Exercices type brevet — Thalès, Pythagore & Trigonométrie
4 exercices de difficulté croissante. Chaque exercice est suivi de son corrigé détaillé avec la rédaction attendue au brevet.
Exercice 1 — Pythagore et sa réciproque ⭐
Durée estimée : 10 minutes — 12 points
Le triangle RST est rectangle en S, avec RS=5 cm et ST=12 cm.
1. Calculer la longueur RT.
2. Un autre triangle ABC a les dimensions suivantes : AB=8 cm, BC=15 cm et AC=17 cm. Le triangle ABC est-il rectangle ? Justifier.
3. Un troisième triangle DEF a les dimensions : DE=6 cm, EF=9 cm et DF=12 cm. Le triangle DEF est-il rectangle ? Justifier.
Corrigé — Exercice 1
1. Le triangle RST est rectangle en S. Le côté [RT] est l'hypoténuse (en face de l'angle droit).
D'après le théorème de Pythagore :
RT2=RS2+ST2=52+122=25+144=169
RT=169=13
RT=13 cm
2. Le plus grand côté est AC=17 cm. Si le triangle est rectangle, il le serait en B (en face du plus grand côté).
Calculons d'une part AC2 et d'autre part AB2+BC2 :
AC2=172=289
AB2+BC2=82+152=64+225=289
On constate que AC2=AB2+BC2.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B. ✅
3. Le plus grand côté est DF=12 cm. Si le triangle est rectangle, il le serait en E.
DF2=122=144
DE2+EF2=62+92=36+81=117
144=117
DF2=DE2+EF2, donc d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle DEFn'est pas rectangle. ❌
Exercice 2 — Thalès : direct, réciproque et contraposée ⭐⭐
Durée estimée : 15 minutes — 18 points
Sur la figure ci-dessous (non représentée à l'échelle), les points A, M, B sont alignés et les points A, N, C sont alignés.
On donne : AM=4 cm, AB=10 cm, AN=3 cm, AC=7,5 cm et BC=12 cm.
Partie A — Parallélisme
1. Calculer les rapports ABAM et ACAN.
2. Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ? Justifier en citant le théorème utilisé.
Partie B — Calcul de longueur
3. En admettant que (MN)∥(BC), calculer la longueur MN.
Partie C — Autre configuration
On considère maintenant deux points P et Q tels que A, P, B alignés et A, Q, C alignés, avec AP=3 cm et AQ=2,5 cm.
4. Les droites (PQ) et (BC) sont-elles parallèles ? Justifier.
Corrigé — Exercice 2
1.
ABAM=104=52=0,4
ACAN=7,53=7530=52=0,4
ABAM=ACAN=0,4
2. Les points A, M, B sont alignés et les points A, N, C sont alignés dans le même ordre (car AM<AB et AN<AC, donc M est entre A et B, et N est entre A et C).
Les rapports ABAM et ACAN sont égaux.
D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) sont parallèles. ✅
3. Les points A, M, B sont alignés et les points A, N, C sont alignés. Les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès :
ABAM=ACAN=BCMN
104=12MN
MN=104×12=1048=4,8
MN=4,8 cm
4. Calculons les rapports :
ABAP=103=0,3
ACAQ=7,52,5=7525=31≈0,333...
0,3=0,333..., donc les rapports sont différents.
D'après la contraposée du théorème de Thalès, les droites (PQ) et (BC)ne sont pas parallèles. ❌
Exercice 3 — Trigonométrie ⭐⭐⭐
Durée estimée : 20 minutes — 20 points
Un pylône électrique vertical [AB] est ancré au sol. Un câble de haubanage [CB] relie le sommet B du pylône à un point C situé au sol, à 18 m du pied A du pylône. Le câble fait un angle de 62° avec le sol.
1. Faire un schéma de la situation. Quel est le triangle rectangle ? Où est l'angle droit ?
2. Calculer la hauteur AB du pylône. Arrondir au dixième de mètre.
3. Calculer la longueur du câble BC. Arrondir au dixième de mètre.
4. Calculer l'angle ABC. Justifier.
Corrigé — Exercice 3
1. Le pylône est vertical et le sol est horizontal, donc le triangle ABC est rectangle en A (angle droit au pied du pylône).
