Fiche Brevet — Statistiques & Probabilités

Exercice souvent accessible au brevet — c'est l'occasion de sécuriser des points. Les questions portent sur le calcul d'indicateurs (moyenne, médiane, quartiles), l'interprétation de données, et les probabilités simples. La difficulté réside moins dans les calculs que dans la compréhension de ce que les nombres signifient.

---

1. Vocabulaire statistique — Les bases

---

2. La moyenne

Formule

$\bar{x} = \frac{n_1 \times x_1 + n_2 \times x_2 + \cdots + n_k \times x_k}{N}$

On multiplie chaque valeur par son effectif, on additionne le tout, puis on divise par l'effectif total.

---

Exemple type brevet

$\bar{x} = \frac{2 \times 4 + 3 \times 5 + 5 \times 6 + 4 \times 7 + 4 \times 8 + 2 \times 9}{20} = \frac{8 + 15 + 30 + 28 + 32 + 18}{20} = \frac{131}{20} = 6{,}55$

---

Moyenne pondérée (avec coefficients)

Au brevet, on peut donner des coefficients différents aux matières. La méthode est la même : on multiplie chaque note par son coefficient.

Exemple : Maths (coeff 3) : 14. Français (coeff 3) : 11. Histoire (coeff 2) : 15.

$\bar{x} = \frac{14 \times 3 + 11 \times 3 + 15 \times 2}{3 + 3 + 2} = \frac{42 + 33 + 30}{8} = \frac{105}{8} = 13{,}125$

---

3. Effectifs cumulés croissants

Définition

L'effectif cumulé croissant d'une valeur = somme de son effectif et de tous les effectifs des valeurs inférieures. On « empile » les effectifs du plus petit au plus grand.

---

Exemple (suite du tableau)

Calcul : $2 \to 2+3=5 \to 5+5=10 \to 10+4=14 \to 14+4=18 \to 18+2=20$

Lecture : 10 élèves ont obtenu 6 ou moins. 18 élèves ont obtenu 8 ou moins.

📌 Les effectifs cumulés sont essentiels pour trouver la médiane et les quartiles.

---

4. La médiane

Définition

La médiane ($Me$) est la valeur qui partage la série ordonnée en deux moitiés égales : 50% des valeurs sont en dessous, 50% au-dessus.

---

Comment la trouver ?

---

Exemple résolu

$N = 20$ (pair) → on cherche les rangs $\dfrac{20}{2} = 10$ et $11$.

D'après les effectifs cumulés :

• La 10ème valeur correspond à la note 6 (le cumulé atteint 10 à la note 6).
• La 11ème valeur correspond à la note 7 (le cumulé dépasse 10 à la note 7).

$Me = \frac{6 + 7}{2} = 6{,}5$

Interprétation : la moitié des élèves ont eu 6,5 ou moins.

---

5. Les quartiles

Définitions

---

Exemple résolu (suite)

$N = 20$.

$Q_1$ : $\dfrac{N}{4} = \dfrac{20}{4} = 5$. Le cumulé atteint 5 à la note 5 → $Q_1 = 5$.

$Q_3$ : $\dfrac{3N}{4} = \dfrac{60}{4} = 15$. Le cumulé atteint 18 (≥ 15) à la note 8 → $Q_3 = 8$.

---

Écart interquartile

$\text{Écart interquartile} = Q_3 - Q_1$

Dans notre exemple : $8 - 5 = 3$.

Interprétation : les 50% centraux des élèves ont des notes réparties sur 3 points. Plus l'écart interquartile est petit, plus la série est homogène (résultats groupés).

---

6. La boîte à moustaches

Construction

La boîte à moustaches résume une série avec 5 valeurs :

$\text{Min} \quad Q_1 \quad Me \quad Q_3 \quad \text{Max}$

Dans notre exemple : Min = 4, $Q_1$ = 5, Me = 6,5, $Q_3$ = 8, Max = 9.

