Interactions fondamentales et notion de champ

Un ballon frotté sur un pull attire des cheveux ; la Lune tourne autour de la Terre ; un électron reste lié au noyau de son atome. Ces trois situations mettent en jeu des interactions à distance : l'interaction électrostatique, entre objets chargés, et l'interaction gravitationnelle, entre objets massifs. Elles obéissent à des lois étonnamment semblables, la loi de Coulomb et la loi de gravitation. Pour décrire ces actions à distance, la physique introduit la notion de champ : en chaque point de l'espace, un vecteur qui indique la force que subirait un objet placé là. Ce chapitre construit ces deux lois, leurs analogies, et les champs de gravitation et électrostatique.

1. La charge électrique et l'interaction électrostatique

1.1 La charge électrique

La charge électrique $q$ est une grandeur qui caractérise la façon dont un objet participe à l'interaction électrostatique. Elle s'exprime en coulombs (C) et peut être positive ou négative. Elle est quantifiée : toute charge est un multiple entier de la charge élémentaire

$e = 1{,}60 \times 10^{-19} \text{ C}$

L'électron porte la charge $-e$, le proton la charge $+e$ ; un ion $\text{Cu}^{2+}$ porte $+2e$. Un objet neutre contient autant de charges positives que négatives. Dans un solide, seuls les électrons peuvent être transférés d'un objet à l'autre : un objet chargé négativement a gagné des électrons, un objet chargé positivement en a perdu. La charge totale se conserve.

1.2 Trois façons d'électriser un objet

• Par frottement : en frottant une règle en plastique avec un chiffon de laine, des électrons passent de la laine vers le plastique ; la règle devient négative, la laine positive.
• Par contact : un objet chargé touché par un objet neutre lui cède une partie de sa charge ; les deux se retrouvent chargés de même signe et se repoussent.
• Par influence : un objet chargé approché d'un objet neutre déplace les charges de celui-ci sans contact : les charges de signe opposé se rapprochent, celles de même signe s'éloignent. La face la plus proche étant de signe opposé, l'objet neutre est attiré : c'est ainsi qu'une règle frottée attire des morceaux de papier neutres.

Règle d'interaction. Deux charges de même signe se repoussent ; deux charges de signes opposés s'attirent. Un objet chargé attire toujours un objet neutre (influence).

2. La loi de Coulomb

2.1 Énoncé

Deux corps ponctuels A et B, de charges $q_A$ et $q_B$, distants de $d$, exercent l'un sur l'autre des forces électrostatiques opposées, de même valeur

$F = k \, \frac{|q_A| \, |q_B|}{d^2} \qquad k = 8{,}99 \times 10^{9} \text{ N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{C}^{-2}$

Vectoriellement, la force exercée par A sur B s'écrit $\vec{F}_{A/B} = k \, \dfrac{q_A q_B}{d^2} \, \vec{u}_{AB}$, où $\vec{u}_{AB}$ est le vecteur unitaire dirigé de A vers B : si $q_A q_B > 0$, la force sur B est dirigée de A vers B (répulsion) ; si $q_A q_B < 0$, elle est dirigée vers A (attraction). Les deux forces $\vec{F}_{A/B}$ et $\vec{F}_{B/A}$ sont opposées (principe des actions réciproques).

Exemple. Deux petites sphères portant chacune $q = 1{,}0$ µC $= 1{,}0 \times 10^{-6}$ C, distantes de $10$ cm : $F = 8{,}99 \times 10^9 \times \dfrac{(1{,}0 \times 10^{-6})^2}{(0{,}10)^2} = 0{,}90$ N. C'est énorme pour un microcoulomb : les charges accessibles dans la vie courante sont bien plus petites (quelques nanocoulombs).

2.2 Ce que dit la loi

• La force est proportionnelle à chaque charge ;
• elle est inversement proportionnelle au carré de la distance : à distance double, force quatre fois plus petite ;
• elle est dirigée suivant la droite qui joint les deux charges.

3. Loi de Coulomb et loi de gravitation : les analogies

La loi de gravitation universelle (classe de seconde) donne la force attractive entre deux corps de masses $m_A$ et $m_B$ distants de $d$ :

$F = G \, \frac{m_A \, m_B}{d^2} \qquad G = 6{,}67 \times 10^{-11} \text{ N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2} \qquad \vec{F}_{A/B} = -G \, \frac{m_A m_B}{d^2} \, \vec{u}_{AB}$

Les deux lois ont la même forme mathématique ; elles diffèrent par la nature de la grandeur source, par le signe possible et par l'ordre de grandeur des constantes.

4. La notion de champ

4.1 Champ de gravitation

Plutôt que de calculer la force exercée par la Terre sur chaque objet, on définit en chaque point M de l'espace le champ de gravitation créé par la Terre : c'est la force par unité de masse que subirait un objet placé en M.

$\vec{g}(M) = \frac{\vec{F}}{m} = G \, \frac{M_T}{d^2} \, \vec{u} \qquad \text{unité : N}\cdot\text{kg}^{-1}$

où $d$ est la distance au centre de la Terre et $\vec{u}$ le vecteur unitaire dirigé vers le centre. Le champ est radial (dirigé vers le centre), centripète, et sa valeur diminue avec l'altitude. À la surface, $g = G M_T / R_T^2 = 9{,}8$ N·kg⁻¹. Un objet de masse $m$ placé en M subit la force $\vec{F} = m \, \vec{g}(M)$ : c'est son poids. À l'échelle d'une salle de classe, le champ est pratiquement uniforme : même direction (verticale), même sens (vers le bas), même valeur.

