🔢 Mathématiques (spécialité)1ereFiche de révision

Automatismes, logique et raisonnement

← Voir le cours complet Tous les chapitres

📝

Fiche de révision

📝 Fiche de révision — Automatismes, logique et raisonnement

Objectif : les $6$ points du QCM de l'épreuve anticipée, sans calculatrice.

📈 Évolutions

Formule	Usage
$CM = 1 + t$	Coefficient multiplicateur ( $+15\,\% \to 1{,}15$ ; $-20\,\% \to 0{,}8$ )
$V_2 = V_1 \times CM$ , $V_1 = \dfrac{V_2}{CM}$	Valeur finale, valeur initiale
$t = \dfrac{V_2 - V_1}{V_1}$	Taux d'évolution
$CM_{\text{global}} = CM_1 \times CM_2$	Évolutions successives ( $+10\,\%$ puis $+10\,\% = +21\,\%$ )
$CM_{\text{réciproque}} = \dfrac{1}{CM}$	Taux réciproque ( $+25\,\% \to -20\,\%$ )

🔢 Calcul

Automatisme	Règle
Produit nul	$(2x - 3)(x + 5) = 0 \iff x = \dfrac{3}{2}$ ou $x = -5$ ; ne pas développer
Signe de $ax + b$	Nul en $-\dfrac{b}{a}$ , signe de $a$ à droite
Signe de $a(x - x_1)(x - x_2)$	Signe de $a$ à l'extérieur des racines, opposé entre
Identités remarquables	$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$ ; $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
Fractions, puissances, racines	$\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad}{bc}$ ; $a^m a^n = a^{m+n}$ ; $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ ; $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$

📉 Fonctions et graphiques

$f(x) = k$ : abscisses des points d'ordonnée $k$ (droite $y = k$ ) ; $f(x) < k$ : points en dessous.
Signe de $f$ : au-dessus / en dessous de l'axe des abscisses. Variations : la courbe monte / descend.
Droite $y = mx + p$ : $p$ à l'origine, $m$ = montée pour $+1$ en abscisse ; $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ .

📊 Statistiques

Moyenne (sensible aux extrêmes), médiane (valeur centrale de la série ordonnée), quartiles, étendue $= \max - \min$ , écart type (dispersion). Lire un graphique : origine des axes, unités, échelles. Série $2\,;\,4\,;\,4\,;\,6\,;\,9$ : moyenne $5$ , médiane $4$ , étendue $7$ .

🎲 Probabilités conditionnelles

Même case, trois dénominateurs : $P(A \cap B)$ (total général), $P_A(B)$ (total de $A$ ), $P_B(A)$ (total de $B$ ). Arbre : produit sur un chemin, somme des chemins.

📚 Ensembles

Notation	Sens
$x \in E$ , $A \subset E$	appartenance, inclusion
$A \cap B$ , $A \cup B$ , $\bar{A}$ , $\varnothing$	intersection, réunion, complémentaire, vide
$\text{Card}(A)$	nombre d'éléments
$(a\,;\,b)$ , $E \times F$	couple (ordre), produit cartésien (ensemble des couples)

$[0\,;\,5] \cap [3\,;\,8] = [3\,;\,5]$ ; $[0\,;\,5] \cup [3\,;\,8] = [0\,;\,8]$ .

🧠 Logique

Notion	À retenir
Contre-exemple	Un seul suffit pour réfuter « pour tout $x$ , … » ( $x^2 \geqslant x$ est faux pour $x = \dfrac{1}{2}$ )
Implication $A \Rightarrow B$	« si $A$ alors $B$ » ; $A$ suffisante, $B$ nécessaire
Réciproque $B \Rightarrow A$	Pas automatiquement vraie ( $x^2 = 4 \Rightarrow x = 2$ est fausse)
Contraposée non $B \Rightarrow$ non $A$	Toujours de même vérité que l'implication
Équivalence $A \iff B$	Implication et réciproque vraies
Négation de « pour tout $x$ , $P(x)$ »	« il existe $x$ tel que non $P(x)$ »
Négation de « il existe $x$ , $P(x)$ »	« pour tout $x$ , non $P(x)$ »
Identité / équation	Vraie pour tout $x$ / à résoudre ; variable, inconnue, paramètre

Raisonnements : disjonction des cas ( $n(n+1)$ pair) ; contraposée ( $n^2$ pair $\Rightarrow$ $n$ pair, via « $n$ impair $\Rightarrow$ $n^2$ impair ») ; absurde (pas de plus petit réel $> 0$ : $\dfrac{a}{2}$ contredit).

🐍 Listes Python

L = [3, 8, 5, 12, 7]
L[0], L[-1], len(L)                 # 3, 7, 5
L.append(10) ; L.pop() ; L.remove(5)
sum(L), min(L), max(L)
[k**2 for k in range(1, 6)]         # [1, 4, 9, 16, 25]
[x for x in L if x % 2 == 0]        # éléments pairs
for x in L: ...                     # éléments
for i in range(len(L)): ... L[i]    # indices

⚠️ Pièges à éviter

Piège	Correction
Additionner des taux successifs	Multiplier les coefficients : $+10\,\%$ deux fois $= +21\,\%$
Réciproque de $+25\,\%$ $= -25\,\%$	$\dfrac{1}{1{,}25} = 0{,}8$ : $-20\,\%$
Développer un produit nul	Utiliser chaque facteur $= 0$
Confondre implication et réciproque	Chercher un contre-exemple à la réciproque
Nier « tous » par « aucun »	« Il existe un … qui ne … pas »
`range(1, 4)` donne $1$ à $4$	Non : $1, 2, 3$ (borne finale exclue) ; indices depuis $0$

📌 À retenir

Coefficients multiplicateurs : on multiplie, jamais on n'additionne les taux.
Produit nul, signes, identités remarquables : sans hésiter.
Lire $f(x) = k$ avec la droite $y = k$ ; $m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ .
Trois probabilités pour une case ; produit sur un chemin.
Implication $\neq$ réciproque ; contraposée équivalente ; contre-exemple ; négation des quantificateurs.
Listes : indices depuis $0$ , compréhension avec for et if.

Révise ce chapitre avec KlarIA

Tuteur qui t'explique pas à pas, quiz pour t'entraîner, flashcards pour mémoriser. Gratuit.

Créer mon compte gratuitement→

Besoin d'aide ?

Pose ta question gratuitement→