Exercice présent presque chaque année au brevet, souvent couplé avec un tableau de valeurs ou un graphique. L'élève doit savoir lire un graphique, déterminer une expression, et résoudre graphiquement des équations ou des inéquations.
1. Le vocabulaire — Image et antécédent
Définitions
Image de x par f : c'est f(x), le résultat. Toujours unique.
Antécédent de y par f : c'est le nombre x tel que f(x)=y. Peut être multiple, unique ou inexistant.
Comment les trouver ?
Ce qu'on demande
Par la formule
Par le graphique
Image de x0
Remplacer x par x0 dans f(x)
Partir de x0 sur l'axe horizontal → monter jusqu'à la courbe → lire sur l'axe vertical
Antécédent(s) de k
Résoudre l'équation f(x)=k
Tracer la droite y=k → lire les abscisses des intersections avec la courbe
Exemple type brevet
Soit f(x)=3x2−2x+5.
Calculer f(4) :
f(4)=3×42−2×4+5=3×16−8+5=48−8+5=45
L'image de 4 par f est 45.
Trouver les antécédents de 6 par g(x)=2x+1 :
On résout 2x+1=6 → 2x=5 → x=2,5.
L'antécédent de 6 par g est 2,5.
2. Les trois représentations d'une fonction
Au brevet, on passe constamment de l'une à l'autre.
Représentation
Ce qu'elle permet
Exemple
Formule
Calculer n'importe quelle image
f(x)=2x+1
Tableau de valeurs
Voir quelques couples (x;f(x))
x=−1→f(x)=−1, x=0→f(x)=1, etc.
Courbe (graphique)
Visualiser le comportement global
Droite, parabole...
Du tableau à la formule
Si on repère que les valeurs augmentent régulièrement (par exemple, quand x augmente de 1, f(x) augmente de 2), c'est une fonction affinef(x)=ax+b.
Si les valeurs suivent un carré (0,1,4,9,16...), c'est la fonction carré ou une variante.
3. La fonction linéaire — Proportionnalité
Définition
f(x)=ax
La courbe est une droite passant par l'origineO(0;0).
a est le coefficient de proportionnalité = coefficient directeur = pente.
Modélise une situation de proportionnalité.
Reconnaître graphiquement
Un graphique représente une proportionnalité si et seulement si la droite passe par l'origine.
⚠️ Si la droite ne passe pas par l'origine → ce n'est pas de la proportionnalité → c'est une fonction affine.
Calculer a
Si la droite passe par l'origine et par un point A(xA;yA) :
a=xAyA
Exemple : La droite passe par O et par A(4;6) → a=46=23 → f(x)=23x.
4. La fonction affine — La droite quelconque
Définition
f(x)=ax+b
Paramètre
Nom
Signification
Comment le trouver
a
Coefficient directeur
La pente de la droite
a=xB−xAyB−yA
b
Ordonnée à l'origine
Où la droite coupe l'axe vertical
b=f(0)
Cas particuliers
Condition
Type
Courbe
b=0
Fonction linéaire : f(x)=ax
Droite passant par l'origine
a=0
Fonction constante : f(x)=b
Droite horizontale
Sens de variation
Signe de a
Variation
Allure
a>0
Croissante
La droite monte ↗
a<0
Décroissante
La droite descend ↘
a=0
Constante
La droite est horizontale →
💡 Plus ∣a∣ est grand, plus la droite est pentue. Plus ∣a∣ est petit, plus la droite est plate.
Déterminer l'expression f(x)=ax+b
Méthode à partir de deux pointsA(xA;yA) et B(xB;yB) :
Étape 1 : Calculer a :
a=xB−xAyB−yA
Étape 2 : Trouver b en remplaçant un point dans f(x)=ax+b :
b=yA−a×xA
Exemple type brevet : La droite passe par A(1;3) et B(4;9).
a=4−19−3=36=2
b=3−2×1=1
f(x)=2x+1
Vérification : f(4)=2×4+1=9 ✅
Méthode à partir du graphique :
Lire b : c'est l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des ordonnées.
Choisir deux points bien placés sur les graduations, calculer a.
