Échantillonnage

📝

Fiche de révision

Terme	Définition
Expérience à deux issues	Expérience aléatoire avec deux résultats possibles : succès (probabilité $p$ ) et échec (probabilité $1-p$ )
Échantillon de taille $n$	Répétition de $n$ fois la même expérience aléatoire, de manière indépendante
Fréquence observée $f$	$f = \dfrac{\text{nombre de succès}}{n}$
Fluctuation d'échantillonnage	Le fait que la fréquence $f$ varie d'un échantillon à l'autre
Loi des grands nombres	Quand $n$ est grand, sauf exception, la fréquence observée $f$ est proche de la probabilité $p$

Formule	Signification
$f = \dfrac{\text{nombre de succès}}{n}$	Fréquence observée dans un échantillon
$\\|f - p\\| \leqslant \dfrac{1}{\sqrt{n}}$	Intervalle de fluctuation : l'écart entre $f$ et $p$ est « petit »
$f \in \left[p - \dfrac{1}{\sqrt{n}} \;;\; p + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$	Intervalle dans lequel $f$ se trouve dans la grande majorité des cas
Plus $n$ est grand $\Rightarrow$ $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ est petit	L'estimation devient plus précise

Estimer une probabilité à partir d'un échantillon :

Calculer la proportion d'échantillons vérifiant l'intervalle :

Lire un script Python : repérer →

Élément Python	Rôle
`random()` ou `randint(0,1)`	Simule une issue aléatoire
Boucle `for i in range(n)`	Répète $n$ fois → taille de l'échantillon
Compteur `s += 1`	Compte les succès
`s/n`	Calcule la fréquence $f$

Piège	Correction
Confondre fréquence $f$ et probabilité $p$	$p$ est théorique (fixe), $f$ est expérimentale (varie)
Croire que $f = p$ exactement	Non ! $f \approx p$ quand $n$ est grand, sauf exception
Oublier la racine carrée : écrire $\dfrac{1}{n}$ au lieu de $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$	L'intervalle utilise bien $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$
Penser qu'un grand $n$ garantit $f = p$	Il reste toujours des cas exceptionnels

Loi des grands nombres : plus $n$ augmente, plus $f$ se rapproche de $p$ (sauf exception).
L'intervalle $\left[p - \dfrac{1}{\sqrt{n}} \;;\; p + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$ contient $f$ dans environ 95 % des cas.
Pour estimer une probabilité inconnue, on utilise la fréquence observée sur un grand échantillon.
La fluctuation est normale : deux échantillons différents donnent deux fréquences différentes.
$n = 100 \Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{n}} = 0{,}1$ ; $n = 10\,000 \Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{n}} = 0{,}01$ → plus $n$ est grand, plus l'estimation est précise.

Tuteur qui t'explique pas à pas, quiz pour t'entraîner, flashcards pour mémoriser. Gratuit.

Besoin d'aide ?