Automatismes, logique et raisonnement

Ce chapitre est différent des autres : il ne présente pas de notion nouvelle, mais rassemble ce qui doit être maîtrisé sans hésiter et sans calculatrice. La raison est concrète : l'épreuve anticipée de mathématiques, en fin de première, commence par un QCM d'automatismes noté sur 6 points, sans calculatrice, et les exercices qui suivent supposent ces réflexes acquis.

Trois parties : les automatismes de calcul et de lecture, le vocabulaire des ensembles et de la logique, et les listes Python. Chaque partie se travaille par petites doses régulières, à l'oral ou en calcul mental, plutôt qu'en une seule fois.

1. Évolutions et variations

1.1 Taux d'évolution et coefficient multiplicateur

Passer d'une valeur initiale $V_1$ à une valeur finale $V_2$, c'est une évolution de taux $t = \dfrac{V_2 - V_1}{V_1}$, souvent exprimé en pourcentage, et de coefficient multiplicateur $CM = 1 + t = \dfrac{V_2}{V_1}$.

Exemples : de $80$ à $92$, le taux vaut $\dfrac{12}{80} = 0{,}15$, soit $+15\,\%$. Un prix de $138$ € après une hausse de $15\,\%$ valait $\dfrac{138}{1{,}15} = 120$ € avant. Une baisse de $20\,\%$ correspond à $CM = 0{,}8$.

1.2 Évolutions successives et taux réciproque

Deux évolutions successives de coefficients $CM_1$ et $CM_2$ équivalent à une seule évolution de coefficient $CM_1 \times CM_2$ : les coefficients se multiplient, les taux ne s'additionnent pas.

• $+10\,\%$ puis $+10\,\%$ : $1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}21$, soit $+21\,\%$ (et non $+20\,\%$).
• $-20\,\%$ puis $+25\,\%$ : $0{,}8 \times 1{,}25 = 1$, soit $0\,\%$ : on revient au point de départ.
• $+8\,\%$ puis $-8\,\%$ : $1{,}08 \times 0{,}92 = 0{,}9936$, soit $-0{,}64\,\%$ : on ne revient pas au point de départ.

Le taux réciproque est celui qui ramène à la valeur initiale : son coefficient est $\dfrac{1}{CM}$. Le réciproque de $+25\,\%$ est $\dfrac{1}{1{,}25} = 0{,}8$, soit $-20\,\%$ ; celui de $+50\,\%$ est $\dfrac{1}{1{,}5} \approx 0{,}667$, soit environ $-33\,\%$.

2. Calcul numérique et algébrique

2.1 Équation produit nul

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : $(2x - 3)(x + 5) = 0 \iff x = \dfrac{3}{2}$ ou $x = -5$. Réflexe : ne jamais développer un produit égal à $0$.

2.2 Signe d'une expression

• Premier degré $ax + b$ : nul en $-\dfrac{b}{a}$, du signe de $a$ à droite de cette valeur, du signe opposé à gauche. Exemple : $3x - 6 > 0 \iff x > 2$ ; $-2x + 3 > 0 \iff x < \dfrac{3}{2}$.
• Produit de facteurs du premier degré $a(x - x_1)(x - x_2)$ : signe de $a$ à l'extérieur des racines, opposé entre. Exemple : $(x - 1)(x + 4) > 0 \iff x < -4$ ou $x > 1$.
• Un carré est toujours positif ou nul ; un quotient a le signe du produit numérateur $\times$ dénominateur.

2.3 Développer, factoriser, réduire

Les trois identités remarquables, dans les deux sens : $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Exemples : $(2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$ ; $9x^2 - 25 = (3x - 5)(3x + 5)$ ; $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$ ; $3x(x - 2) + (x - 2)^2 = (x - 2)(3x + x - 2) = (x - 2)(4x - 2) = 2(x - 2)(2x - 1)$.

Automatismes de seconde à entretenir : fractions ($\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}$, $\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad}{bc}$), puissances ($2^3 \times 2^4 = 2^7$, $\dfrac{10^5}{10^8} = 10^{-3}$), racines ($\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$, $\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$, mais $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$).

3. Fonctions et représentations graphiques

3.1 Lire une courbe

• Résoudre $f(x) = k$ : abscisses des points de la courbe d'ordonnée $k$ (intersection avec la droite horizontale $y = k$).
• Résoudre $f(x) < k$ : abscisses des points situés en dessous de cette droite.
• Signe de $f$ : positif là où la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses.
• Variations : la courbe monte (croissante) ou descend (décroissante) ; tableau de variations avec les extremums.