5. La fonction carré
Définition
f(x)=x2
Propriétés de la parabole
Propriété
Détail
Sommet
O(0;0) — le point le plus bas
Symétrie
Par rapport à l'axe des ordonnées : f(−x)=f(x)
Variations
Décroissante pour x<0, croissante pour x>0
Signe
f(x)⩾0 pour tout x (un carré est toujours positif ou nul)
Antécédents par la fonction carré
Valeur k
Nombre d'antécédents
Lesquels
k>0
Deux : k et −k
Ex : x2=9 → x=3 ou x=−3
k=0
Un seul : 0
x2=0 → x=0
k<0
Aucun
x2=−4 → impossible
📌 Piège classique : quand k>0, ne pas oublier la solution négative−k.
6. Résolution graphique — Les questions types du brevet
Résoudre f(x)=k graphiquement
Méthode : tracer la droite horizontale y=k, lire les abscisses des points d'intersection avec la courbe.
Exemple : Résoudre f(x)=5 pour f(x)=2x+1.
On trace y=5.
L'intersection avec la droite de f se fait en x=2.
Vérification : f(2)=2×2+1=5 ✅
Résoudre f(x)=g(x) graphiquement
Méthode : lire les abscisses des points d'intersection des deux courbes.
Exemple : Résoudre 2x+1=−x+7.
Les deux droites se coupent en (2;5).
Donc x=2.
Vérification : f(2)=5 et g(2)=−2+7=5 ✅
Résoudre f(x)>k ou f(x)>g(x) graphiquement
Méthode : repérer les zones où la courbe de f est au-dessus de y=k (ou au-dessus de la courbe de g).
Exemple : Résoudre 2x+1>−x+7.
Les droites se coupent en x=2.
Pour x>2 : f est au-dessus de g → f(x)>g(x).
Pour x<2 : f est en dessous → f(x)<g(x).
Résoudre f(x)=k avec la parabole
y=k avec k>0 → coupe la parabole en deux points (deux solutions).
y=0 → touche la parabole en un seul point (une solution : x=0).
y=k avec k<0 → aucune intersection (aucune solution).
7. Signe d'une fonction affine
Zéro de la fonction
f(x)=ax+b s'annule quand :
ax+b=0⇒x=−ab
Tableau de signes
Le signe de f(x) dépend du signe de a :
Si a>0 (droite qui monte) : f(x) est négatif avant le zéro, positif après.
x
−∞
−ab
+∞
Signe de f(x)
−
0
+
Si a<0 (droite qui descend) : f(x) est positif avant le zéro, négatif après.
x
−∞
−ab
+∞
Signe de f(x)
+
0
−
💡 Moyen mnémotechnique : le signe de f(x) est celui de a pour les grandes valeurs de x.
Exemple : f(x)=−2x+6.
Zéro : −2x+6=0⇒x=3.
a=−2<0 → positif avant 3, négatif après.
Vérification : f(0)=6>0 ✅ et f(5)=−4<0 ✅
8. Problèmes de comparaison — Le classique brevet
Le schéma type
On compare deux offres / deux tarifs : un avec abonnement (affine : f(x)=ax+b) et un sans (linéaire : g(x)=cx).
Exemple : Cinéma avec abonnement 25 € puis 3 €/séance, ou 8 €/séance sans abonnement.
Avec abonnement : f(x)=3x+25
Sans abonnement : g(x)=8x
On résout f(x)=g(x) : 3x+25=8x → 25=5x → x=5.
L'abonnement est avantageux à partir de 6 séances (x>5 et x entier).
Variantes : forfait téléphonique, location de voiture, fournisseur d'énergie...
La démarche est toujours la même :
Écrire les deux expressions.
Résoudre f(x)=g(x) (algébriquement ou graphiquement).
Déterminer pour quelles valeurs une offre est meilleure que l'autre.
9. Proportionnalité et fonction linéaire — Le lien
Au brevet, on peut demander de prouver qu'une situation est proportionnelle (ou pas).
Comment vérifier ?
Méthode
Proportionnel si...
Tableau
Tous les rapports xy sont égaux
Graphique
Les points sont alignés et passent par l'origine
Formule
f(x)=ax (pas de +b)
⚠️ Piège : une droite qui ne passe pas par l'origine n'est pas une proportionnalité. C'est une fonction affine (b=0), pas linéaire.
10. Lire un graphique — Méthode détaillée
Lire une image
Repérer x0 sur l'axe horizontal.
Tracer une verticale jusqu'à la courbe.
Tracer une horizontale jusqu'à l'axe vertical.
Lire la valeur : c'est f(x0).
Lire un antécédent
Repérer k sur l'axe vertical.
Tracer la droite horizontaley=k.
Repérer les intersections avec la courbe.
Descendre verticalement pour lire les abscisses : ce sont les antécédents.