Calcul littéral et algébrique
1. Expressions littérales et formules
Qu'est-ce qu'une expression littérale ?
Une expression littérale est une expression mathématique qui contient une ou plusieurs lettres représentant des nombres.
On utilise des lettres pour écrire des formules générales :
| Expression en français | Formule littérale | Exemple si x=5 |
|---|
| Le double de x | 2x (ou 2×x) | 2×5=10 |
| Le triple de x | 3x | 3×5=15 |
| Le carré de x | x2 (ou x×x) | 52=25 |
| Le périmètre d'un carré de côté c | 4c | 4×5=20 |
| L'aire d'un rectangle (L et ℓ) | L×ℓ | — |
⚠️ Convention : on n'écrit pas le signe × devant une lettre. On écrit 3x et non 3×x, et 2ab pour 2×a×b.
Calculer par substitution
Substituer, c'est remplacer chaque lettre par une valeur numérique puis calculer.
Exemple résolu pas à pas : Calculer A=3x2+2x−1 pour x=4.
Étape 1 → Remplacer x par 4 : A=3×42+2×4−1
Étape 2 → Calculer les puissances : A=3×16+2×4−1
Étape 3 → Calculer les produits : A=48+8−1
Étape 4 → Terminer : A=55
Tester une égalité
Pour tester si une égalité est vraie, on calcule séparément chaque membre puis on compare.
Exemple : L'égalité 2x+3=11 est-elle vraie pour x=4 ?
- Membre de gauche : 2×4+3=11
- Membre de droite : 11
- 11=11 ✅ → L'égalité est vraie pour x=4.
Pour x=2 : membre de gauche =2×2+3=7=11 ❌ → fausse.
2. Nature d'une expression : somme ou produit
La nature d'une expression est déterminée par la dernière opération à effectuer (en respectant les priorités).
🔎 Méthode pour identifier la nature :
3x+5 → dernière opération = addition → c'est une somme ✅
3×(x+5) → dernière opération = multiplication → c'est un produit ✅
(2x+1)+(4x−3) → somme | 5(2x+1) → produit
| Expression | Dernière opération | Nature |
|---|
| 4x+7 | addition | Somme |
| 4(x+7) | multiplication | Produit |
| 2x−3+5x | addition/soustraction | Somme |
| 3x×2x | multiplication | Produit |
3. Développer et factoriser (distributivité simple)
Développer
Développer, c'est transformer un produit en somme grâce à la propriété :
k(a+b)=ka+kb
Exemple : 5(2x+3)=5×2x+5×3=10x+15
📐 Schéma de la distributivité :
k×(a+b)
↓↓
k×a+k×b
🟦 PRODUIT ⟶ développer ⟶ 🟩 SOMME
🟩 SOMME ⟶ factoriser ⟶ 🟦 PRODUIT
Factoriser
Factoriser, c'est l'opération inverse : transformer une somme en produit en trouvant le facteur commun.
Exemple : 12x+8 → le facteur commun est 4 → 12x+8=4(3x+2)
Réduire une expression
Réduire, c'est regrouper les termes de même nature (les termes en x ensemble, les nombres ensemble).
Exemple : 7x+3+2x−1=(7x+2x)+(3−1)=9x+2
On ne peut jamais additionner 9x et 2 : l'expression 9x+2 est réduite.
4. Prouver et réfuter avec le calcul littéral
Démontrer une propriété générale
Le calcul littéral permet de prouver qu'une propriété est toujours vraie.
Exemple : « La somme de deux nombres consécutifs est toujours impaire. »
Soit n un nombre entier. Le suivant est n+1.
Leur somme : n+(n+1)=2n+1.
Or 2n est pair, donc 2n+1 est impair. ✅ C'est prouvé pour tout entier.
Utiliser un contre-exemple
Un contre-exemple est un cas particulier qui suffit à prouver qu'une affirmation est fausse.
Exemple : « Pour tout nombre x, on a x2>x. » → Faux !
Contre-exemple : pour x=0,5, on a x2=0,25 et 0,25<0,5. ❌
Un seul contre-exemple suffit pour réfuter.
5. Résoudre une équation simple
Une équation est une égalité avec une inconnue. Résoudre, c'est trouver la valeur de l'inconnue.
| Type d'équation | Opération inverse | Résolution | Solution |
|---|
| x+b=c | Soustraire b | x=c−b | |
| ax=c | Diviser par a | x=ac | |
Exemple 1 : Résoudre x+7=12
Étape 1 → On isole x : x=12−7
Étape 2 → x=5 ✅ Vérification : 5+7=12 ✓
Exemple 2 : Résoudre 3x=18
Étape 1 → On divise par 3 : x=318
Étape 2 → x=6 ✅ Vérification : 3×6=18 ✓
📌 À retenir
- Expression littérale : contient des lettres représentant des nombres ; on calcule sa valeur par substitution.
- Nature : une expression est une somme (dernière opération = addition) ou un produit (dernière opération = multiplication).
- Distributivité : k(a+b)=ka+kb — développer transforme un produit en somme, factoriser fait l'inverse.
- Réduire = regrouper les termes de même nature : 7x+2x=9x.
- Équations : on utilise l'opération inverse (x+b=c⇒x=c−b ; ax=c⇒x=ac) et on vérifie toujours sa solution.