A = pied du pylône (angle droit)
B = sommet du pylône
C = point d'ancrage au sol
AC=18 m (distance au sol)
ACB=62° (angle du câble avec le sol)
2. Par rapport à l'angle C=62° :
AB est le côté opposé (ne touche pas C)
AC=18 m est le côté adjacent (touche C)
Opposé et adjacent → tangente (TOA).
tan(62°)=ACAB=18AB
AB=18×tan(62°)≈18×1,8807≈33,9
AB≈33,9 m
3. Par rapport à l'angle C=62° :
AC=18 m est le côté adjacent
BC est l'hypoténuse (en face de l'angle droit)
Adjacent et hypoténuse → cosinus (CAH).
cos(62°)=BCAC=BC18
BC=cos(62°)18≈0,469518≈38,3
BC≈38,3 m
Vérification avec Pythagore : AB2+AC2=33,92+182=1149,21+324=1473,21 et BC2=38,32=1466,89. Les valeurs sont proches (l'écart vient des arrondis). ✅
Pour estimer la largeur d'une rivière, un géomètre effectue les relevés suivants depuis la rive sud.
Il place un point A sur la rive sud et repère un arbre B sur la rive nord, exactement en face ([AB] est perpendiculaire à la rivière). Il marche ensuite le long de la rive sud jusqu'à un point C situé à 40 m de A. Depuis C, il mesure l'angle ACB=53°.
Partie A — Largeur de la rivière
1. Faire un schéma. Identifier le triangle rectangle et l'angle droit.
2. Calculer la largeur AB de la rivière. Arrondir au mètre.
3. Calculer la distance BC (de C à l'arbre). Arrondir au mètre.
Partie B — Agrandissement
Le géomètre dessine un plan à l'échelle 1:500.
4. Quelle est la longueur, sur le plan, du segment représentant la largeur AB de la rivière ?
Partie C — Configuration de Thalès
Sur le plan, le géomètre trace la droite (CB). Un point M est placé sur [CA] tel que CM=24 m. La droite passant par M et parallèle à (AB) coupe [CB] en N.
5. Faire un schéma de la configuration. Identifier le type (emboîtée ou papillon).
6. Calculer MN.
7. Calculer CN.
Corrigé — Exercice 4
1. Le triangle ABC est rectangle en A car [AB] est perpendiculaire à la rivière (et AC est le long de la rive).
A = point sur la rive sud (angle droit)
B = arbre sur la rive nord
C = position du géomètre, à 40 m de A le long de la rive
AC=40 m, ACB=53°
2. Par rapport à C=53° :
AB est le côté opposé (la largeur, ne touche pas C)
AC=40 m est le côté adjacent (le long de la rive, touche C)
Opposé et adjacent → tangente (TOA).
tan(53°)=ACAB=40AB
AB=40×tan(53°)≈40×1,3270≈53,1
AB≈53 m
3. Adjacent et hypoténuse → cosinus (CAH).
cos(53°)=BCAC=BC40
BC=cos(53°)40≈0,601840≈66,5
BC≈66 m
Vérification avec Pythagore : AB2+AC2=532+402=2809+1600=4409 et BC2=662=4356. Valeurs proches (écart dû aux arrondis). ✅
4. Échelle 1:500 signifie que 1 cm sur le plan = 500 cm = 5 m en réalité.
ABplan=500ABreˊel=50053 m=5005300 cm=10,6 cm
ABplan=10,6 cm
5. C'est une configuration de triangles emboîtés :
Les points C, M, A sont alignés (car M est sur [CA]).
Les points C, N, B sont alignés (car N est sur [CB]).
(MN)∥(AB) (donné).
Le « sommet » commun est C.
6. Les points C, M, A sont alignés et les points C, N, B sont alignés. (MN)∥(AB).
D'après le théorème de Thalès :
CACM=CBCN=ABMN
4024=53MN
MN=4024×53=401272=31,8
MN=31,8 m
7. Avec le même rapport :
4024=66CN
CN=4024×66=401584=39,6
CN=39,6 m
Vérification du rapport : CACM=4024=0,6 et ABMN=5331,8=0,6 et CBCN=6639,6=0,6 ✅ Les trois rapports sont bien égaux.
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