Images et couleurs

L'appareil photo d'un téléphone fait la mise au point en une fraction de seconde ; l'œil passe d'un paysage lointain à un texte tenu à $25$ cm sans que l'on y pense. Dans les deux cas, une lentille convergente forme une image dont la position et la taille obéissent à deux relations simples, les relations de conjugaison et de grandissement. La seconde partie du chapitre s'intéresse à la couleur : pourquoi un écran n'utilise-t-il que trois couleurs de base, pourquoi un objet rouge paraît-il noir sous une lumière verte, comment une imprimante fabrique-t-elle toutes les teintes avec trois encres ?

1. Lentille mince convergente

1.1 Rappels

Une lentille mince convergente (bords minces, centre épais) est caractérisée par :

• son centre optique O : un rayon passant par O n'est pas dévié ;
• ses foyers : le foyer image F', point où convergent les rayons arrivant parallèles à l'axe optique ; le foyer objet F, symétrique de F' par rapport à O : un rayon passant par F ressort parallèle à l'axe ;
• sa distance focale $f' = \overline{OF'} > 0$, en mètres. Plus $f'$ est petite, plus la lentille est convergente.

1.2 Construction d'une image

Pour un objet AB perpendiculaire à l'axe, A sur l'axe, l'image A'B' se construit avec trois rayons issus de B :

1. le rayon parallèle à l'axe ressort en passant par F' ;
2. le rayon passant par O n'est pas dévié ;
3. le rayon passant par F ressort parallèle à l'axe.

Leur intersection donne B' ; A' est sur l'axe, à la verticale de B'. Deux rayons suffisent, le troisième sert de vérification.

1.3 Grandeurs algébriques

Pour décrire les positions sans ambiguïté, on utilise des mesures algébriques : $\overline{OA}$ est la distance OA affectée du signe $+$ si A est à droite de O (dans le sens de propagation de la lumière), $-$ sinon. De même $\overline{AB}$ est positif si B est au-dessus de l'axe. Un objet réel est à gauche de la lentille : $\overline{OA} < 0$.

2. Relations de conjugaison et de grandissement

2.1 Relation de conjugaison

Les positions de l'objet et de l'image sont liées par

$\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'}$

Connaissant $f'$ et $\overline{OA}$, on en tire $\overline{OA'}$ : $\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{\overline{OA}}$.

2.2 Grandissement

Le grandissement $\gamma$ compare les tailles algébriques de l'image et de l'objet :

$\gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}$

Il est sans unité. Son signe et sa valeur absolue donnent les caractéristiques de l'image :

2.3 Les trois cas selon la position de l'objet

Exemple. $f' = 10$ cm, objet AB de $2{,}0$ cm placé à $30$ cm devant la lentille : $\overline{OA} = -30$ cm. $\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{10} - \dfrac{1}{30} = \dfrac{2}{30}$, donc $\overline{OA'} = +15$ cm : image réelle, $15$ cm derrière la lentille. $\gamma = \dfrac{15}{-30} = -0{,}50$ : image renversée, deux fois plus petite, $\overline{A'B'} = -1{,}0$ cm.

3. La mise au point

Pour qu'une image soit nette sur un écran (capteur, rétine), il faut que $\overline{OA'}$ corresponde exactement à la distance lentille-écran. Quand l'objet se rapproche, $\overline{OA'}$ augmente : il faut agir sur l'un des deux autres paramètres de la relation de conjugaison.

• Appareil photo : la focale est fixe ; on déplace la lentille par rapport au capteur pour ajuster $\overline{OA'}$. Pour $f' = 50$ mm, un objet à $2{,}0$ m donne $\overline{OA'} = 51{,}3$ mm : la lentille recule de $1{,}3$ mm par rapport à sa position pour l'infini.
• Œil : la distance cristallin-rétine est fixe ($\approx 17$ mm) ; c'est la focale du cristallin qui change grâce aux muscles ciliaires : c'est l'accommodation. Objet à l'infini : $f' = 17$ mm ; objet à $25$ cm : $f' = 15{,}9$ mm.
• Lentilles à focale variable (téléphones, lentilles liquides) : la courbure de la lentille est modifiée électriquement, comme dans l'œil, sans pièce mobile.

4. Lumière blanche et synthèse des couleurs

4.1 Lumière blanche, couleurs primaires

La lumière blanche (Soleil, lampe) contient toutes les radiations visibles, du violet au rouge. L'œil ne distingue pas chaque radiation : sa rétine possède trois types de cônes, sensibles respectivement au rouge, au vert et au bleu (trichromie). Une couleur perçue ne dépend que de l'excitation de ces trois types de cônes ; c'est pourquoi trois lumières suffisent à reproduire toutes les couleurs.

4.2 Synthèse additive

On ajoute des lumières colorées. Avec les trois primaires rouge (R), vert (V), bleu (B) :

• R + V = jaune ; R + B = magenta ; V + B = cyan ;
• R + V + B = blanc.

Deux couleurs dont la somme donne du blanc sont complémentaires : rouge et cyan, vert et magenta, bleu et jaune. La synthèse additive est celle des écrans, des projecteurs, des éclairages de scène : chaque pixel contient trois sources R, V, B dont on règle l'intensité.

