,}4}$

2. Les points $A$, $M$, $B$ sont alignés et les points $A$, $N$, $C$ sont alignés dans le même ordre (car $AM < AB$ et $AN < AC$, donc $M$ est entre $A$ et $B$, et $N$ est entre $A$ et $C$).

Les rapports $\dfrac{AM}{AB}$ et $\dfrac{AN}{AC}$ sont égaux.

D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles. ✅

3. Les points $A$, $M$, $B$ sont alignés et les points $A$, $N$, $C$ sont alignés. Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

D'après le théorème de Thalès :

$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$

$\frac{4}{10} = \frac{MN}{12}$

$MN = \frac{4 \times 12}{10} = \frac{48}{10} = 4{,}8$

$\boxed{MN = 4{,}8 \text{ cm}}$

4. Calculons les rapports :

$\frac{AP}{AB} = \frac{3}{10} = 0{,}3$

$\frac{AQ}{AC} = \frac{2{,}5}{7{,}5} = \frac{25}{75} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333...$

$0{,}3 \neq 0{,}333...$, donc les rapports sont différents.

D'après la contraposée du théorème de Thalès, les droites $(PQ)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles. ❌

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Exercice 3 — Trigonométrie ⭐⭐⭐

Durée estimée : 20 minutes — 20 points

Un pylône électrique vertical $[AB]$ est ancré au sol. Un câble de haubanage $[CB]$ relie le sommet $B$ du pylône à un point $C$ situé au sol, à $18$ m du pied $A$ du pylône. Le câble fait un angle de $62°$ avec le sol.

1. Faire un schéma de la situation. Quel est le triangle rectangle ? Où est l'angle droit ?

2. Calculer la hauteur $AB$ du pylône. Arrondir au dixième de mètre.

3. Calculer la longueur du câble $BC$. Arrondir au dixième de mètre.

4. Calculer l'angle $\widehat{ABC}$. Justifier.

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Corrigé — Exercice 3

1. Le pylône est vertical et le sol est horizontal, donc le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ (angle droit au pied du pylône).

• $A$ = pied du pylône (angle droit)
• $B$ = sommet du pylône
• $C$ = point d'ancrage au sol
• $AC = 18$ m (distance au sol)
• $\widehat{ACB} = 62°$ (angle du câble avec le sol)

2. Par rapport à l'angle $\widehat{C} = 62°$ :

• $AB$ est le côté opposé (ne touche pas $C$)
• $AC = 18$ m est le côté adjacent (touche $C$)

Opposé et adjacent → tangente (TOA).

$\tan(62°) = \frac{AB}{AC} = \frac{AB}{18}$

$AB = 18 \times \tan(62°) \approx 18 \times 1{,}8807 \approx 33{,}9$

$\boxed{AB \approx 33{,}9 \text{ m}}$

3. Par rapport à l'angle $\widehat{C} = 62°$ :

• $AC = 18$ m est le côté adjacent
• $BC$ est l'hypoténuse (en face de l'angle droit)

Adjacent et hypoténuse → cosinus (CAH).

$\cos(62°) = \frac{AC}{BC} = \frac{18}{BC}$

$BC = \frac{18}{\cos(62°)} \approx \frac{18}{0{,}4695} \approx 38{,}3$

$\boxed{BC \approx 38{,}3 \text{ m}}$

Vérification avec Pythagore : $AB^2 + AC^2 = 33{,}9^2 + 18^2 = 1\,149{,}21 + 324 = 1\,473{,}21$ et $BC^2 = 38{,}3^2 = 1\,466{,}89$. Les valeurs sont proches (l'écart vient des arrondis). ✅

4. La somme des angles d'un triangle vaut $180°$ :

$\widehat{ABC} = 180° - 90° - 62° = 28°$

$\boxed{\widehat{ABC} = 28°}$

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Exercice 4 — Problème complet Thalès + Pythagore + Trigo ⭐⭐⭐⭐

Durée estimée : 25 minutes — 24 points

Pour estimer la largeur d'une rivière, un géomètre effectue les relevés suivants depuis la rive sud.

Il place un point $A$ sur la rive sud et repère un arbre $B$ sur la rive nord, exactement en face ($[AB]$ est perpendiculaire à la rivière). Il marche ensuite le long de la rive sud jusqu'à un point $C$ situé à $40$ m de $A$. Depuis $C$, il mesure l'angle $\widehat{ACB} = 53°$.