3.2 Droites

• Tracer $y = mx + p$ : partir de $(0\,;\,p)$, avancer de $1$ et monter de $m$.
• Lire l'équation réduite : $p$ est l'ordonnée à l'origine, $m$ se lit en avançant de $1$.
• Coefficient directeur par deux points $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$ : $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$. Exemple : $A(1\,;\,2)$, $B(3\,;\,8)$ donnent $m = \dfrac{6}{2} = 3$, puis $p = 2 - 3 \times 1 = -1$ : $y = 3x - 1$.
• Droite passant par $(0\,;\,4)$ et $(4\,;\,0)$ : $m = -1$, $p = 4$, équation $y = -x + 4$.

4. Statistiques

4.1 Lire un graphique

Avant tout calcul, repérer l'origine des axes (un axe qui ne part pas de $0$ exagère les variations), les unités et les échelles, et ce que représente chaque barre ou secteur. Savoir passer du graphique au tableau de données et inversement.

4.2 Indicateurs

Pour la série $2\,;\,4\,;\,4\,;\,6\,;\,9$ : moyenne $\dfrac{25}{5} = 5$ ; médiane $4$ (valeur du milieu, la série étant ordonnée) ; étendue $9 - 2 = 7$ ; premier quartile $4$ et troisième quartile $6$. L'écart type mesure la dispersion autour de la moyenne. Un diagramme en boîte représente minimum, quartiles, médiane, maximum.

Interpréter : la moyenne est sensible aux valeurs extrêmes, la médiane ne l'est pas.

5. Probabilités conditionnelles : les trois nombres à ne pas confondre

Dans un tableau croisé ou un arbre, la même case donne trois probabilités différentes selon le dénominateur :

Exemple : $100$ personnes, $40$ femmes dont $30$ ont le permis, $60$ hommes dont $45$ l'ont. $P(F \cap \text{Permis}) = \dfrac{30}{100} = 0{,}3$ ; $P_F(\text{Permis}) = \dfrac{30}{40} = 0{,}75$ ; $P_{\text{Permis}}(F) = \dfrac{30}{75} = 0{,}4$.

Sur un arbre : produit le long d'un chemin, somme des chemins ; les branches du second niveau sont des probabilités conditionnelles.

6. Vocabulaire ensembliste

En extension, on liste les éléments : $\{1\,;\,2\,;\,3\}$. En compréhension, on donne une propriété : $\{n \in \mathbb{N} \mid n \text{ est pair}\}$.

7. Logique

7.1 Connecteurs, contre-exemple

« $A$ et $B$ » est vraie si les deux le sont ; « $A$ ou $B$ » est vraie dès que l'une l'est (ou inclusif). Pour montrer qu'une proposition « pour tout $x$, … » est fausse, il suffit d'un contre-exemple : « pour tout réel $x$, $x^2 \geqslant x$ » est fausse car $\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4} < \dfrac{1}{2}$.

7.2 Implication, réciproque, contraposée, équivalence

• Implication $A \Rightarrow B$ : « si $A$ alors $B$ ». Exemple vrai : $x = 2 \Rightarrow x^2 = 4$.
• Réciproque $B \Rightarrow A$ : n'est pas automatiquement vraie. Ici $x^2 = 4 \Rightarrow x = 2$ est fausse (contre-exemple $x = -2$).
• Contraposée $\text{non } B \Rightarrow \text{non } A$ : toujours de même valeur de vérité que l'implication. Contraposée de « $n$ pair $\Rightarrow$ $n^2$ pair » : « $n^2$ impair $\Rightarrow$ $n$ impair ».
• Équivalence $A \iff B$ : l'implication et sa réciproque sont vraies. Exemple : $x^2 = 4 \iff x = 2 \text{ ou } x = -2$.

Vocabulaire : dans $A \Rightarrow B$, $A$ est une condition suffisante pour $B$ et $B$ est une condition nécessaire pour $A$. « Être un carré » est suffisant pour « être un rectangle » ; « être un rectangle » est nécessaire pour « être un carré ».

7.3 Statut des lettres et des égalités

Dans $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$, l'égalité est une identité : vraie pour tout $x$. Dans $2x + 1 = 7$, c'est une équation : $x$ est une inconnue à déterminer. Dans $f(x) = ax + b$, $x$ est une variable et $a$, $b$ sont des paramètres fixés.

7.4 Quantificateurs et négation

« Pour tout » (quantificateur universel) et « il existe » (quantificateur existentiel) sont souvent implicites : « $x^2 \geqslant 0$ » signifie « pour tout réel $x$, $x^2 \geqslant 0$ ». Les symboles $\forall$ et $\exists$ ne sont pas exigibles, mais il faut savoir lire et nier ces phrases :

• négation de « pour tout $x$, $P(x)$ » : « il existe $x$ tel que non $P(x)$ » ;
• négation de « il existe $x$ tel que $P(x)$ » : « pour tout $x$, non $P(x)$ ».

Exemple : la négation de « tous les élèves ont réussi » est « il existe un élève qui n'a pas réussi » (et non « aucun élève n'a réussi »).

