Fiche Brevet — Thalès, Pythagore & Trigonométrie

Le gros morceau de géométrie au brevet. Un exercice porte presque chaque année sur Thalès et/ou la trigonométrie, souvent combinés avec Pythagore. C'est un exercice de rédaction : la méthode et la rigueur comptent autant que le calcul.

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1. Théorème de Pythagore — Calculer un côté

Quand l'utiliser ?

On connaît deux côtés d'un triangle rectangle, on cherche le troisième. Aucun angle n'intervient.

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L'énoncé

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$ :

$BC^2 = AB^2 + AC^2$

• $BC$ est l'hypoténuse : le côté le plus long, en face de l'angle droit.
• $AB$ et $AC$ sont les côtés de l'angle droit.

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Les deux cas de calcul

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Exemple type brevet — Calculer l'hypoténuse

Triangle $ABC$ rectangle en $A$, $AB = 5$ cm, $AC = 12$ cm.

D'après le théorème de Pythagore dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ :

$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$

$BC = \sqrt{169} = 13 \text{ cm}$

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Exemple type brevet — Calculer un côté de l'angle droit

Triangle $EFG$ rectangle en $F$, $EG = 10$ cm, $EF = 6$ cm.

D'après le théorème de Pythagore dans le triangle $EFG$ rectangle en $F$ :

$EG^2 = EF^2 + FG^2$

$FG^2 = EG^2 - EF^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$

$FG = \sqrt{64} = 8 \text{ cm}$

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La réciproque — Prouver qu'un triangle est rectangle

Si $BC^2 = AB^2 + AC^2$, alors le triangle est rectangle en $A$ (en face du plus grand côté).

Exemple : $AB = 6$, $AC = 8$, $BC = 10$.

• $BC^2 = 100$
• $AB^2 + AC^2 = 36 + 64 = 100$
• $BC^2 = AB^2 + AC^2$ → d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. ✅

Et si ce n'est pas égal ? → Le triangle n'est pas rectangle (c'est la contraposée).

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2. Théorème de Thalès — Calculer une longueur avec des parallèles

Les deux configurations à reconnaître

Configuration 1 — Triangles emboîtés : $M$ est sur $[AB]$, $N$ est sur $[AC]$, et $(MN) \parallel (BC)$.

Configuration 2 — Papillon : deux droites se coupent en $A$, les points $M$ et $N$ sont « de l'autre côté » de $A$, et $(MN) \parallel (BC)$.

📌 Au brevet : la première chose à faire est d'identifier la configuration et de repérer le point commun $A$ (le sommet des deux droites sécantes).

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L'énoncé du théorème direct

Si les points $A$, $M$, $B$ et les points $A$, $N$, $C$ sont alignés dans le même ordre, et si $(MN) \parallel (BC)$, alors :

$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$

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La rédaction type brevet (à apprendre par cœur)

Voici le modèle de rédaction attendu — chaque étape rapporte des points :

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Exemple résolu — Configuration emboîtée

$(MN) \parallel (BC)$, $AM = 3$ cm, $AB = 5$ cm, $AC = 8$ cm. Calculer $AN$.

Les points $A$, $M$, $B$ sont alignés et les points $A$, $N$, $C$ sont alignés. $(MN) \parallel (BC)$.

D'après le théorème de Thalès :

$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$

$\frac{3}{5} = \frac{AN}{8}$

$AN = \frac{3 \times 8}{5} = \frac{24}{5} = 4{,}8 \text{ cm}$

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Exemple résolu — Configuration papillon

Les droites $(BM)$ et $(CN)$ se coupent en $A$. $(MN) \parallel (BC)$, $AB = 6$ cm, $AM = 4$ cm, $BC = 9$ cm. Calculer $MN$.

D'après le théorème de Thalès :

$\frac{AM}{AB} = \frac{MN}{BC}$

$\frac{4}{6} = \frac{MN}{9}$

$MN = \frac{4 \times 9}{6} = \frac{36}{6} = 6 \text{ cm}$

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3. Réciproque et contraposée de Thalès — Parallélisme

Réciproque : prouver que deux droites SONT parallèles

Si les rapports sont égaux et les points alignés dans le même ordre, alors $(MN) \parallel (BC)$.

