Automatismes : préparer l'épreuve anticipée

Ce chapitre ne contient aucune notion nouvelle. Il rassemble ce qui doit être su sans hésiter et sans calculatrice, parce que l'épreuve anticipée de mathématiques, en fin de première, commence par un QCM d'automatismes noté sur 6 points, sans calculatrice, avant deux ou trois exercices sur 14 points. Les élèves qui perdent des points sur ce QCM ne manquent pas d'intelligence : ils manquent de réflexes.

Cinq domaines sont au programme : les évolutions (pourcentages), le calcul numérique et algébrique, les fonctions et leurs graphiques, les statistiques et les probabilités, auxquels s'ajoutent les automatismes de seconde. Chaque paragraphe donne les règles, un ou deux exemples de calcul mental, et les pièges du QCM. Le chapitre se termine par une méthode pour le jour de l'épreuve et un QCM d'entraînement corrigé.

1. Évolutions et variations

1.1 Taux et coefficient multiplicateur

Une évolution de taux $t$ (en pourcentage) correspond à un coefficient multiplicateur $CM = 1 + \dfrac{t}{100}$ pour une hausse, $CM = 1 - \dfrac{t}{100}$ pour une baisse.

Calcul mental des pourcentages : $10\,\%$ c'est diviser par $10$ ; $5\,\%$ la moitié de $10\,\%$ ; $25\,\%$ diviser par $4$ ; $50\,\%$ diviser par $2$ ; $15\,\% = 10\,\% + 5\,\%$ ; $30\,\% = 3 \times 10\,\%$. Ainsi $15\,\%$ de $80$ : $8 + 4 = 12$.

1.2 Évolutions successives et taux réciproque

Les coefficients se multiplient, les taux ne s'additionnent jamais.

• $+10\,\%$ puis $+10\,\%$ : $1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}21$, soit $+21\,\%$ (pas $+20\,\%$).
• $+20\,\%$ puis $-20\,\%$ : $1{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}96$, soit $-4\,\%$ : on ne revient pas au départ.
• $-50\,\%$ puis $+50\,\%$ : $0{,}5 \times 1{,}5 = 0{,}75$, soit $-25\,\%$.

Le taux réciproque ramène à la valeur initiale : son coefficient est $\dfrac{1}{CM}$. Le réciproque de $+25\,\%$ est $\dfrac{1}{1{,}25} = 0{,}8$, soit $-20\,\%$ ; celui de $-20\,\%$ est $\dfrac{1}{0{,}8} = 1{,}25$, soit $+25\,\%$ ; celui de $+100\,\%$ (doubler) est $-50\,\%$ (diviser par deux).

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🎯 Piège du QCM. « Un prix baisse de $20\,\%$ puis remonte de $20\,\%$ » : la réponse « il revient à son niveau initial » est toujours proposée, et toujours fausse. Réflexe : multiplier les coefficients.

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2. Calcul numérique et algébrique

2.1 Équation produit nul

Un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul : $(2x - 3)(x + 5) = 0 \iff x = \dfrac{3}{2}$ ou $x = -5$. Réflexe : ne jamais développer un produit égal à zéro. Attention au signe : $x + 5 = 0$ donne $x = -5$.

2.2 Signe d'une expression

• Premier degré $ax + b$ : nul en $x = -\dfrac{b}{a}$, du signe de $a$ à droite, du signe opposé à gauche. $3x - 6 > 0 \iff x > 2$ ; $-2x + 3 \geqslant 0 \iff x \leqslant 1{,}5$ (diviser par un négatif renverse l'inégalité).
• Forme factorisée $a(x - x_1)(x - x_2)$ : signe de $a$ à l'extérieur des racines, opposé entre. $(x - 1)(x + 4) < 0 \iff -4 < x < 1$ ; $-2(x - 3)(x - 7) > 0 \iff 3 < x < 7$.

2.3 Développer, factoriser, réduire

Identités remarquables dans les deux sens : $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Exemples : $(2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$ ; $(x - 3)(x + 3) = x^2 - 9$ ; $x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$ ; $3x^2 - 12x = 3x(x - 4)$ ; $2(x + 1) - 3(x - 2) = 2x + 2 - 3x + 6 = -x + 8$.

Automatismes de seconde à entretenir : fractions ($\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}$, $\dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{9} = \dfrac{1}{6}$, $\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad}{bc}$), puissances ($2^3 \times 2^4 = 2^7$, $\dfrac{10^5}{10^8} = 10^{-3}$, $(10^2)^3 = 10^6$), racines ($\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$, $\sqrt{9 \times 4} = 6$ mais $\sqrt{9 + 16} = 5 \neq 3 + 4$), priorités ($3 + 2 \times 5 = 13$), ordres de grandeur ($0{,}047 \approx 5 \times 10^{-2}$).

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🎯 Vérifier sans calculatrice. Pour une factorisation, redévelopper mentalement le premier et le dernier terme. Pour une solution d'équation, la remplacer dans l'énoncé. Pour un signe, tester une valeur simple ($x = 0$, $x = 10$). Trente secondes de vérification valent un point.

