Calcul Littéral, Équations et Inéquations
1. Puissances entières
1.1 Définition et notation
Pour tout réel a et tout entier naturel n⩾1 :
an=n facteursa×a×⋯×a
Par convention : a0=1 (pour a=0) et a1=a.
Pour n entier positif et a=0 : a−n=an1.
1.2 Règles de calcul sur les puissances
Pour a=0, b=0 et m,n entiers relatifs :
| Règle | Formule | Exemple |
|---|
| Produit de même base | am×an=am+n | 23×24=27=128 |
| Quotient de même base | anam=am−n | 5256=54=625 |
| Puissance de puissance | (am)n=am×n | (32)4=38=6561 |
| Produit | (ab)n=an×bn | (2×5)3=23×53=1000 |
| Quotient | (ba)n=bnan | (23)2=49 |
⚠️ Erreurs fréquentes :
- (a+b)2=a2+b2 → il faut développer avec les identités remarquables !
- am×bn=(ab)m+n → cette règle ne marche que si les bases sont identiques ou les exposants sont identiques.
2. Racines carrées
2.1 Définition
Pour tout réel a⩾0, la racine carrée de a, notée a, est l'unique réel positif dont le carré vaut a :
a⩾0et(a)2=a
2.2 Règles de calcul
Pour a⩾0 et b⩾0 :
| Règle | Formule | Exemple |
|---|
| Produit | a×b=a×b | 12=4×3=23 |
| Quotient | ba=ba (si b>0) | 169=43 |
| Carré | (a)2=a | (7)2=7 |
2.3 La relation fondamentale a2=∣a∣
Pour tout réel a (positif ou négatif) :
a2=∣a∣
Exemples :
- 52=25=5=∣5∣ ✔️
- (−3)2=9=3=∣−3∣ ✔️
⚠️ Attention : a2=a en général ! Si a<0, alors a2=−a. C'est pour cela qu'on écrit a2=∣a∣.
Exemple résolu : Simplifier (x−2)2 selon les valeurs de x.
(x−2)2=∣x−2∣={x−2−(x−2)=2−xsi x⩾2si x<2
3. Identités remarquables
3.1 Les trois identités à connaître
Ces identités sont valables pour tous réels a et b. Il faut savoir les utiliser dans les deux sens (développer ↔ factoriser).
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a−b)2=a2−2ab+b2
a2−b2=(a−b)(a+b)
3.2 Développer avec les identités
Exemple 1 : (3x+5)2=(3x)2+2×3x×5+52=9x2+30x+25
Exemple 2 : (2x−7)2=(2x)2−2×2x×7+72=4x2−28x+49
Exemple 3 : (x−3)(x+3)=x2−32=x2−9
3.3 Factoriser avec les identités
La factorisation est l'opération inverse du développement : on repère la forme d'une identité remarquable pour écrire l'expression comme un produit.
Exemple 1 : x2+6x+9=x2+2×x×3+32=(x+3)2
Exemple 2 : 4x2−25=(2x)2−52=(2x−5)(2x+5)
Exemple 3 : 9x2−12x+4=(3x)2−2×3x×2+22=(3x−2)2
3.4 Choisir la bonne forme
Le choix entre forme développée et forme factorisée dépend du problème :
| Objectif | Forme à utiliser |
|---|
| Résoudre une équation produit A×B=0 | Forme factorisée |
| Résoudre une équation f(x)=k | Souvent forme développée réduite |
| Étudier le signe d'une expression | Forme factorisée |
| Simplifier une fraction | Forme factorisée |
| Calculer pour une valeur donnée | Forme la plus pratique |
4. Calcul sur les expressions fractionnaires
4.1 Règles fondamentales
Pour b=0 et d=0 :
ba+dc=bdad+bcba×dc=bdacba÷dc=ba×cd
Exemple résolu : Simplifier x+12+x−23 (pour x=−1 et x=2).
x+12+x−23=(x+1)(x−2)2(x−2)+3(x+1)=(x+1)(x−2)2x−4+3x+3=(x+1)(x−2)5x−1
4.2 Exprimer une variable en fonction des autres
Exemple résolu : Soit la relation 3x+2y=12. Exprimer y en fonction de x.
2y=12−3x⟹y=212−3x
5. Inégalités
5.1 Règles de calcul sur les inégalités
Somme d'inégalités : si a⩽b et c⩽d, alors a+c⩽b+d.
Produit par un réel positif : si a⩽b et k>0, alors ka⩽kb (l'inégalité est conservée).
Produit par un réel négatif : si a⩽b et k<0, alors ka⩾kb (l'inégalité est renversée).
⚠️ Règle cruciale : multiplier (ou diviser) par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité. C'est l'erreur la plus fréquente en seconde !
5.2 Comparer deux quantités
Méthode par la différence : pour comparer A et B, on calcule A−B.
- Si A−B>0 → A>B
- Si A−B<0 → A<B
- Si A−B=0 → A=B
Exemple résolu : Comparer nn+1 et n+1n+2 pour n>0.
nn+1−n+1n+2=n(n+1)(n+1)2−n(n+2)=n(n+1)n2+2n+1−n2−2n=n(n+1)1
Comme n>0, on a n(n+1)1>0, donc nn+1>n+1n+2.
6. Équations et inéquations du premier degré
6.1 Résolution d'une équation du premier degré
Une équation du premier degré à une inconnue est de la forme ax+b=0 (avec a=0).
ax+b=0⟺x=−ab
Ensemble des solutions : S={−ab}.
Exemple : 3x−7=0⟺3x=7⟺x=37. Donc S={37}.
6.2 Résolution d'une inéquation du premier degré
Méthode : on isole x en respectant les règles sur les inégalités — en particulier, on inverse le sens si on multiplie ou divise par un nombre négatif.
Exemple résolu : Résoudre −2x+5>3.
−2x+5>3⟺−2x>3−5⟺−2x>−2⟺x<−2−2⟺x<1
On a divisé par −2<0, donc on a inversé le sens de l'inégalité.
Ensemble des solutions : S=]−∞;1[.
6.3 Modéliser un problème par une inéquation
Exemple résolu : Un taxi facture 2,50 € de prise en charge et 1,20 € par km. Un client dispose de 20 €. Quelle distance maximale peut-il parcourir ?
Modélisation : Soit x la distance en km. Le coût est 2,50+1,20x.
2,50+1,20x⩽20⟹1,20x⩽17,50⟹x⩽1,2017,50≈14,58
Réponse : Le client peut parcourir au maximum 14,58 km, soit 14 km si le compteur est au kilomètre entier.
📌 À retenir
- Puissances : am×an=am+n, anam=am−n, (am)n=amn.
- Racine carrée : a2=∣a∣ — la racine carrée est toujours positive.
- Identités remarquables : (a+b)2, (a−b)2, a2−b2 — à savoir dans les deux sens.
- Inégalités : multiplier par un nombre négatif inverse le sens.
- Inéquation ax+b>0 : si a>0, x>−ab ; si a<0, x<−ab.
- Comparer A et B → étudier le signe de A−B.