Aspects énergétiques des phénomènes mécaniques

Au chapitre précédent, les forces expliquaient les changements de vitesse instant par instant. Ce chapitre adopte un autre point de vue, souvent plus rapide : celui de l'énergie. Une force qui déplace un objet lui transfère de l'énergie ; c'est le travail. Le théorème de l'énergie cinétique relie ce transfert à la variation de vitesse, sans qu'il soit besoin de connaître la trajectoire en détail. On introduit ensuite l'énergie potentielle de pesanteur et l'énergie mécanique, dont la conservation ou la non-conservation révèle la présence de frottements.

1. Énergie cinétique

Un système de masse $m$, modélisé par un point matériel se déplaçant à la vitesse $v$, possède l'énergie cinétique

$E_c = \frac{1}{2} \, m \, v^2 \qquad E_c \text{ en joules (J)},\ m \text{ en kg},\ v \text{ en m}\cdot\text{s}^{-1}$

Elle est toujours positive et dépend du carré de la vitesse : à vitesse double, énergie cinétique quadruple.

Ordres de grandeur. Balle de tennis à $30$ m·s⁻¹ ($58$ g) : $26$ J ; voiture de $1\,200$ kg à $25$ m·s⁻¹ ($90$ km·h⁻¹) : $3{,}8 \times 10^5$ J ; la même à $50$ m·s⁻¹ : $1{,}5 \times 10^6$ J, quatre fois plus.

2. Travail d'une force constante

2.1 Définition

Lorsqu'une force constante $\vec{F}$ s'applique à un système qui se déplace de A à B, le travail de la force est le produit scalaire

$W_{AB}(\vec{F}) = \vec{F} \cdot \overrightarrow{AB} = F \times AB \times \cos \alpha$

où $\alpha$ est l'angle entre $\vec{F}$ et $\overrightarrow{AB}$. Le travail s'exprime en joules ($F$ en N, $AB$ en m). C'est l'énergie transférée au système par la force au cours du déplacement.

2.2 Travail du poids

Le poids $\vec{P} = m\vec{g}$ est une force constante. Pour un déplacement de A (altitude $z_A$) à B (altitude $z_B$), axe vertical vers le haut :

$W_{AB}(\vec{P}) = m \, g \, (z_A - z_B)$

Il est moteur en descente ($z_A > z_B$), résistant en montée, nul sur un déplacement horizontal. Il ne dépend que des altitudes de départ et d'arrivée, pas du chemin suivi : toboggan droit, courbe ou escalier, le travail du poids est le même.

2.3 Travail d'une force de frottement

Sur une trajectoire rectiligne, une force de frottement $\vec{f}$ d'intensité constante est opposée au déplacement :

$W_{AB}(\vec{f}) = -f \times AB$

Ce travail est toujours négatif (résistant) et dépend de la longueur du trajet : plus le chemin est long, plus les frottements prélèvent d'énergie.

3. Théorème de l'énergie cinétique

Dans un référentiel galiléen, la variation de l'énergie cinétique d'un système entre A et B est égale à la somme des travaux de toutes les forces appliquées entre A et B :

$\Delta E_c = E_c(B) - E_c(A) = \sum W_{AB}(\vec{F})$

Un travail moteur (positif) augmente la vitesse ; un travail résistant la diminue. Ce théorème est une autre forme de la deuxième loi de Newton, écrite en termes d'énergie.

Exemple 1 : chute libre. Une balle lâchée sans vitesse tombe de $h = 10$ m ; seule force : le poids. $\dfrac{1}{2} m v_B^2 - 0 = m g h$ donc $v_B = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2 \times 9{,}8 \times 10} = 14$ m·s⁻¹, indépendamment de la masse.

Exemple 2 : distance de freinage. Une voiture de $1\,200$ kg roule à $25$ m·s⁻¹ ; la force de freinage vaut $7{,}5 \times 10^3$ N. $0 - \dfrac{1}{2} m v_A^2 = -f \times d$ (poids et réaction perpendiculaires : travail nul), d'où $d = \dfrac{m v_A^2}{2 f} = \dfrac{1\,200 \times 625}{2 \times 7\,500} = 50$ m. À vitesse double, la distance de freinage est quadruplée.

4. Énergie potentielle de pesanteur

4.1 Forces conservatives

Une force est conservative lorsque son travail entre deux points ne dépend pas du chemin suivi : c'est le cas du poids. On peut alors lui associer une énergie potentielle $E_p$, telle que le travail de la force soit égal à la diminution de cette énergie : $W_{AB} = E_p(A) - E_p(B) = -\Delta E_p$.

Les forces de frottement ne sont pas conservatives : leur travail dépend du trajet.

4.2 Énergie potentielle de pesanteur

Au voisinage de la surface de la Terre, avec un axe vertical orienté vers le haut,

$E_{pp} = m \, g \, z \qquad (z \text{ altitude en m, } E_{pp} \text{ en J})$

On vérifie que $E_{pp}(A) - E_{pp}(B) = m g (z_A - z_B) = W_{AB}(\vec{P})$. L'énergie potentielle est définie à une constante près : on choisit librement l'origine des altitudes ($z = 0$), souvent au sol ou au point le plus bas ; seules les variations de $E_{pp}$ ont un sens physique.

Un objet en hauteur « stocke » de l'énergie que la pesanteur peut convertir en énergie cinétique lorsqu'il descend.

