Calcul Littéral, Équations et Inéquations

1. Puissances entières

1.1 Définition et notation

Pour tout réel $a$ et tout entier naturel $n \geqslant 1$ :

$a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ facteurs}}$

Par convention : $a^0 = 1$ (pour $a \neq 0$) et $a^1 = a$.

Pour $n$ entier positif et $a \neq 0$ : $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

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1.2 Règles de calcul sur les puissances

Pour $a \neq 0$, $b \neq 0$ et $m, n$ entiers relatifs :

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⚠️ Erreurs fréquentes :

• $(a + b)^2 \neq a^2 + b^2$ → il faut développer avec les identités remarquables !
• $a^m \times b^n \neq (ab)^{m+n}$ → cette règle ne marche que si les bases sont identiques ou les exposants sont identiques.

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2. Racines carrées

2.1 Définition

Pour tout réel $a \geqslant 0$, la racine carrée de $a$, notée $\sqrt{a}$, est l'unique réel positif dont le carré vaut $a$ :

$\sqrt{a} \geqslant 0 \quad \text{et} \quad (\sqrt{a})^2 = a$

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2.2 Règles de calcul

Pour $a \geqslant 0$ et $b \geqslant 0$ :

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2.3 La relation fondamentale $\sqrt{a^2} = |a|$

Pour tout réel $a$ (positif ou négatif) :

$\boxed{\sqrt{a^2} = |a|}$

Exemples :

• $\sqrt{5^2} = \sqrt{25} = 5 = |5|$ ✔️
• $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 = |-3|$ ✔️

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⚠️ Attention : $\sqrt{a^2} \neq a$ en général ! Si $a < 0$, alors $\sqrt{a^2} = -a$. C'est pour cela qu'on écrit $\sqrt{a^2} = |a|$.

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Exemple résolu : Simplifier $\sqrt{(x - 2)^2}$ selon les valeurs de $x$.

$\sqrt{(x-2)^2} = |x - 2| = \begin{cases} x - 2 & \text{si } x \geqslant 2 \\ -(x-2) = 2 - x & \text{si } x < 2 \end{cases}$

3. Identités remarquables

3.1 Les trois identités à connaître

Ces identités sont valables pour tous réels $a$ et $b$. Il faut savoir les utiliser dans les deux sens (développer ↔ factoriser).

$\boxed{(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2}$

$\boxed{(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2}$

$\boxed{a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)}$

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3.2 Développer avec les identités

Exemple 1 : $(3x + 5)^2 = (3x)^2 + 2 \times 3x \times 5 + 5^2 = 9x^2 + 30x + 25$

Exemple 2 : $(2x - 7)^2 = (2x)^2 - 2 \times 2x \times 7 + 7^2 = 4x^2 - 28x + 49$

Exemple 3 : $(x - 3)(x + 3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9$

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3.3 Factoriser avec les identités

La factorisation est l'opération inverse du développement : on repère la forme d'une identité remarquable pour écrire l'expression comme un produit.

Exemple 1 : $x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2 = (x + 3)^2$

Exemple 2 : $4x^2 - 25 = (2x)^2 - 5^2 = (2x - 5)(2x + 5)$

Exemple 3 : $9x^2 - 12x + 4 = (3x)^2 - 2 \times 3x \times 2 + 2^2 = (3x - 2)^2$

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3.4 Choisir la bonne forme

Le choix entre forme développée et forme factorisée dépend du problème :

4. Calcul sur les expressions fractionnaires

4.1 Règles fondamentales

Pour $b \neq 0$ et $d \neq 0$ :

$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd} \qquad \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} \qquad \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$

Exemple résolu : Simplifier $\frac{2}{x+1} + \frac{3}{x-2}$ (pour $x \neq -1$ et $x \neq 2$).

$\frac{2}{x+1} + \frac{3}{x-2} = \frac{2(x-2) + 3(x+1)}{(x+1)(x-2)} = \frac{2x - 4 + 3x + 3}{(x+1)(x-2)} = \frac{5x - 1}{(x+1)(x-2)}$

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4.2 Exprimer une variable en fonction des autres

Exemple résolu : Soit la relation $3x + 2y = 12$. Exprimer $y$ en fonction de $x$.

