📐 Angles et Parallélisme

1. Rappels : droites coupées par une sécante

Qu'est-ce qu'une sécante ?

Une sécante est une droite qui coupe deux autres droites en deux points distincts. Quand une droite $(d)$ coupe deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$, elle forme 8 angles aux deux points d'intersection.

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🔽 Schéma : deux droites coupées par une sécante

➡️ La zone intérieure est la zone située entre les deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$. ➡️ La zone extérieure est tout ce qui est au-dessus de $(d_1)$ ou en-dessous de $(d_2)$.

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Au point $A$, la sécante $(d)$ forme 4 angles avec $(d_1)$. Au point $B$, la sécante $(d)$ forme 4 angles avec $(d_2)$. Parmi ces 8 angles, certaines paires ont des noms particuliers et des propriétés très utiles.

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2. Les angles alternes-internes

Définition

Deux angles sont alternes-internes lorsqu'ils sont :

• situés de part et d'autre (= des deux côtés) de la sécante (« alternes »)
• situés entre les deux droites (« internes », dans la zone intérieure)

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📐 Repérer des angles alternes-internes :

➡️ $\hat{a}$ est au-dessus à gauche de la sécante au point $A$ ➡️ $\hat{b}$ est en-dessous à droite de la sécante au point $B$ ➡️ Ils forment un « Z » (ou un « Z inversé ») → ce sont des angles alternes-internes ✅

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Propriété fondamentale

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3. Les angles correspondants

Définition

Deux angles sont correspondants lorsqu'ils sont :

• situés du même côté de la sécante
• l'un dans la zone extérieure, l'autre dans la zone intérieure
• dans la même position par rapport à leur point d'intersection

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📐 Repérer des angles correspondants :

➡️ $\hat{a}$ et $\hat{b}$ sont du même côté de la sécante (à gauche) ➡️ Ils occupent la même position (au-dessus de leur droite, à gauche) ➡️ Ils forment un « F » (ou « F inversé ») → ce sont des angles correspondants ✅

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Propriété fondamentale

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4. Tableau récapitulatif

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5. Exemple résolu pas à pas

Énoncé

Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont coupées par une sécante $(d)$. On sait que $(d_1) \parallel (d_2)$ et que l'angle $\hat{a} = 62°$ au point $A$ sur $(d_1)$. Trouver la mesure de l'angle $\hat{b}$, alterne-interne à $\hat{a}$.

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Résolution

Étape 1 → Identifier la configuration : $(d_1) \parallel (d_2)$, coupées par la sécante $(d)$.

Étape 2 → Identifier le type d'angles : $\hat{a}$ et $\hat{b}$ sont alternes-internes (de part et d'autre de la sécante, entre les deux droites).

Étape 3 → Appliquer la propriété : puisque $(d_1) \parallel (d_2)$, les angles alternes-internes sont de même mesure.

Étape 4 → Conclure :

$\hat{b} = \hat{a} = 62°$

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Deuxième exemple : prouver un parallélisme

On sait que deux angles correspondants formés par une sécante mesurent tous les deux $115°$. Les droites sont-elles parallèles ?

Étape 1 → Les angles sont correspondants et ont la même mesure ($115° = 115°$).

Étape 2 → On applique la réciproque : si deux angles correspondants sont égaux, alors les droites sont parallèles.

Étape 3 → Conclusion : les deux droites sont parallèles. ✅

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6. Comment utiliser ces propriétés ?

Les propriétés sur les angles servent dans deux sens :

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⚠️ Attention ! Si les droites ne sont pas parallèles, on ne peut rien dire sur l'égalité des angles alternes-internes ou correspondants. La propriété ne fonctionne que si le parallélisme est vérifié (ou pour le prouver via la réciproque).

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📌 À retenir

1. Angles alternes-internes = de part et d'autre de la sécante, entre les deux droites → repérer le « Z »
2. Angles correspondants = même côté de la sécante, même position → repérer le « F »
3. Si deux droites sont parallèles, les angles alternes-internes sont égaux et les angles correspondants sont égaux
4. Réciproque : si des angles alternes-internes (ou correspondants) sont égaux, alors les droites sont parallèles
5. Ces propriétés permettent soit de calculer un angle, soit de démontrer un parallélisme