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L'algèbre, c'est la partie des mathématiques où l'on cherche un nombre inconnu ou une règle cachée dans un calcul ou une suite de nombres. En 6ème, on commence doucement : on parle de pré-algèbre, c'est-à-dire les premières bases avant les équations plus complexes.
💡 « Pré » veut dire « avant » : on prépare le terrain pour l'algèbre du collège.
Un modèle pré-algébrique, c'est une façon de représenter un problème où il manque un nombre. On utilise un symbole (un point d'interrogation, une lettre, un carré ◻️) pour désigner ce nombre inconnu.
| Symbole utilisé | Signification | Exemple |
|---|---|---|
| Nombre à trouver | ||
| Case à remplir | ||
| (lettre) | Nombre inconnu |
Définition : Un nombre inconnu est un nombre qu'on ne connaît pas encore et qu'on doit déterminer grâce aux informations du problème.
🔢 Processus de résolution
📖 Lire le problème → 🔍 Repérer l'inconnu → ✏️ Écrire l'égalité → 🧠 Trouver le nombre → ✅ Vérifier
Étape 1 → Lire l'énoncé et repérer ce qu'on cherche. Étape 2 → Choisir un symbole pour le nombre inconnu (, , ). Étape 3 → Traduire le problème en une égalité (une phrase mathématique avec ). Étape 4 → Trouver le nombre qui rend l'égalité vraie. Étape 5 → Vérifier en remplaçant le symbole par le nombre trouvé.
Problème : Léa a des billes. Son frère lui en donne . Elle en a maintenant . Combien en avait-elle au départ ?
Étape 1 → On cherche le nombre de billes au départ.
Étape 2 → On appelle ce nombre .
Étape 3 → On écrit l'égalité :
Étape 4 → On cherche : quel nombre ajouté à donne ?
Étape 5 → Vérification : ✅
Léa avait billes au départ.
Un motif évolutif est une suite de nombres, de figures ou de dessins qui change selon une règle régulière (toujours la même).
Définition : Une régularité est une règle qui se répète de manière identique à chaque étape d'une suite.
Observons cette suite :
| Position (étape) | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Nombre | ||||||
| Écart avec le précédent | — |
🔎 Comment trouver la régularité ?
Nombre 1️⃣ → +4 → Nombre 2️⃣ → +4 → Nombre 3️⃣ → +4 → Nombre 4️⃣ → ...
La structure est : on ajoute à chaque étape. Donc le ᵉ terme est :
On peut aussi avoir des suites de figures. Regardons un exemple avec des carrés ◻️ :
| Étape | Figure | Nombre de carrés |
|---|---|---|
| Étape | ◻️ | |
| Étape | ◻️◻️◻️ | |
| Étape | ◻️◻️◻️◻️◻️ | |
| Étape | ◻️◻️◻️◻️◻️◻️◻️ |
La régularité : on ajoute carrés à chaque étape.
Pour trouver le nombre de carrés à l'étape , on identifie la structure générale :
Donc à l'étape :
Problème : Voici une suite : Quel est le ᵉ terme ?
Étape 1 → Calculer les écarts : , , . La régularité est .
Étape 2 → Continuer la suite :
Étape 3 → Vérification avec la structure : le terme à la position vaut .
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