Fiche Brevet — Fonctions

Exercice présent presque chaque année au brevet, souvent couplé avec un tableau de valeurs ou un graphique. L'élève doit savoir lire un graphique, déterminer une expression, et résoudre graphiquement des équations ou des inéquations.

---

1. Le vocabulaire — Image et antécédent

Définitions

• Image de $x$ par $f$ : c'est $f(x)$, le résultat. Toujours unique.
• Antécédent de $y$ par $f$ : c'est le nombre $x$ tel que $f(x) = y$. Peut être multiple, unique ou inexistant.

---

Comment les trouver ?

---

Exemple type brevet

Soit $f(x) = 3x^2 - 2x + 5$.

Calculer $f(4)$ :

$f(4) = 3 \times 4^2 - 2 \times 4 + 5 = 3 \times 16 - 8 + 5 = 48 - 8 + 5 = 45$

L'image de $4$ par $f$ est $45$.

Trouver les antécédents de $6$ par $g(x) = 2x + 1$ :

On résout $2x + 1 = 6$ → $2x = 5$ → $x = 2{,}5$.

L'antécédent de $6$ par $g$ est $2{,}5$.

---

2. Les trois représentations d'une fonction

Au brevet, on passe constamment de l'une à l'autre.

Du tableau à la formule

Si on repère que les valeurs augmentent régulièrement (par exemple, quand $x$ augmente de $1$, $f(x)$ augmente de $2$), c'est une fonction affine $f(x) = ax + b$.

Si les valeurs suivent un carré ($0, 1, 4, 9, 16...$), c'est la fonction carré ou une variante.

---

3. La fonction linéaire — Proportionnalité

Définition

$f(x) = ax$

• La courbe est une droite passant par l'origine $O(0 ; 0)$.
• $a$ est le coefficient de proportionnalité = coefficient directeur = pente.
• Modélise une situation de proportionnalité.

---

Reconnaître graphiquement

Un graphique représente une proportionnalité si et seulement si la droite passe par l'origine.

⚠️ Si la droite ne passe pas par l'origine → ce n'est pas de la proportionnalité → c'est une fonction affine.

---

Calculer $a$

Si la droite passe par l'origine et par un point $A(x_A ; y_A)$ :

$a = \frac{y_A}{x_A}$

Exemple : La droite passe par $O$ et par $A(4 ; 6)$ → $a = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}$ → $f(x) = \dfrac{3}{2}x$.

---

4. La fonction affine — La droite quelconque

Définition

$f(x) = ax + b$

---

Cas particuliers

---

Sens de variation

💡 Plus $|a|$ est grand, plus la droite est pentue. Plus $|a|$ est petit, plus la droite est plate.

---

Déterminer l'expression $f(x) = ax + b$

Méthode à partir de deux points $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$ :

Étape 1 : Calculer $a$ :

$a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$

Étape 2 : Trouver $b$ en remplaçant un point dans $f(x) = ax + b$ :

$b = y_A - a \times x_A$

Exemple type brevet : La droite passe par $A(1 ; 3)$ et $B(4 ; 9)$.

• $a = \dfrac{9 - 3}{4 - 1} = \dfrac{6}{3} = 2$
• $b = 3 - 2 \times 1 = 1$
• $f(x) = 2x + 1$
• Vérification : $f(4) = 2 \times 4 + 1 = 9$ ✅

Méthode à partir du graphique :

1. Lire $b$ : c'est l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des ordonnées.
2. Choisir deux points bien placés sur les graduations, calculer $a$.

---

5. La fonction carré

Définition

$f(x) = x^2$

---

Propriétés de la parabole

---

Antécédents par la fonction carré

📌 Piège classique : quand $k > 0$, ne pas oublier la solution négative $-\sqrt{k}$.

---

6. Résolution graphique — Les questions types du brevet

Résoudre $f(x) = k$ graphiquement

Méthode : tracer la droite horizontale $y = k$, lire les abscisses des points d'intersection avec la courbe.

Exemple : Résoudre $f(x) = 5$ pour $f(x) = 2x + 1$.

• On trace $y = 5$.
• L'intersection avec la droite de $f$ se fait en $x = 2$.
• Vérification : $f(2) = 2 \times 2 + 1 = 5$ ✅

---

Résoudre $f(x) = g(x)$ graphiquement

Méthode : lire les abscisses des points d'intersection des deux courbes.

Exemple : Résoudre $2x + 1 = -x + 7$.