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3. Fonctions et représentations graphiques

3.1 Lire une courbe

• $f(x) = k$ : abscisses des points de la courbe d'ordonnée $k$, c'est-à-dire des points d'intersection avec la droite horizontale $y = k$.
• $f(x) < k$ : abscisses des points situés en dessous de cette droite ; $f(x) > k$, au-dessus.
• Signe de $f$ : positif là où la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses, négatif en dessous, nul aux points de contact.
• Variations : la courbe monte (fonction croissante) ou descend (décroissante) ; le tableau de variations résume avec les extremums.

Réflexe : $f(x) = k$ se lit sur l'axe des abscisses, jamais sur l'axe des ordonnées ; $f(2)$ se lit sur l'axe des ordonnées.

3.2 Droites

• Tracer $y = mx + p$ : placer $(0\,;\,p)$, avancer de $1$, monter de $m$ (ou descendre si $m < 0$).
• Lire l'équation réduite : $p$ est l'ordonnée du point sur l'axe des ordonnées ; $m$ est la variation d'ordonnée quand on avance de $1$ (ou la variation sur plusieurs unités divisée par ce nombre d'unités).
• Coefficient directeur par deux points : $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$. $A(1\,;\,2)$, $B(3\,;\,8)$ : $m = \dfrac{6}{2} = 3$ ; puis $p = y_A - m x_A = 2 - 3 = -1$ ; équation $y = 3x - 1$.
• Droite horizontale : $y = p$ ($m = 0$). Droites parallèles : même $m$.

4. Statistiques

4.1 Lire un graphique

Avant tout calcul : repérer l'origine des axes (un axe des ordonnées qui commence à $90$ au lieu de $0$ fait paraître énorme une variation de $2\,\%$), les unités et les échelles, la légende. Dans un histogramme, la surface des rectangles est proportionnelle à l'effectif ; dans un diagramme en barres, la hauteur ; dans un diagramme circulaire, l'angle ($25\,\%$ de $360°$ font $90°$). Savoir passer du graphique aux données : lire les hauteurs, additionner pour l'effectif total, calculer une fréquence.

4.2 Indicateurs et diagramme en boîte

Pour la série $2\,;\,4\,;\,4\,;\,6\,;\,9\,;\,11\,;\,13$ ($7$ valeurs, déjà ordonnées) : moyenne $\dfrac{49}{7} = 7$ ; médiane $6$ (la $4^{\text{e}}$ valeur) ; étendue $13 - 2 = 11$ ; premier quartile $Q_1 = 4$ (la $2^{\text{e}}$ valeur, car $\dfrac{7}{4} = 1{,}75$ arrondi à $2$) ; troisième quartile $Q_3 = 11$ (la $6^{\text{e}}$, car $\dfrac{3 \times 7}{4} = 5{,}25$ arrondi à $6$) ; écart interquartile $Q_3 - Q_1 = 7$.

Le diagramme en boîte représente, sur un axe gradué, le minimum, $Q_1$, la médiane, $Q_3$ et le maximum : la boîte contient environ la moitié centrale des valeurs. L'écart type mesure la dispersion autour de la moyenne : plus il est grand, plus les valeurs sont étalées.

Interpréter : la moyenne est sensible aux valeurs extrêmes (un salaire très élevé la fait monter), la médiane ne l'est pas ; « la moitié des valeurs sont inférieures à la médiane » ; « au moins $75\,\%$ des valeurs sont inférieures ou égales à $Q_3$ ».

5. Probabilités : trois nombres à ne pas confondre

Dans un tableau croisé ou un arbre, la même case donne trois probabilités selon le dénominateur :

Exemple : $100$ personnes, $40$ femmes dont $30$ ont le permis, $60$ hommes dont $45$ l'ont. $P(F \cap \text{Permis}) = \dfrac{30}{100} = 0{,}3$ ; $P_F(\text{Permis}) = \dfrac{30}{40} = 0{,}75$ ; $P_{\text{Permis}}(F) = \dfrac{30}{75} = 0{,}4$.

Sur un arbre : produit le long d'un chemin, somme des chemins ; les branches du second niveau sont des probabilités conditionnelles ; les branches issues d'un nœud totalisent $1$.

6. Méthode pour le QCM

1. Lire les quatre réponses avant de calculer : souvent, deux sont absurdes (mauvais ordre de grandeur, mauvais signe) et se rejettent immédiatement.
2. Nombres simples : sans calculatrice, l'énoncé est conçu pour que les calculs tombent juste ($\dfrac{138}{1{,}15}$, $\sqrt{50}$). Un calcul qui devient compliqué signale une erreur de méthode.
3. Substituer : pour une équation, remplacer les réponses proposées dans l'énoncé plutôt que résoudre.
4. Écrire un minimum au brouillon : le coefficient multiplicateur, le tableau de signes, la fraction avec son dénominateur.
5. Gérer le temps : environ une minute par question ; passer et revenir plutôt que s'enliser. Une réponse fausse ne retire pas de point : on répond à tout.

