Calcul littéral et algébrique

1. Produire et tester des formules

Une expression littérale est un calcul contenant une ou plusieurs lettres représentant des nombres.

Exemples de formules utiles

Tester la vraisemblance d'une formule, c'est remplacer les lettres par des valeurs numériques pour vérifier que le résultat est cohérent.

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2. Développer et factoriser avec la distributivité

La distributivité simple

Développer, c'est transformer un produit en somme. Factoriser, c'est transformer une somme en produit (opération inverse).

$k(a + b) = ka + kb \qquad \text{et} \qquad k(a - b) = ka - kb$

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📦 Schéma : Développer ↔ Factoriser

$3(x + 4)$ ⬇️ Développer (on distribue le $3$) $3 \times x + 3 \times 4 = 3x + 12$ ⬆️ Factoriser (on repère le facteur commun $3$) $3x + 12 = 3(x + 4)$

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Exemple 1 — Développer

$5(2x - 3) = 5 \times 2x - 5 \times 3 = 10x - 15$

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Exemple 2 — Factoriser

$8x + 12$ → Le facteur commun à $8x$ et $12$ est 4.

$8x + 12 = 4 \times 2x + 4 \times 3 = 4(2x + 3)$

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Réduire une expression

Réduire, c'est regrouper les termes de même nature :

$3x + 5 + 2x - 1 = (3x + 2x) + (5 - 1) = 5x + 4$

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3. Démontrer avec le calcul algébrique

Le calcul littéral permet de prouver qu'une propriété est vraie pour tous les nombres, pas seulement pour quelques exemples.

Démonstration :

• Soit $n$ un entier quelconque. L'entier suivant est $n + 1$.
• Leur somme vaut : $n + (n + 1) = 2n + 1$.
• Or $2n + 1$ est de la forme nombre pair $+ 1$, donc c'est un nombre impair. ✅

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4. Résoudre une équation du premier degré

Une équation est une égalité contenant une inconnue (souvent $x$). Résoudre, c'est trouver la valeur de $x$ qui rend l'égalité vraie.

Type $ax + b = c$

Méthode pas à pas :

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Type $ax + b = cx + d$

On regroupe les termes en $x$ d'un côté et les nombres de l'autre.

• Étape 1 → On soustrait $2x$ des deux côtés : $5x - 2x + 3 = 12 \quad \Rightarrow \quad 3x + 3 = 12$
• Étape 2 → On soustrait $3$ des deux côtés : $3x = 12 - 3 \quad \Rightarrow \quad 3x = 9$
• Étape 3 → On divise par $3$ : $x = \frac{9}{3} \quad \Rightarrow \quad \boxed{x = 3}$
• Vérification : côté gauche : $5 \times 3 + 3 = 18$ ; côté droit : $2 \times 3 + 12 = 18$ ✅

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5. Mettre un problème en équation

Mettre en équation, c'est traduire un énoncé en langage mathématique.

• Étape 1 — Choix de l'inconnue : Soit $x$ le nombre d'années cherché.
• Étape 2 — Mise en équation :
  • Dans $x$ années : le père aura $40 + x$ ans, le fils aura $12 + x$ ans.
  • Condition : $40 + x = 2(12 + x)$
• Étape 3 — Résolution : $40 + x = 24 + 2x$ $40 - 24 = 2x - x$ $16 = x \quad \Rightarrow \quad \boxed{x = 16}$
• Étape 4 — Conclusion : Dans 16 ans, le père aura 56 ans et le fils 28 ans. $56 = 2 \times 28$ ✅

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6. Formuler des conjectures (tableur / algorithme)

Une conjecture est une affirmation que l'on suppose vraie après avoir observé plusieurs cas, mais qui n'est pas encore démontrée.

Avec un tableur, on peut tester rapidement de nombreuses valeurs :

➡️ Conjecture : « Pour tout entier $n$, $n^2 + n$ est pair. »

➡️ Preuve : $n^2 + n = n(n + 1)$, produit de deux entiers consécutifs, donc l'un des deux est pair → le produit est toujours pair. ✅

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📌 À retenir

1. Développer : $k(a+b) = ka + kb$ — on distribue le facteur devant la parenthèse.
2. Factoriser : opération inverse — on repère le facteur commun et on le met devant.
3. Résoudre $ax + b = cx + d$ : regrouper les $x$ d'un côté, les nombres de l'autre, puis diviser.
4. Mettre en équation : choisir l'inconnue → traduire l'énoncé → résoudre → vérifier et conclure.
5. Conjecture ≠ preuve : le tableur aide à deviner, mais seul le calcul littéral permet de démontrer.