• Les deux droites se coupent en $(2 ; 5)$.
• Donc $x = 2$.
• Vérification : $f(2) = 5$ et $g(2) = -2 + 7 = 5$ ✅

---

Résoudre $f(x) > k$ ou $f(x) > g(x)$ graphiquement

Méthode : repérer les zones où la courbe de $f$ est au-dessus de $y = k$ (ou au-dessus de la courbe de $g$).

Exemple : Résoudre $2x + 1 > -x + 7$.

• Les droites se coupent en $x = 2$.
• Pour $x > 2$ : $f$ est au-dessus de $g$ → $f(x) > g(x)$.
• Pour $x < 2$ : $f$ est en dessous → $f(x) < g(x)$.

---

Résoudre $f(x) = k$ avec la parabole

• $y = k$ avec $k > 0$ → coupe la parabole en deux points (deux solutions).
• $y = 0$ → touche la parabole en un seul point (une solution : $x = 0$).
• $y = k$ avec $k < 0$ → aucune intersection (aucune solution).

---

7. Signe d'une fonction affine

Zéro de la fonction

$f(x) = ax + b$ s'annule quand :

$ax + b = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{b}{a}$

---

Tableau de signes

Le signe de $f(x)$ dépend du signe de $a$ :

Si $a > 0$ (droite qui monte) : $f(x)$ est négatif avant le zéro, positif après.

Si $a < 0$ (droite qui descend) : $f(x)$ est positif avant le zéro, négatif après.

💡 Moyen mnémotechnique : le signe de $f(x)$ est celui de $a$ pour les grandes valeurs de $x$.

Exemple : $f(x) = -2x + 6$.

• Zéro : $-2x + 6 = 0 \Rightarrow x = 3$.
• $a = -2 < 0$ → positif avant $3$, négatif après.
• Vérification : $f(0) = 6 > 0$ ✅ et $f(5) = -4 < 0$ ✅

---

8. Problèmes de comparaison — Le classique brevet

Le schéma type

On compare deux offres / deux tarifs : un avec abonnement (affine : $f(x) = ax + b$) et un sans (linéaire : $g(x) = cx$).

Exemple : Cinéma avec abonnement $25$ € puis $3$ €/séance, ou $8$ €/séance sans abonnement.

• Avec abonnement : $f(x) = 3x + 25$
• Sans abonnement : $g(x) = 8x$
• On résout $f(x) = g(x)$ : $3x + 25 = 8x$ → $25 = 5x$ → $x = 5$.
• L'abonnement est avantageux à partir de $6$ séances ($x > 5$ et $x$ entier).

Variantes : forfait téléphonique, location de voiture, fournisseur d'énergie...

La démarche est toujours la même :

1. Écrire les deux expressions.
2. Résoudre $f(x) = g(x)$ (algébriquement ou graphiquement).
3. Déterminer pour quelles valeurs une offre est meilleure que l'autre.

---

9. Proportionnalité et fonction linéaire — Le lien

Au brevet, on peut demander de prouver qu'une situation est proportionnelle (ou pas).

Comment vérifier ?

⚠️ Piège : une droite qui ne passe pas par l'origine n'est pas une proportionnalité. C'est une fonction affine ($b \neq 0$), pas linéaire.

---

10. Lire un graphique — Méthode détaillée

Lire une image

1. Repérer $x_0$ sur l'axe horizontal.
2. Tracer une verticale jusqu'à la courbe.
3. Tracer une horizontale jusqu'à l'axe vertical.
4. Lire la valeur : c'est $f(x_0)$.

---

Lire un antécédent

1. Repérer $k$ sur l'axe vertical.
2. Tracer la droite horizontale $y = k$.
3. Repérer les intersections avec la courbe.
4. Descendre verticalement pour lire les abscisses : ce sont les antécédents.

---

Erreurs fréquentes en lecture graphique

---

📌 Checklist avant de rendre sa copie

• J'ai bien distingué image (résultat unique) et antécédent (résoudre une équation)
• Pour une lecture graphique, j'ai tracé les traits de construction (verticaux et horizontaux)
• J'ai vérifié si la droite passe par l'origine avant de conclure sur la proportionnalité
• Le coefficient directeur $a$ est calculé avec la formule $\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$
• J'ai vérifié l'expression trouvée en la testant avec un point connu
• Pour les inéquations graphiques, j'ai bien identifié « au-dessus » (>) et « en dessous » (<)
• J'ai répondu à la question dans le contexte (nombre de séances, prix, etc.)