8. Trois types de raisonnement

Disjonction des cas. Montrer que $n(n + 1)$ est pair pour tout entier $n$ : si $n$ est pair, le produit l'est ; si $n$ est impair, $n + 1$ est pair et le produit l'est. Dans tous les cas, le produit est pair.

Contraposée. Montrer que si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair. On démontre la contraposée : si $n$ est impair, $n = 2k + 1$, alors $n^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ est impair. La contraposée étant vraie, l'implication l'est.

Absurde. Montrer qu'il n'existe pas de plus petit réel strictement positif. Supposons qu'il en existe un, noté $a > 0$. Alors $\dfrac{a}{2}$ est strictement positif et strictement plus petit que $a$ : contradiction. Donc un tel réel n'existe pas.

9. Listes Python

Une liste est une collection ordonnée d'éléments, repérés par leur indice à partir de $0$.

L = [3, 8, 5, 12, 7]        # création en extension
L[0]                        # 3 (premier élément)
L[-1]                       # 7 (dernier élément)
len(L)                      # 5
L.append(10)                # ajoute 10 à la fin : [3, 8, 5, 12, 7, 10]
L.pop()                     # retire et renvoie le dernier élément
L.remove(5)                 # retire la première occurrence de 5
sum(L), min(L), max(L)      # somme, minimum, maximum

Construire une liste en compréhension, à partir d'un ensemble décrit par une propriété :

carres = [k**2 for k in range(1, 6)]         # [1, 4, 9, 16, 25]
pairs = [x for x in L if x % 2 == 0]         # éléments pairs de L
termes = [3 * n + 1 for n in range(10)]      # dix premiers termes de la suite u_n = 3n + 1

Parcourir une liste :

for x in L:                 # parcours des éléments
    print(x)

for i in range(len(L)):     # parcours des indices
    print(i, L[i])

Le lien avec les mathématiques est constant : une liste en compréhension correspond à un ensemble défini en compréhension, et la condition du if est une proposition logique.

10. Exemple résolu : un mini-QCM sans calculatrice

Énoncé. Pour chaque question, une seule réponse est correcte.

1. Un article à $250$ € passe à $200$ €. Le taux d'évolution est : (a) $-25\,\%$ (b) $-20\,\%$ (c) $-50\,\%$.
2. Les solutions de $(2x - 3)(x + 5) = 0$ sont : (a) $\dfrac{3}{2}$ et $5$ (b) $-\dfrac{3}{2}$ et $5$ (c) $\dfrac{3}{2}$ et $-5$.
3. La droite passant par $A(1\,;\,2)$ et $B(3\,;\,8)$ a pour coefficient directeur : (a) $3$ (b) $\dfrac{1}{3}$ (c) $6$.
4. La médiane de la série $2\,;\,4\,;\,4\,;\,6\,;\,9$ est : (a) $5$ (b) $4$ (c) $7$.
5. La négation de « tous les élèves ont réussi » est : (a) « aucun élève n'a réussi » (b) « il existe un élève qui n'a pas réussi » (c) « tous les élèves ont échoué ».
6. En Python, [k**2 for k in range(1, 4)] vaut : (a) [1, 4, 9] (b) [0, 1, 4, 9] (c) [1, 4, 9, 16].

Corrigé.

1. (b) : $\dfrac{200 - 250}{250} = -\dfrac{50}{250} = -0{,}2$.
2. (c) : $2x - 3 = 0$ donne $\dfrac{3}{2}$, $x + 5 = 0$ donne $-5$.
3. (a) : $\dfrac{8 - 2}{3 - 1} = 3$.
4. (b) : la série est ordonnée, la valeur centrale est $4$ ; $5$ est la moyenne.
5. (b) : nier « pour tout », c'est « il existe … non ».
6. (a) : range(1, 4) produit $1, 2, 3$.

📌 À retenir

1. Évolutions : $CM = 1 + t$ ; évolutions successives $\to$ produit des $CM$ ; réciproque $\to$ $\dfrac{1}{CM}$ ; valeur initiale $= \dfrac{V_2}{CM}$.
2. Calcul : produit nul, signe d'un facteur du premier degré et d'un produit factorisé, identités remarquables dans les deux sens.
3. Graphiques : $f(x) = k$ et $f(x) < k$ se lisent avec la droite $y = k$ ; $m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$.
4. Statistiques : moyenne, médiane, quartiles, étendue ; attention aux axes tronqués.
5. Probabilités : $P(A \cap B)$, $P_A(B)$, $P_B(A)$ diffèrent par leur dénominateur.
6. Logique : implication $\neq$ réciproque ; contraposée équivalente ; contre-exemple pour réfuter ; négation de « pour tout » $=$ « il existe … non ».
7. Listes : indices depuis $0$, append, compréhension [expr for k in range(...) if condition].