5. Énergie mécanique

5.1 Définition

$E_m = E_c + E_{pp}$

5.2 Conservation

Si le système n'est soumis qu'à des forces conservatives (le poids) ou à des forces qui ne travaillent pas (réaction normale d'un support sans frottement, tension d'un fil de pendule), le théorème de l'énergie cinétique donne $\Delta E_c = -\Delta E_{pp}$, soit

$\Delta E_m = 0 \qquad E_m = \text{constante}$

L'énergie mécanique se conserve : ce qui est perdu en énergie potentielle est gagné en énergie cinétique, et réciproquement. Cas classiques : chute libre, pendule sans frottement, glissade sans frottement.

5.3 Non-conservation

Si des forces non conservatives (frottements, force motrice) travaillent, l'énergie mécanique varie :

$\Delta E_m = E_m(B) - E_m(A) = \sum W_{AB}(\vec{F}_{\text{non conservatives}})$

• $\Delta E_m < 0$ : dissipation, une partie de l'énergie mécanique est convertie en énergie thermique par les frottements (balle qui rebondit moins haut, pendule qui s'amortit, luge qui s'arrête) ;
• $\Delta E_m > 0$ : gain d'énergie mécanique apporté par un moteur, un muscle, une propulsion.

Cette relation permet de calculer le travail des frottements à partir de la variation d'énergie mécanique mesurée.

6. Bilan énergétique avec un programme

À partir de positions et de vitesses relevées, un programme calcule $E_c$, $E_{pp}$ et $E_m$ à chaque instant et permet de voir si $E_m$ reste constante.

m = 0.057          # kg, balle de tennis
g = 9.8
z = [1.50, 1.45, 1.30, 1.06, 0.72, 0.28]     # m
v = [0.00, 0.98, 1.96, 2.94, 3.92, 4.90]     # m/s

for i in range(len(z)):
    Ec = 0.5 * m * v[i]**2
    Epp = m * g * z[i]
    Em = Ec + Epp
    print(round(Ec, 3), round(Epp, 3), round(Em, 3))

Sortie : $E_m$ vaut $0{,}838$ J à chaque ligne (aux arrondis près) : l'énergie mécanique est conservée, la balle est en chute libre. Si $E_m$ diminuait régulièrement, la différence donnerait le travail des frottements.

7. Exemple résolu pas à pas

Énoncé. Un enfant de $30$ kg part sans vitesse du haut d'un toboggan de $3{,}0$ m de hauteur et de $6{,}0$ m de longueur ; il arrive en bas à $5{,}0$ m·s⁻¹. $g = 9{,}8$ N·kg⁻¹.

a) Calculer son énergie mécanique au départ et à l'arrivée (origine des altitudes en bas). b) L'énergie mécanique est-elle conservée ? Interpréter. c) Calculer le travail des forces de frottement, puis leur intensité supposée constante. d) Quelle vitesse aurait-il sans frottement ?

Résolution.

a) Départ A : $E_c = 0$, $E_{pp} = m g h = 30 \times 9{,}8 \times 3{,}0 = 882$ J ; $E_m(A) = 8{,}8 \times 10^2$ J. Arrivée B : $E_{pp} = 0$, $E_c = \dfrac{1}{2} \times 30 \times 5{,}0^2 = 375$ J ; $E_m(B) = 3{,}8 \times 10^2$ J.

b) $E_m$ diminue de $882$ à $375$ J : non conservée. Des forces non conservatives, les frottements du toboggan et de l'air, ont travaillé et dissipé de l'énergie sous forme thermique (le short et le toboggan chauffent).

c) $\Delta E_m = W(\vec{f})$ : $W(\vec{f}) = 375 - 882 = -507$ J, soit $-5{,}1 \times 10^2$ J. Avec $W = -f \times AB$ : $f = \dfrac{507}{6{,}0} = 85$ N.

d) Sans frottement, $E_m$ conservée : $\dfrac{1}{2} m v^2 = m g h$, $v = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2 \times 9{,}8 \times 3{,}0} = 7{,}7$ m·s⁻¹.

🎯 Rédiger un bilan d'énergie. Définir le système, l'origine des altitudes et les deux positions A et B ; calculer $E_c$ et $E_{pp}$ en chaque point ; comparer $E_m(A)$ et $E_m(B)$ ; conclure : conservation (seules forces conservatives) ou travail des forces non conservatives $= \Delta E_m$. Toujours indiquer le signe et l'unité des travaux.

📌 À retenir

1. $E_c = \dfrac{1}{2} m v^2$ ; travail d'une force constante $W_{AB}(\vec{F}) = F \times AB \times \cos\alpha$ : moteur, nul ou résistant.
2. Poids : $W = m g (z_A - z_B)$, indépendant du chemin ; frottement rectiligne : $W = -f \times AB$.
3. Théorème de l'énergie cinétique : $\Delta E_c = \sum W_{AB}(\vec{F})$.
4. Énergie potentielle de pesanteur $E_{pp} = m g z$ (origine libre) ; force conservative : $W = -\Delta E_p$.
5. Énergie mécanique $E_m = E_c + E_{pp}$ : conservée sans frottement (chute libre, pendule) ; sinon $\Delta E_m = W(\text{forces non conservatives})$, dissipation ou gain.