4.3 Synthèse soustractive

On retire des radiations à la lumière blanche par absorption, avec des pigments ou des filtres. Les primaires sont cyan, magenta et jaune (C, M, J) : un filtre ou un pigment cyan absorbe le rouge (et laisse passer vert et bleu), le magenta absorbe le vert, le jaune absorbe le bleu.

• C + M : seul le bleu subsiste ; C + J : vert ; M + J : rouge ;
• C + M + J : tout est absorbé, noir.

C'est la synthèse des peintures, des imprimantes (encres CMJ, plus le noir) et des filtres superposés.

Choisir le bon modèle. Des lumières qui s'ajoutent (écran, projecteurs) : synthèse additive. De la matière qui absorbe (encres, filtres, peintures) : synthèse soustractive.

5. Couleur des objets

5.1 Absorption, diffusion, transmission

Un objet éclairé peut absorber une partie de la lumière reçue, en diffuser une partie dans toutes les directions et en transmettre une partie s'il est transparent. La couleur perçue d'un objet opaque est celle de la lumière qu'il diffuse : la lumière reçue, moins ce qu'il absorbe.

• Un objet blanc diffuse toutes les radiations reçues ; un objet noir les absorbe toutes.
• Un objet rouge éclairé en lumière blanche absorbe le vert et le bleu et diffuse le rouge.
• Le même objet rouge éclairé en lumière verte ne reçoit rien qu'il puisse diffuser : il paraît noir. Éclairé en lumière jaune (R + V), il diffuse le rouge et paraît rouge.

Un filtre coloré ne transmet que les radiations de sa couleur (au sens des trois primaires) : un filtre rouge placé devant l'œil ne laisse passer que la composante rouge de la lumière diffusée par les objets.

5.2 Méthode

Pour prévoir la couleur perçue : décomposer la lumière incidente en composantes R, V, B ; garder celles que l'objet diffuse (celles de sa couleur sous lumière blanche) ; puis celles que le filtre transmet. Recomposer par synthèse additive.

6. Exemple résolu pas à pas

Énoncé. Une loupe a une distance focale $f' = 8{,}0$ cm. Un timbre de hauteur $AB = 2{,}0$ cm est placé à $5{,}0$ cm de la lentille, puis à $12$ cm. La loupe est ensuite utilisée pour observer, sous un éclairage rouge, un timbre dont les motifs sont rouges sur fond cyan.

a) Pour chaque position, calculer $\overline{OA'}$ et $\gamma$, puis caractériser l'image. b) Dans quel cas la lentille joue-t-elle le rôle de loupe ? c) Quelles couleurs le timbre présente-t-il sous l'éclairage rouge ?

Résolution.

a) Position 1 : $\overline{OA} = -5{,}0$ cm. $\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{8{,}0} - \dfrac{1}{5{,}0} = -\dfrac{3}{40}$, $\overline{OA'} = -13$ cm : image virtuelle, du côté de l'objet. $\gamma = \dfrac{-13{,}3}{-5{,}0} = +2{,}7$ : image droite et agrandie ($\overline{A'B'} = 5{,}3$ cm). Position 2 : $\overline{OA} = -12$ cm. $\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{8{,}0} - \dfrac{1}{12} = \dfrac{1}{24}$, $\overline{OA'} = +24$ cm : image réelle. $\gamma = \dfrac{24}{-12} = -2{,}0$ : image renversée, agrandie ($\overline{A'B'} = -4{,}0$ cm).

b) En position 1 (objet entre F et O) : l'image virtuelle, droite et agrandie est observée à travers la lentille, c'est l'usage d'une loupe. En position 2, l'image réelle renversée se projette sur un écran (principe du vidéoprojecteur).

c) Sous lumière rouge, les motifs rouges diffusent le rouge : ils paraissent rouges. Le fond cyan absorbe le rouge et ne reçoit ni vert ni bleu à diffuser : il paraît noir. Le timbre apparaît rouge sur noir.

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🎯 Rédiger. Écrire les mesures algébriques avec leur signe ($\overline{OA} < 0$ pour un objet réel), appliquer la relation de conjugaison, puis conclure sur la nature (réelle ou virtuelle), le sens (droite ou renversée) et la taille de l'image à partir des signes de $\overline{OA'}$ et de $\gamma$. Pour une couleur, raisonner composante par composante (R, V, B).

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📌 À retenir

1. Lentille convergente : O, F, F', $f' = \overline{OF'}$ ; trois rayons pour construire l'image.
2. Conjugaison $\dfrac{1}{\overline{OA'}} - \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{f'}$ ; grandissement $\gamma = \dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}$.
3. $\overline{OA'} > 0$ réelle, $< 0$ virtuelle ; $\gamma < 0$ renversée ; $\lvert\gamma\rvert > 1$ agrandie. Loupe : objet entre F et O.
4. Mise au point : déplacer la lentille (appareil photo) ou changer la focale (œil, lentilles à focale variable).
5. Additive (lumières, écrans) : R + V + B = blanc, complémentaires ; soustractive (pigments, filtres) : C, M, J absorbent R, V, B. Couleur d'un objet = lumière diffusée = reçue moins absorbée.