---

Interprétation

---

Comparer deux séries

On place deux boîtes à moustaches sur le même axe et on compare :

Exemple d'interprétation au brevet : « La classe A a une médiane plus élevée que la classe B (7 contre 5,5), donc son niveau central est meilleur. Cependant, son écart interquartile est plus grand (4 contre 2), ce qui signifie que les résultats sont plus dispersés. »

---

7. Probabilités — Notions de base

Vocabulaire

---

Calcul de probabilité (équiprobabilité)

Quand toutes les issues ont la même chance :

$P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}$

Exemple : On lance un dé à 6 faces. Probabilité d'obtenir un nombre pair :

$P(\text{pair}) = \frac{|\{2 ; 4 ; 6\}|}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

---

Propriétés fondamentales

• $0 \leqslant P(A) \leqslant 1$ pour tout événement $A$.
• La somme des probabilités de toutes les issues vaut $1$.
• $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ — la probabilité de l'événement contraire.

📌 Astuce brevet : si calculer $P(A)$ directement est compliqué, calculer $P(\bar{A})$ puis faire $1 - P(\bar{A})$.

---

8. Réunion, intersection et formule fondamentale

Définitions

---

La formule clé

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Pourquoi le « $- P(A \cap B)$ » ? Quand on additionne $P(A)$ et $P(B)$, on compte deux fois les issues qui sont dans $A$ et $B$ à la fois. Il faut retrancher une fois l'intersection.

---

Exemple résolu

On lance un dé à 6 faces. $A$ = « nombre pair » = {2 ; 4 ; 6}. $B$ = « nombre ≥ 4 » = {4 ; 5 ; 6}.

• $P(A) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$
• $P(B) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$
• $A \cap B = \{4 ; 6\}$ → $P(A \cap B) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$

$P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Vérification : $A \cup B = \{2 ; 4 ; 5 ; 6\}$ → $\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ ✅

---

Événements incompatibles

Si $A \cap B = \emptyset$ (aucune issue en commun), alors $P(A \cap B) = 0$ et :

$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

---

9. Simulation et stabilisation des fréquences

Principe

Quand on répète une expérience aléatoire un grand nombre de fois, la fréquence observée se stabilise autour de la probabilité théorique. C'est la loi des grands nombres.

---

Utilisation au brevet

On peut demander :

• De lire les résultats d'une simulation (tableau ou graphique de fréquences).
• D'estimer une probabilité à partir d'une fréquence observée sur un grand nombre d'essais.
• D'expliquer pourquoi la fréquence « se rapproche » d'une valeur théorique.

Exemple : « Après 500 lancers, on a obtenu 6 exactement 78 fois. Estimer la probabilité d'obtenir 6. »

$P(\text{obtenir 6}) \approx \frac{78}{500} = 0{,}156 \approx \frac{1}{6} \approx 0{,}167$

La fréquence est proche de $\dfrac{1}{6}$, ce qui est cohérent avec un dé équilibré.

---

Lien avec l'algorithmique

Au brevet, on peut donner un programme (Scratch ou pseudo-code) qui simule des lancers et demander d'expliquer ce qu'il calcule. Voir la fiche Algorithmique.

---

10. Les types de questions au brevet

Questions sur les statistiques

---

Questions sur les probabilités

---

📌 Checklist avant de rendre sa copie

• La moyenne est calculée en multipliant chaque valeur par son effectif (pas juste la somme des valeurs !)
• Pour la médiane, j'ai construit la ligne des effectifs cumulés
• J'ai vérifié si $N$ est pair ou impair avant de calculer la médiane
• Les quartiles sont lus sur les cumulés, pas calculés comme des moyennes
• Les probabilités sont comprises entre 0 et 1 (si je trouve 1,3 ou −0,2, c'est faux)
• J'ai donné les résultats en fraction irréductible (pas en décimal sauf si demandé)
• J'ai interprété les résultats dans le contexte (pas juste donné un nombre)
• Pour $P(A \cup B)$, j'ai bien retranché $P(A \cap B)$ pour ne pas compter deux fois