4.2 Champ électrostatique

De même, une charge $Q$ crée en tout point M de l'espace un champ électrostatique

$\vec{E}(M) = \frac{\vec{F}}{q} = k \, \frac{Q}{d^2} \, \vec{u} \qquad \text{unité : N}\cdot\text{C}^{-1} \text{ (ou V}\cdot\text{m}^{-1})$

où $\vec{u}$ est le vecteur unitaire dirigé de la charge $Q$ vers M. Le champ est dirigé vers l'extérieur si $Q > 0$ (il « sort » de la charge), vers la charge si $Q < 0$. Une charge $q$ placée en M subit la force $\vec{F} = q \, \vec{E}(M)$ : de même sens que $\vec{E}$ si $q > 0$, de sens opposé si $q < 0$.

4.3 Lignes de champ

Une ligne de champ est une courbe qui, en chacun de ses points, est tangente au vecteur champ et orientée dans son sens. Elle permet de visualiser le champ :

• autour d'une charge ponctuelle, les lignes sont des droites radiales, sortantes pour une charge positive, entrantes pour une charge négative ; le champ est d'autant plus intense que les lignes sont resserrées ;
• entre deux plaques planes parallèles portant des charges opposées, les lignes sont parallèles, perpendiculaires aux plaques, orientées de la plaque positive vers la plaque négative : le champ est uniforme, de valeur $E = U/d$ avec $U$ la tension entre les plaques et $d$ leur distance ;
• autour de la Terre, les lignes du champ de gravitation sont des droites radiales entrantes.

Caractériser localement une ligne de champ, c'est donner en un point la direction (tangente à la ligne), le sens (celui de la flèche) et l'intensité (liée au resserrement des lignes) du champ.

On peut cartographier un champ électrostatique en saupoudrant de la semoule à la surface d'huile entre deux électrodes : les grains s'alignent suivant les lignes de champ ; ou en déplaçant une sonde reliée à un voltmètre.

5. Exemple résolu pas à pas

Énoncé. Dans l'atome d'hydrogène, l'électron (masse $m_e = 9{,}11 \times 10^{-31}$ kg, charge $-e$) est à la distance $d = 5{,}3 \times 10^{-11}$ m du proton (masse $m_p = 1{,}67 \times 10^{-27}$ kg, charge $+e$).

a) Calculer la valeur de la force électrostatique entre l'électron et le proton. Préciser son sens. b) Calculer la valeur de la force gravitationnelle. c) Comparer les deux et conclure. d) Calculer la valeur du champ électrostatique créé par le proton à la position de l'électron.

Résolution.

a) $F_e = k \, \dfrac{e^2}{d^2} = 8{,}99 \times 10^9 \times \dfrac{(1{,}60 \times 10^{-19})^2}{(5{,}3 \times 10^{-11})^2} = 8{,}2 \times 10^{-8}$ N. Charges de signes opposés : force attractive, dirigée de l'électron vers le proton.

b) $F_g = G \, \dfrac{m_e m_p}{d^2} = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{9{,}11 \times 10^{-31} \times 1{,}67 \times 10^{-27}}{(5{,}3 \times 10^{-11})^2} = 3{,}6 \times 10^{-47}$ N, attractive elle aussi.

c) $\dfrac{F_e}{F_g} = \dfrac{8{,}2 \times 10^{-8}}{3{,}6 \times 10^{-47}} \approx 2 \times 10^{39}$ : l'interaction électrostatique est près de $10^{40}$ fois plus intense. À l'échelle de l'atome, la gravitation est totalement négligeable ; c'est l'interaction électrostatique qui assure la cohésion de l'atome.

d) $E = \dfrac{F_e}{e} = \dfrac{8{,}2 \times 10^{-8}}{1{,}60 \times 10^{-19}} = 5{,}1 \times 10^{11}$ N·C⁻¹ (ou $k \, e / d^2$), dirigé du proton vers l'électron (charge source positive : champ sortant).

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🎯 Rédiger. Écrire la loi en lettres, convertir les unités (µC en C, cm en m), calculer avec les puissances de dix, donner le résultat avec deux chiffres significatifs et préciser direction et sens de la force ou du champ. Pour un champ, ne pas confondre la charge source $Q$ (qui crée le champ) et la charge test $q$ (qui subit la force $q\vec{E}$).

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📌 À retenir

1. Charge électrique en coulombs, quantifiée par $e = 1{,}60 \times 10^{-19}$ C ; électrisation par frottement, contact, influence ; même signe : répulsion, signes opposés : attraction.
2. Loi de Coulomb : $F = k \, \lvert q_A q_B \rvert / d^2$, $k = 8{,}99 \times 10^9$ N·m²·C⁻² ; forces opposées, sur la droite AB.
3. Analogie avec la gravitation $F = G \, m_A m_B / d^2$ : même forme en $1/d^2$ ; la gravitation est toujours attractive et bien plus faible.
4. Champ de gravitation $\vec{g} = G M / d^2 \, \vec{u}$ (N·kg⁻¹), radial vers le centre, $\vec{P} = m \vec{g}$ ; champ électrostatique $\vec{E} = k Q / d^2 \, \vec{u}$ (N·C⁻¹), $\vec{F} = q \vec{E}$.
5. Lignes de champ : tangentes au champ, orientées ; radiales pour une charge ponctuelle, parallèles (champ uniforme, $E = U/d$) entre deux plaques.