7. QCM d'entraînement

Énoncé. Sans calculatrice. Une seule réponse correcte par question.

1. Un article à $250$ € passe à $200$ €. Le taux d'évolution est : (a) $-25\,\%$ (b) $-20\,\%$ (c) $-50\,\%$ (d) $+20\,\%$.
2. Après une hausse de $25\,\%$, un loyer vaut $750$ €. Il valait : (a) $562{,}50$ € (b) $600$ € (c) $625$ € (d) $725$ €.
3. Une baisse de $50\,\%$ suivie d'une hausse de $50\,\%$ correspond à : (a) $0\,\%$ (b) $-25\,\%$ (c) $+25\,\%$ (d) $-50\,\%$.
4. Les solutions de $(3x - 6)(x + 2) = 0$ sont : (a) $2$ et $-2$ (b) $-2$ et $2$ (c) $6$ et $-2$ (d) $2$ et $2$.
5. $-2x + 8 > 0$ équivaut à : (a) $x > 4$ (b) $x < 4$ (c) $x > -4$ (d) $x < -4$.
6. $x^2 - 16$ est égal à : (a) $(x - 4)^2$ (b) $(x - 8)(x + 2)$ (c) $(x - 4)(x + 4)$ (d) $(x - 16)(x + 1)$.
7. La droite passant par $A(0\,;\,3)$ et $B(2\,;\,7)$ a pour équation : (a) $y = 2x + 3$ (b) $y = 3x + 2$ (c) $y = 4x + 3$ (d) $y = 2x + 7$.
8. Série $3\,;\,5\,;\,5\,;\,8\,;\,14$ : la médiane est : (a) $5$ (b) $7$ (c) $8$ (d) $11$.
9. Sur $200$ élèves, $120$ filles dont $90$ sportives. Sachant que l'élève est une fille, la probabilité qu'elle soit sportive est : (a) $\dfrac{90}{200}$ (b) $\dfrac{90}{120}$ (c) $\dfrac{120}{200}$ (d) $\dfrac{90}{110}$.
10. Un diagramme circulaire représente $40\,\%$ de « oui ». L'angle du secteur est : (a) $40°$ (b) $72°$ (c) $144°$ (d) $160°$.

Corrigé.

1. (b) : $\dfrac{200 - 250}{250} = \dfrac{-50}{250} = -0{,}2$. La réponse (a) correspond au calcul à l'envers, $\dfrac{50}{200}$.
2. (b) : $\dfrac{750}{1{,}25} = 600$ ; vérification $600 \times 1{,}25 = 750$. La réponse (a), $750 \times 0{,}75$, applique le taux réciproque faux.
3. (b) : $0{,}5 \times 1{,}5 = 0{,}75$.
4. (a) : $3x - 6 = 0$ donne $x = 2$ ; $x + 2 = 0$ donne $x = -2$.
5. (b) : $-2x > -8$, on divise par $-2$ en renversant : $x < 4$. Vérification avec $x = 0$ : $8 > 0$, vrai, donc $0$ est solution, ce qui exclut (a).
6. (c) : $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ avec $b = 4$.
7. (a) : $m = \dfrac{7 - 3}{2 - 0} = 2$ et $p = 3$ (ordonnée du point d'abscisse $0$).
8. (a) : cinq valeurs ordonnées, la troisième est $5$ ; $7$ est la moyenne.
9. (b) : « sachant fille » : dénominateur $120$.
10. (c) : $0{,}4 \times 360 = 144$.

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🎯 Après le QCM. Noter les questions ratées et le type d'erreur : lecture trop rapide, signe, dénominateur, ordre de grandeur. Les mêmes pièges reviennent d'un sujet à l'autre ; les reconnaître est le meilleur entraînement.

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📌 À retenir

1. Évolutions : $CM = 1 \pm \dfrac{t}{100}$ ; valeur initiale $= \dfrac{V_2}{CM}$ ; successives $\to$ produit des $CM$ ; réciproque $\to \dfrac{1}{CM}$.
2. Calcul : produit nul sans développer ; signe du premier degré (renverser en divisant par un négatif) et d'un produit factorisé (signe de $a$ à l'extérieur) ; identités remarquables dans les deux sens.
3. Graphiques : $f(x) = k$ et $f(x) < k$ avec la droite $y = k$, lecture sur l'axe des abscisses ; $m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$, $p$ à l'origine.
4. Statistiques : axes et échelles d'abord ; moyenne, médiane, quartiles, étendue ; boîte à moustaches ; moyenne sensible aux extrêmes.
5. Probabilités : $P(A \cap B)$, $P_A(B)$, $P_B(A)$ diffèrent par le dénominateur ; arbre : produit sur un chemin, somme des chemins.
6. QCM : lire les réponses, chercher les nombres simples, substituer, vérifier, répondre à tout.