$2y = 12 - 3x \implies y = \frac{12 - 3x}{2}$

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5. Inégalités

5.1 Règles de calcul sur les inégalités

Somme d'inégalités : si $a \leqslant b$ et $c \leqslant d$, alors $a + c \leqslant b + d$.

Produit par un réel positif : si $a \leqslant b$ et $k > 0$, alors $ka \leqslant kb$ (l'inégalité est conservée).

Produit par un réel négatif : si $a \leqslant b$ et $k < 0$, alors $ka \geqslant kb$ (l'inégalité est renversée).

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⚠️ Règle cruciale : multiplier (ou diviser) par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité. C'est l'erreur la plus fréquente en seconde !

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5.2 Comparer deux quantités

Méthode par la différence : pour comparer $A$ et $B$, on calcule $A - B$.

• Si $A - B > 0$ → $A > B$
• Si $A - B < 0$ → $A < B$
• Si $A - B = 0$ → $A = B$

Exemple résolu : Comparer $\frac{n+1}{n}$ et $\frac{n+2}{n+1}$ pour $n > 0$.

$\frac{n+1}{n} - \frac{n+2}{n+1} = \frac{(n+1)^2 - n(n+2)}{n(n+1)} = \frac{n^2 + 2n + 1 - n^2 - 2n}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)}$

Comme $n > 0$, on a $\frac{1}{n(n+1)} > 0$, donc $\frac{n+1}{n} > \frac{n+2}{n+1}$.

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6. Équations et inéquations du premier degré

6.1 Résolution d'une équation du premier degré

Une équation du premier degré à une inconnue est de la forme $ax + b = 0$ (avec $a \neq 0$).

$ax + b = 0 \iff x = -\frac{b}{a}$

Ensemble des solutions : $S = \left\{-\frac{b}{a}\right\}$.

Exemple : $3x - 7 = 0 \iff 3x = 7 \iff x = \frac{7}{3}$. Donc $S = \left\{\frac{7}{3}\right\}$.

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6.2 Résolution d'une inéquation du premier degré

Méthode : on isole $x$ en respectant les règles sur les inégalités — en particulier, on inverse le sens si on multiplie ou divise par un nombre négatif.

Exemple résolu : Résoudre $-2x + 5 > 3$.

$-2x + 5 > 3 \iff -2x > 3 - 5 \iff -2x > -2 \iff x < \frac{-2}{-2} \iff x < 1$

On a divisé par $-2 < 0$, donc on a inversé le sens de l'inégalité.

Ensemble des solutions : $S = ]-\infty\,;\,1[$.

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6.3 Modéliser un problème par une inéquation

Exemple résolu : Un taxi facture $2{,}50$ € de prise en charge et $1{,}20$ € par km. Un client dispose de $20$ €. Quelle distance maximale peut-il parcourir ?

Modélisation : Soit $x$ la distance en km. Le coût est $2{,}50 + 1{,}20x$.

$2{,}50 + 1{,}20x \leqslant 20 \implies 1{,}20x \leqslant 17{,}50 \implies x \leqslant \frac{17{,}50}{1{,}20} \approx 14{,}58$

Réponse : Le client peut parcourir au maximum $14{,}58$ km, soit $14$ km si le compteur est au kilomètre entier.

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📌 À retenir

1. Puissances : $a^m \times a^n = a^{m+n}$, $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, $(a^m)^n = a^{mn}$.
2. Racine carrée : $\sqrt{a^2} = |a|$ — la racine carrée est toujours positive.
3. Identités remarquables : $(a+b)^2$, $(a-b)^2$, $a^2 - b^2$ — à savoir dans les deux sens.
4. Inégalités : multiplier par un nombre négatif inverse le sens.
5. Inéquation $ax + b > 0$ : si $a > 0$, $x > -\frac{b}{a}$ ; si $a < 0$, $x < -\frac{b}{a}$.
6. Comparer $A$ et $B$ → étudier le signe de $A - B$.