Algèbre — Modèles pré-algébriques et motifs évolutifs

1. Qu'est-ce que l'algèbre en 6ème ?

L'algèbre, c'est la partie des mathématiques où l'on cherche un nombre inconnu ou une règle cachée dans un calcul ou une suite de nombres. En 6ème, on commence doucement : on parle de pré-algèbre, c'est-à-dire les premières bases avant les équations plus complexes.

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2. Les modèles pré-algébriques

2.1 Trouver un nombre inconnu

Un modèle pré-algébrique, c'est une façon de représenter un problème où il manque un nombre. On utilise un symbole (un point d'interrogation, une lettre, un carré ◻️) pour désigner ce nombre inconnu.

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2.2 Méthode pour résoudre un problème pré-algébrique

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🔢 Processus de résolution

📖 Lire le problème → 🔍 Repérer l'inconnu → ✏️ Écrire l'égalité → 🧠 Trouver le nombre → ✅ Vérifier

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Étape 1 → Lire l'énoncé et repérer ce qu'on cherche. Étape 2 → Choisir un symbole pour le nombre inconnu ($x$, $?$, $\square$). Étape 3 → Traduire le problème en une égalité (une phrase mathématique avec $=$). Étape 4 → Trouver le nombre qui rend l'égalité vraie. Étape 5 → Vérifier en remplaçant le symbole par le nombre trouvé.

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2.3 Exemple résolu pas à pas

Étape 1 → On cherche le nombre de billes au départ.

Étape 2 → On appelle ce nombre $x$.

Étape 3 → On écrit l'égalité :

$x + 8 = 21$

Étape 4 → On cherche : quel nombre ajouté à $8$ donne $21$ ?

$x = 21 - 8 = 13$

Étape 5 → Vérification : $13 + 8 = 21$ ✅

Léa avait $13$ billes au départ.

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3. Les motifs évolutifs : repérer une régularité

3.1 Qu'est-ce qu'un motif évolutif ?

Un motif évolutif est une suite de nombres, de figures ou de dessins qui change selon une règle régulière (toujours la même).

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3.2 Repérer la structure d'une suite de nombres

Observons cette suite : $3 \;;\; 7 \;;\; 11 \;;\; 15 \;;\; 19 \;;\; ...$

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🔎 Comment trouver la régularité ?

Nombre 1️⃣ → +4 → Nombre 2️⃣ → +4 → Nombre 3️⃣ → +4 → Nombre 4️⃣ → ...

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La structure est : on ajoute $4$ à chaque étape. Donc le $6$ᵉ terme est :

$19 + 4 = 23$

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3.3 Motifs évolutifs avec des figures

On peut aussi avoir des suites de figures. Regardons un exemple avec des carrés ◻️ :

La régularité : on ajoute $2$ carrés à chaque étape.

Pour trouver le nombre de carrés à l'étape $10$, on identifie la structure générale :

• Étape $1$ → $1$ carré
• Étape $2$ → $1 + 2 = 3$
• Étape $3$ → $1 + 2 + 2 = 5$
• À l'étape $n$, il y a : $1 + 2 \times (n - 1)$ carrés

Donc à l'étape $10$ :

$1 + 2 \times (10 - 1) = 1 + 2 \times 9 = 1 + 18 = 19 \text{ carrés}$

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3.4 Exemple complet résolu

Étape 1 → Calculer les écarts : $9-5=4$, $13-9=4$, $17-13=4$. La régularité est $+4$.

Étape 2 → Continuer la suite :

• Terme $5$ : $17 + 4 = 21$
• Terme $6$ : $21 + 4 = 25$
• Terme $7$ : $25 + 4 = 29$

Étape 3 → Vérification avec la structure : le terme à la position $n$ vaut $5 + 4 \times (n-1)$.

$5 + 4 \times (7-1) = 5 + 4 \times 6 = 5 + 24 = 29 \; ✅$

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📌 À retenir

• Un modèle pré-algébrique utilise un symbole ($x$, $?$, $\square$) pour représenter un nombre inconnu dans un problème.
• Pour résoudre, on traduit le problème en une égalité, puis on cherche le nombre qui la rend vraie.
• Un motif évolutif suit une régularité : une règle qui se répète à chaque étape (par exemple $+4$).
• Identifier la structure, c'est trouver une formule générale qui permet de calculer n'importe quel terme sans tout recalculer.
• Toujours vérifier son résultat en le replaçant dans l'énoncé.