Chargement…

Calcul littéral et algébrique — Cours Mathématiques 5ème | KlarIA

🔢 Mathématiques5èmeCours

Calcul littéral et algébrique

Voir la fiche de révision →Tous les chapitres

📖

Cours

Calcul littéral et algébrique

1. Expressions littérales et formules

Qu'est-ce qu'une expression littérale ?

Une expression littérale est une expression mathématique qui contient une ou plusieurs lettres représentant des nombres.

On utilise des lettres pour écrire des formules générales :

Expression en français	Formule littérale	Exemple si $x = 5$
Le double de $x$	$2x$ (ou $2 \times x$ )	$2 \times 5 = 10$
Le triple de $x$	$3x$	$3 \times 5 = 15$
Le carré de $x$	$x^2$ (ou $x \times x$ )	$5^2 = 25$
Le périmètre d'un carré de côté $c$	$4c$	$4 \times 5 = 20$
L'aire d'un rectangle ( $L$ et $\ell$ )	$L \times \ell$	—

⚠️ Convention : on n'écrit pas le signe $\times$ devant une lettre. On écrit $3x$ et non $3 \times x$ , et $2ab$ pour $2 \times a \times b$ .

Calculer par substitution

Substituer, c'est remplacer chaque lettre par une valeur numérique puis calculer.

Exemple résolu pas à pas : Calculer $A = 3x^2 + 2x - 1$ pour $x = 4$ .

Étape 1 → Remplacer $x$ par $4$ : $A = 3 \times 4^2 + 2 \times 4 - 1$ Étape 2 → Calculer les puissances : $A = 3 \times 16 + 2 \times 4 - 1$ Étape 3 → Calculer les produits : $A = 48 + 8 - 1$ Étape 4 → Terminer : $A = 55$

Tester une égalité

Pour tester si une égalité est vraie, on calcule séparément chaque membre puis on compare.

Exemple : L'égalité $2x + 3 = 11$ est-elle vraie pour $x = 4$ ?

Membre de gauche : $2 \times 4 + 3 = 11$
Membre de droite : $11$
$11 = 11$ ✅ → L'égalité est vraie pour $x = 4$ .

Pour $x = 2$ : membre de gauche $= 2 \times 2 + 3 = 7 \neq 11$ ❌ → fausse.

2. Nature d'une expression : somme ou produit

La nature d'une expression est déterminée par la dernière opération à effectuer (en respectant les priorités).

🔎 Méthode pour identifier la nature :

$3x + 5$ → dernière opération = addition → c'est une somme ✅

$3 \times (x + 5)$ → dernière opération = multiplication → c'est un produit ✅

$(2x+1)+(4x-3)$ → somme | $5(2x+1)$ → produit

Expression	Dernière opération	Nature
$4x + 7$	addition	Somme
$4(x + 7)$	multiplication	Produit
$2x - 3 + 5x$	addition/soustraction	Somme
$3x \times 2x$	multiplication	Produit

3. Développer et factoriser (distributivité simple)

Développer

Développer, c'est transformer un produit en somme grâce à la propriété :

$k(a + b) = ka + kb$

Exemple : $5(2x + 3) = 5 \times 2x + 5 \times 3 = 10x + 15$

📐 Schéma de la distributivité :

$k \times (a + b)$ $\downarrow \hspace{1.2cm} \downarrow$ $k \times a \;+\; k \times b$

🟦 PRODUIT ⟶ développer ⟶ 🟩 SOMME

🟩 SOMME ⟶ factoriser ⟶ 🟦 PRODUIT

Factoriser

Factoriser, c'est l'opération inverse : transformer une somme en produit en trouvant le facteur commun.

Exemple : $12x + 8$ → le facteur commun est $4$ → $12x + 8 = 4(3x + 2)$

Réduire une expression

Réduire, c'est regrouper les termes de même nature (les termes en $x$ ensemble, les nombres ensemble).

Exemple : $7x + 3 + 2x - 1 = (7x + 2x) + (3 - 1) = 9x + 2$

On ne peut jamais additionner $9x$ et $2$ : l'expression $9x + 2$ est réduite.

4. Prouver et réfuter avec le calcul littéral

Démontrer une propriété générale

Le calcul littéral permet de prouver qu'une propriété est toujours vraie.

Exemple : « La somme de deux nombres consécutifs est toujours impaire. »

Soit $n$ un nombre entier. Le suivant est $n + 1$ . Leur somme : $n + (n + 1) = 2n + 1$ . Or $2n$ est pair, donc $2n + 1$ est impair. ✅ C'est prouvé pour tout entier.

Utiliser un contre-exemple

Un contre-exemple est un cas particulier qui suffit à prouver qu'une affirmation est fausse.

Exemple : « Pour tout nombre $x$ , on a $x^2 > x$ . » → Faux !

Contre-exemple : pour $x = 0{,}5$ , on a $x^2 = 0{,}25$ et $0{,}25 < 0{,}5$ . ❌

Un seul contre-exemple suffit pour réfuter.

5. Résoudre une équation simple

Une équation est une égalité avec une inconnue. Résoudre, c'est trouver la valeur de l'inconnue.

Type d'équation	Opération inverse	Résolution	Solution
$x + b = c$	Soustraire $b$	$x = c - b$
$ax = c$	Diviser par $a$	$x = \frac{c}{a}$

Exemple 1 : Résoudre $x + 7 = 12$

Étape 1 → On isole $x$ : $x = 12 - 7$ Étape 2 → $x = 5$ ✅ Vérification : $5 + 7 = 12$ ✓

Exemple 2 : Résoudre $3x = 18$

Étape 1 → On divise par $3$ : $x = \frac{18}{3}$ Étape 2 → $x = 6$ ✅ Vérification : $3 \times 6 = 18$ ✓

📌 À retenir

Expression littérale : contient des lettres représentant des nombres ; on calcule sa valeur par substitution.
Nature : une expression est une somme (dernière opération = addition) ou un produit (dernière opération = multiplication).
Distributivité : $k(a+b) = ka + kb$ — développer transforme un produit en somme, factoriser fait l'inverse.
Réduire $=$ regrouper les termes de même nature : $7x + 2x = 9x$ .
Équations : on utilise l'opération inverse ( $x + b = c \Rightarrow x = c - b$ ; $ax = c \Rightarrow x = \frac{c}{a}$ ) et on vérifie toujours sa solution.

Révise ce chapitre avec KlarIA

Tuteur qui t'explique pas à pas, quiz pour t'entraîner, flashcards pour mémoriser. Gratuit.

Créer mon compte gratuitement→

Besoin d'aide ?

Pose ta question gratuitement→