Exemple : $AM = 2$, $AB = 5$, $AN = 3$, $AC = 7{,}5$.

$\frac{AM}{AB} = \frac{2}{5} = 0{,}4 \qquad \frac{AN}{AC} = \frac{3}{7{,}5} = 0{,}4$

Les rapports sont égaux et les points sont alignés dans le même ordre. D'après la réciproque du théorème de Thalès, $(MN) \parallel (BC)$. ✅

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Contraposée : prouver que deux droites NE SONT PAS parallèles

Si les rapports sont différents, alors $(MN)$ n'est pas parallèle à $(BC)$.

Exemple : $AM = 3$, $AB = 5$, $AN = 4$, $AC = 7$.

$\frac{AM}{AB} = \frac{3}{5} = 0{,}6 \qquad \frac{AN}{AC} = \frac{4}{7} \approx 0{,}571$

Les rapports sont différents. D'après la contraposée du théorème de Thalès, $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles. ❌

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Tableau récapitulatif

📌 Piège classique : pour la réciproque, il faut vérifier que les points sont dans le même ordre. Si $M$ est entre $A$ et $B$ mais $N$ n'est pas entre $A$ et $C$, on ne peut pas conclure.

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4. Trigonométrie — Calculer avec les angles

Quand utiliser la trigonométrie ?

• On connaît un angle aigu et un côté → on cherche un autre côté.
• On connaît deux côtés → on cherche un angle.

💡 Règle simple : si le problème parle d'angles (autre que l'angle droit) → trigonométrie. Si que des longueurs → Pythagore.

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Nommer les côtés (essentiel !)

Dans un triangle rectangle en $A$, par rapport à l'angle $\widehat{B}$ :

⚠️ L'hypoténuse ne change jamais. Mais adjacent et opposé changent selon l'angle choisi.

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Les trois rapports — SOH CAH TOA

$\sin(\widehat{B}) = \frac{\text{Opposé}}{\text{Hypoténuse}} \qquad \cos(\widehat{B}) = \frac{\text{Adjacent}}{\text{Hypoténuse}} \qquad \tan(\widehat{B}) = \frac{\text{Opposé}}{\text{Adjacent}}$

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Comment choisir le bon rapport ?

📌 Méthode : repérer les deux côtés qui interviennent (le connu et le cherché), puis choisir le rapport qui les contient.

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Calculer une longueur — Exemples

Exemple 1 (sinus) : Triangle rectangle en $A$, $\widehat{B} = 35°$, $BC = 10$ cm. Calculer $AC$.

• $AC$ est opposé à $\widehat{B}$, $BC$ est l'hypoténuse → sinus.

$\sin(35°) = \frac{AC}{10} \quad \Rightarrow \quad AC = 10 \times \sin(35°) \approx 10 \times 0{,}574 = 5{,}74 \text{ cm}$

Exemple 2 (cosinus) : Triangle rectangle en $F$, $\widehat{G} = 40°$, $EG = 12$ cm. Calculer $FG$.

• $FG$ est adjacent à $\widehat{G}$, $EG$ est l'hypoténuse → cosinus.

$\cos(40°) = \frac{FG}{12} \quad \Rightarrow \quad FG = 12 \times \cos(40°) \approx 12 \times 0{,}766 = 9{,}19 \text{ cm}$

Exemple 3 (tangente) : Triangle rectangle, $\widehat{B} = 50°$, côté adjacent $AB = 6$ cm. Calculer le côté opposé $AC$.

• Opposé et adjacent → tangente.

$\tan(50°) = \frac{AC}{6} \quad \Rightarrow \quad AC = 6 \times \tan(50°) \approx 6 \times 1{,}192 = 7{,}15 \text{ cm}$

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Calculer un angle

On connaît deux côtés, on utilise la fonction inverse ($\cos^{-1}$, $\sin^{-1}$ ou $\tan^{-1}$).

⚠️ Vérifier que la calculatrice est en mode DEGRÉS (pas radians !).

