Les Aires

1. Qu'est-ce qu'une aire ?

L'aire d'une figure, c'est la mesure de la surface qu'elle occupe. Imagine que tu dois recouvrir une table avec du papier : la quantité de papier nécessaire correspond à l'aire de la table.

L'aire s'exprime avec des unités d'aire : $\text{cm}^2$ (centimètres carrés), $\text{m}^2$ (mètres carrés), $\text{km}^2$, etc. Un centimètre carré ($1\;\text{cm}^2$) est la surface d'un carré de $1\;\text{cm}$ de côté.

---

◻️ $1\;\text{cm}^2$ = un petit carré de $1\;\text{cm}$ de côté

📏 $1\;\text{cm}$ → → → 📏 ↓ $1\;\text{cm}$

---

2. Formules d'aire du carré et du rectangle

Le rectangle 📐

L'aire d'un rectangle se calcule en multipliant sa longueur par sa largeur :

$\mathcal{A}_{\text{rectangle}} = \text{Longueur} \times \text{largeur} = L \times l$

---

Le carré 📐

Un carré est un rectangle particulier dont tous les côtés sont égaux. On multiplie donc le côté par lui-même :

$\mathcal{A}_{\text{carré}} = \text{côté} \times \text{côté} = c \times c = c^2$

---

Tableau des formules clés

---

3. Exemples résolus pas à pas

Exemple 1 — Aire d'un rectangle

Un terrain rectangulaire mesure $12\;\text{m}$ de long et $8\;\text{m}$ de large. Calcule son aire.

Étape 1 → Identifier les dimensions : $L = 12\;\text{m}$ et $l = 8\;\text{m}$

Étape 2 → Appliquer la formule : $\mathcal{A} = L \times l = 12 \times 8$

Étape 3 → Calculer : $\mathcal{A} = 96\;\text{m}^2$

✅ L'aire du terrain est $96\;\text{m}^2$.

---

Exemple 2 — Aire d'un carré

Une nappe carrée a un côté de $150\;\text{cm}$. Calcule son aire.

Étape 1 → Identifier : $c = 150\;\text{cm}$

Étape 2 → Appliquer : $\mathcal{A} = c^2 = 150 \times 150$

Étape 3 → Calculer : $\mathcal{A} = 22\,500\;\text{cm}^2$

✅ L'aire de la nappe est $22\,500\;\text{cm}^2$.

---

4. Les conversions d'unités d'aire

Pourquoi c'est différent des longueurs ?

Pour les longueurs, on multiplie ou divise par $10$ entre chaque unité. Pour les aires, on multiplie ou divise par 100 (car $10 \times 10 = 100$).

---

🔢 Tableau de conversion des aires — chaque colonne vaut $\times 100$

$\text{km}^2 \xrightarrow{\times 100} \text{hm}^2 \xrightarrow{\times 100} \text{dam}^2 \xrightarrow{\times 100} \text{m}^2 \xrightarrow{\times 100} \text{dm}^2 \xrightarrow{\times 100} \text{cm}^2 \xrightarrow{\times 100} \text{mm}^2$

⬅️ Pour aller vers la gauche : on divise par $100$ à chaque étape.

---

Tableau de conversion complet

---

Exemple de conversion résolu

Convertir $3{,}5\;\text{m}^2$ en $\text{cm}^2$.

Étape 1 → Compter les « sauts » : $\text{m}^2 \rightarrow \text{dm}^2 \rightarrow \text{cm}^2$ = 2 sauts vers la droite

Étape 2 → Multiplier par $100$ à chaque saut : $\times 100 \times 100 = \times 10\,000$

Étape 3 → Calculer : $3{,}5 \times 10\,000 = 35\,000\;\text{cm}^2$

✅ $3{,}5\;\text{m}^2 = 35\,000\;\text{cm}^2$

---

⚠️ Attention aux erreurs fréquentes

• Ne jamais multiplier par $10$ pour les aires → c'est toujours par $100$ entre deux unités consécutives.
• Toujours vérifier que les deux dimensions sont dans la même unité avant de calculer une aire.
• Ne pas confondre périmètre (en $\text{cm}$) et aire (en $\text{cm}^2$).

---

📌 À retenir

1. L'aire mesure une surface et s'exprime en unités carrées ($\text{cm}^2$, $\text{m}^2$…).
2. Aire du rectangle : $\mathcal{A} = L \times l$ — Aire du carré : $\mathcal{A} = c \times c = c^2$.
3. Pour convertir des aires, on multiplie ou divise par $100$ (et non $10$) entre chaque unité voisine.
4. Toujours exprimer les deux dimensions dans la même unité avant de calculer.
5. Ne pas confondre aire ($\text{cm}^2$) et périmètre ($\text{cm}$) : ce ne sont pas les mêmes grandeurs !