Partie A — Largeur de la rivière

1. Faire un schéma. Identifier le triangle rectangle et l'angle droit.

2. Calculer la largeur $AB$ de la rivière. Arrondir au mètre.

3. Calculer la distance $BC$ (de $C$ à l'arbre). Arrondir au mètre.

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Partie B — Agrandissement

Le géomètre dessine un plan à l'échelle $1 : 500$.

4. Quelle est la longueur, sur le plan, du segment représentant la largeur $AB$ de la rivière ?

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Partie C — Configuration de Thalès

Sur le plan, le géomètre trace la droite $(CB)$. Un point $M$ est placé sur $[CA]$ tel que $CM = 24$ m. La droite passant par $M$ et parallèle à $(AB)$ coupe $[CB]$ en $N$.

5. Faire un schéma de la configuration. Identifier le type (emboîtée ou papillon).

6. Calculer $MN$.

7. Calculer $CN$.

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Corrigé — Exercice 4

1. Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ car $[AB]$ est perpendiculaire à la rivière (et $AC$ est le long de la rive).

• $A$ = point sur la rive sud (angle droit)
• $B$ = arbre sur la rive nord
• $C$ = position du géomètre, à 40 m de $A$ le long de la rive
• $AC = 40$ m, $\widehat{ACB} = 53°$

2. Par rapport à $\widehat{C} = 53°$ :

• $AB$ est le côté opposé (la largeur, ne touche pas $C$)
• $AC = 40$ m est le côté adjacent (le long de la rive, touche $C$)

Opposé et adjacent → tangente (TOA).

$\tan(53°) = \frac{AB}{AC} = \frac{AB}{40}$

$AB = 40 \times \tan(53°) \approx 40 \times 1{,}3270 \approx 53{,}1$

$\boxed{AB \approx 53 \text{ m}}$

3. Adjacent et hypoténuse → cosinus (CAH).

$\cos(53°) = \frac{AC}{BC} = \frac{40}{BC}$

$BC = \frac{40}{\cos(53°)} \approx \frac{40}{0{,}6018} \approx 66{,}5$

$\boxed{BC \approx 66 \text{ m}}$

Vérification avec Pythagore : $AB^2 + AC^2 = 53^2 + 40^2 = 2\,809 + 1\,600 = 4\,409$ et $BC^2 = 66^2 = 4\,356$. Valeurs proches (écart dû aux arrondis). ✅

4. Échelle $1 : 500$ signifie que $1$ cm sur le plan = $500$ cm = $5$ m en réalité.

$AB_{\text{plan}} = \frac{AB_{\text{réel}}}{500} = \frac{53 \text{ m}}{500} = \frac{5\,300 \text{ cm}}{500} = 10{,}6 \text{ cm}$

$\boxed{AB_{\text{plan}} = 10{,}6 \text{ cm}}$

5. C'est une configuration de triangles emboîtés :

• Les points $C$, $M$, $A$ sont alignés (car $M$ est sur $[CA]$).
• Les points $C$, $N$, $B$ sont alignés (car $N$ est sur $[CB]$).
• $(MN) \parallel (AB)$ (donné).
• Le « sommet » commun est $C$.

6. Les points $C$, $M$, $A$ sont alignés et les points $C$, $N$, $B$ sont alignés. $(MN) \parallel (AB)$.

D'après le théorème de Thalès :

$\frac{CM}{CA} = \frac{CN}{CB} = \frac{MN}{AB}$

$\frac{24}{40} = \frac{MN}{53}$

$MN = \frac{24 \times 53}{40} = \frac{1\,272}{40} = 31{,}8$

$\boxed{MN = 31{,}8 \text{ m}}$

7. Avec le même rapport :

$\frac{24}{40} = \frac{CN}{66}$

$CN = \frac{24 \times 66}{40} = \frac{1\,584}{40} = 39{,}6$

$\boxed{CN = 39{,}6 \text{ m}}$

Vérification du rapport : $\dfrac{CM}{CA} = \dfrac{24}{40} = 0{,}6$ et $\dfrac{MN}{AB} = \dfrac{31{,}8}{53} = 0{,}6$ et $\dfrac{CN}{CB} = \dfrac{39{,}6}{66} = 0{,}6$ ✅ Les trois rapports sont bien égaux.