Exemple : Triangle rectangle en $F$, $EF = 4$ cm, $FG = 7$ cm. Calculer $\widehat{G}$.

• Par rapport à $\widehat{G}$ : $EF$ est opposé, $FG$ est adjacent → tangente.

$\tan(\widehat{G}) = \frac{EF}{FG} = \frac{4}{7} \approx 0{,}571$

$\widehat{G} = \tan^{-1}(0{,}571) \approx 29{,}7° \approx 30°$

Vérification : $\widehat{E} \approx 90° - 30° = 60°$ (la somme des angles d'un triangle vaut $180°$) ✅

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Valeurs remarquables

💡 $\cos(30°) = \sin(60°)$ et $\cos(60°) = \sin(30°)$ — dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires.

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5. Agrandissement, réduction, triangles semblables

Le coefficient $k$

Dans une configuration de Thalès, $k = \dfrac{AM}{AB}$.

Exemple : Si $k = \dfrac{2}{3}$, les longueurs du petit triangle sont $\dfrac{2}{3}$ de celles du grand, et l'aire est $\left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{4}{9}$ de l'aire du grand.

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Lien homothétie — Thalès

Une configuration de Thalès est une homothétie de centre $A$ et de rapport $k$. C'est pour ça que tous les rapports sont égaux : l'homothétie multiplie toutes les longueurs par le même facteur.

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6. Problèmes concrets — Les classiques du brevet

Mesurer une hauteur inaccessible

Situation : On veut mesurer la hauteur d'un arbre / bâtiment / falaise. On utilise un bâton, une ombre, ou un angle d'élévation.

• Si on a des ombres ou un bâton → Thalès (triangles emboîtés, droites parallèles = rayons du soleil).
• Si on a un angle d'élévation et une distance horizontale → Tangente (opposé/adjacent).

Exemple classique (tangente) : Un bateau est à $200$ m d'une falaise. L'angle d'élévation vers le sommet est $25°$.

$\tan(25°) = \frac{h}{200} \quad \Rightarrow \quad h = 200 \times \tan(25°) \approx 200 \times 0{,}466 = 93{,}3 \text{ m}$

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Combiner Pythagore et trigonométrie

Au brevet, les exercices combinent souvent les deux :

1. On utilise la trigo pour calculer un côté à partir d'un angle.
2. Puis Pythagore pour trouver le troisième côté.
3. Ou l'inverse : Pythagore d'abord, puis trigo pour trouver un angle.

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Combiner Thalès et Pythagore

1. On utilise Thalès pour calculer une longueur manquante (grâce au parallélisme).
2. Puis Pythagore dans un triangle rectangle pour trouver une autre longueur.

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7. Pythagore ou Thalès ou Trigo ? L'arbre de décision

Le triangle est-il rectangle ?
│
├── OUI → Y a-t-il un angle aigu dans l'énoncé ?
│         │
│         ├── OUI → TRIGONOMÉTRIE (SOH CAH TOA)
│         │
│         └── NON → PYTHAGORE (BC² = AB² + AC²)
│
└── Pas forcément → Y a-t-il des droites parallèles ?
                    │
                    ├── OUI → THALÈS (rapports égaux)
                    │
                    └── NON → Chercher d'abord si le triangle
                              est rectangle (réciproque de Pythagore)
                              ou si les droites sont parallèles
                              (réciproque de Thalès)

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📌 Checklist avant de rendre sa copie

• J'ai identifié la configuration (triangle rectangle ? droites parallèles ? emboîtée ou papillon ?)
• J'ai nommé les côtés correctement (hypoténuse, adjacent, opposé)
• J'ai cité le théorème par son nom dans ma rédaction
• J'ai écrit les hypothèses (« les points sont alignés dans le même ordre », « les droites sont parallèles »)
• Mes rapports de Thalès sont dans le bon ordre (même lettre en haut et en bas de chaque fraction)
• Ma calculatrice est en mode DEGRÉS
• J'ai vérifié mon résultat (est-il cohérent ? le côté trouvé est-il plus petit que l'hypoténuse ?)
• J'ai conclu par une phrase répondant à la question posée