📐 Maths (enseignement scientifique)1ereFiche de révision

Probabilités conditionnelles et indépendance

← Voir le cours complet Tous les chapitres

📝

Fiche de révision

📝 Fiche de révision — Probabilités conditionnelles et indépendance

📖 Rappels et vocabulaire

Notion	À retenir
Évènement contraire	$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$
Réunion	$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
Modèle	Une loi de probabilité est une hypothèse (équiprobabilité ou fréquences observées)
Loi des grands nombres	Sur un grand nombre de répétitions, la fréquence se rapproche de la probabilité
Épreuve de Bernoulli	Deux issues : succès ( $p$ ) et échec ( $1 - p$ )

🎯 Probabilité conditionnelle

$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \qquad P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$

Dans un tableau croisé (test : $99$ vrais positifs, $100$ malades, $594$ positifs, $10\,000$ personnes) :

Question	Calcul	Dénominateur
$P(M \cap T)$ : malade et positif	$\dfrac{99}{10\,000}$	total général
$P_M(T)$ : positif sachant malade	$\dfrac{99}{100} = 0{,}99$	total de la ligne $M$
$P_T(M)$ : malade sachant positif	$\dfrac{99}{594} \approx 0{,}17$	total de la colonne $T$

Faux positif : sain et test positif. Faux négatif : malade et test négatif. Une maladie rare donne beaucoup de faux positifs : $P_T(M)$ peut être faible même avec un excellent test.

🌳 Arbre pondéré

Règle	Énoncé
1	Les branches issues d'un même nœud totalisent $1$
2	Probabilité d'un chemin $=$ produit des probabilités de ses branches
3	Probabilité d'un évènement $=$ somme des chemins qui y mènent (probabilités totales)

Sur les branches du second niveau : des probabilités conditionnelles ( $P_M(T)$ , $P_{\bar{M}}(T)$ ).

Remonter l'arbre (trouver $P_T(M)$ alors que l'arbre donne $P_M(T)$ ) :

$P_T(M) = \frac{P(M \cap T)}{P(T)} = \frac{0{,}01 \times 0{,}99}{0{,}01 \times 0{,}99 + 0{,}99 \times 0{,}05} = \frac{0{,}0099}{0{,}0594} \approx 0{,}17$

🔗 Indépendance

$A \text{ et } B \text{ indépendants} \iff P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \iff P_A(B) = P(B)$

Justifier : calculer les trois nombres et comparer. Dé : « pair » et « multiple de $3$ » sont indépendants ( $\dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3}$ ) ; « pair » et « $\leqslant 3$ » ne le sont pas ( $\dfrac{1}{6} \neq \dfrac{1}{4}$ ).
Utiliser : si l'énoncé donne l'indépendance, on multiplie. Deux pannes indépendantes de probabilités $0{,}02$ et $0{,}05$ : les deux $= 0{,}001$ ; au moins une $= 1 - 0{,}98 \times 0{,}95 = 0{,}069$ .
Indépendants $\neq$ incompatibles : des évènements incompatibles de probabilités non nulles sont toujours dépendants.

🔁 Répétition d'épreuves de Bernoulli ( $n \leqslant 4$ )

Répétition identique (même $p$ ) et indépendante : arbre à $2^n$ chemins, produit des $p$ et $1 - p$ le long d'un chemin.

Question	Méthode	Exemple (3 pièces)
Exactement $k$ succès	Compter les chemins à $k$ succès, tous de même probabilité	$2$ piles : $3 \times \dfrac{1}{8} = \dfrac{3}{8}$
Au moins un succès	$1 - (1 - p)^n$	$1 - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}$
Aucun succès	$(1 - p)^n$	$\dfrac{1}{8}$

Quatre lancers de dé, au moins un $6$ : $1 - \left(\dfrac{5}{6}\right)^4 \approx 0{,}52$ .

🎲 Jeux célèbres

Jeu	Résultat
Passe-dix (3 dés)	$P(\text{somme} = 9) = \dfrac{25}{216}$ , $P(\text{somme} = 10) = \dfrac{27}{216}$ : compter les triplets ordonnés
Monty Hall	Changer de porte gagne avec la probabilité $\dfrac{2}{3}$
Problème des partis	$A$ mène $2$ à $1$ (premier à $3$ ) : $P(A) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$ ; partage $\dfrac{3}{4}$ , $\dfrac{1}{4}$
Croix ou pile	Au moins un pile en $2$ lancers : $\dfrac{3}{4}$ , pas $\dfrac{2}{3}$ (cas non équiprobables)

⚠️ Pièges à éviter

Piège	Correction
Confondre $P_M(T)$ et $P_T(M)$	Se demander « sachant quoi ? » ; le dénominateur est le total de cet évènement
Additionner les branches d'un chemin	On multiplie le long d'un chemin, on additionne les chemins
Indépendants $=$ incompatibles	Non : vérifier $P(A \cap B) = P(A)P(B)$
« Au moins un » par un arbre complet	Passer par le contraire « aucun » : $1 - (1 - p)^n$
Compter des cas non équiprobables	Utiliser l'arbre ou les issues ordonnées
Croire qu'une simulation démontre	Elle estime et rend crédible ; la preuve vient du calcul

📌 À retenir

$P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ ; tableau : diviser la case par le total de la ligne ou de la colonne de la condition.
Arbre : somme $1$ à chaque nœud, produit sur un chemin, somme des chemins ; remonter l'arbre par la définition.
Indépendance : $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ , à justifier par le calcul ou à utiliser en multipliant.
Répétition de Bernoulli : $2^n$ chemins, « au moins un » $= 1 - (1 - p)^n$ .
Un modèle est une hypothèse ; la loi des grands nombres relie fréquences et probabilités ; les cas comptés doivent être équiprobables.

Révise ce chapitre avec KlarIA

Tuteur qui t'explique pas à pas, quiz pour t'entraîner, flashcards pour mémoriser. Gratuit.

Créer mon compte gratuitement→

Besoin d'aide ?

Pose ta question gratuitement→