Calcul littéral

Le calcul littéral est la boîte à outils de l'algèbre en 3ème. On apprend à transformer des expressions — les développer, les factoriser, les simplifier — pour préparer le chapitre suivant (Équations et inéquations).

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1. Rappels : vocabulaire et conventions

1.1 Nature d'une expression

Avant de transformer une expression, il faut savoir ce qu'elle est :

💡 La nature d'une expression détermine ce qu'on peut en faire :

• Un produit → on peut le développer (transformer en somme).
• Une somme (ou différence) → on peut la factoriser (transformer en produit).

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1.2 Conventions d'écriture

• $2 \times x$ s'écrit $2x$ (on supprime le signe $\times$ devant une lettre).
• $1 \times x$ s'écrit $x$ (pas $1x$).
• $x \times x$ s'écrit $x^2$ (pas $xx$).
• $3x \times 2x = 6x^2$ (on multiplie les coefficients et on additionne les exposants de $x$).

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1.3 Opposé d'une expression

Prendre l'opposé d'une expression, c'est multiplier par $-1$. On change le signe de chaque terme :

$-(5 - 4x) = -5 + 4x$

$-(a + b) = -a - b$

⚠️ C'est une source d'erreur très fréquente, surtout quand l'expression contient plusieurs termes.

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2. Développer une expression

2.1 Simple distributivité (rappel de 4ème)

$\boxed{k(a + b) = ka + kb}$

Exemple : $3(2x + 5) = 3 \times 2x + 3 \times 5 = 6x + 15$

Avec un signe négatif : $-2(x - 4) = -2 \times x + (-2) \times (-4) = -2x + 8$

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2.2 Double distributivité

En 3ème, on développe des produits de deux parenthèses :

$\boxed{(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd}$

Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde.

= ac + ad + bc + bd

Exemple résolu : Développer et réduire $(3x + 2)(x - 5)$.

$= \underbrace{3x \times x}_{3x^2} + \underbrace{3x \times (-5)}_{-15x} + \underbrace{2 \times x}_{2x} + \underbrace{2 \times (-5)}_{-10}$

$= 3x^2 - 15x + 2x - 10$

$= 3x^2 - 13x - 10$

Autre exemple : Développer $(2x - 1)(4 + 3x)$.

$= 2x \times 4 + 2x \times 3x + (-1) \times 4 + (-1) \times 3x$

$= 8x + 6x^2 - 4 - 3x$

$= 6x^2 + 5x - 4$

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3. Les trois identités remarquables

Ce sont des cas particuliers de la double distributivité. Elles permettent de calculer beaucoup plus vite et sont à connaître par cœur, dans les deux sens (développer et factoriser).

3.1 Carré d'une somme

$\boxed{(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2}$

Vérification : $(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$ ✅

Exemple : $(2x + 3)^2 = (2x)^2 + 2 \times 2x \times 3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9$

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3.2 Carré d'une différence

$\boxed{(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2}$

Exemple : $(5x - 1)^2 = (5x)^2 - 2 \times 5x \times 1 + 1^2 = 25x^2 - 10x + 1$

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3.3 Produit somme-différence

$\boxed{(a - b)(a + b) = a^2 - b^2}$

C'est la différence de deux carrés. Il n'y a pas de double produit.

Exemple : $(3x - 7)(3x + 7) = (3x)^2 - 7^2 = 9x^2 - 49$

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3.4 Tableau récapitulatif

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3.5 Méthode pour utiliser une identité remarquable

Étape 1 → Identifier la forme : est-ce $(a+b)^2$, $(a-b)^2$ ou $(a-b)(a+b)$ ? Étape 2 → Identifier $a$ et $b$. Étape 3 → Appliquer la formule. Étape 4 → Simplifier si nécessaire.

Exemple : Développer $(x + 4)^2$.

• Forme : $(a+b)^2$ avec $a = x$ et $b = 4$.
• $(x+4)^2 = x^2 + 2 \times x \times 4 + 4^2 = x^2 + 8x + 16$

Exemple : Développer $(3x - 5)^2$.

• Forme : $(a-b)^2$ avec $a = 3x$ et $b = 5$.
• $(3x - 5)^2 = (3x)^2 - 2 \times 3x \times 5 + 5^2 = 9x^2 - 30x + 25$

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4. Factoriser une expression

Factoriser, c'est l'opération inverse du développement : on transforme une somme (ou différence) en produit.

4.1 Factoriser avec un facteur commun

Si tous les termes d'une expression contiennent un même facteur, on le met devant une parenthèse :

$\boxed{ab + ac = a(b + c)}$

Méthode : on repère le facteur commun (le plus grand possible), puis on le « sort » de chaque terme.

Exemple 1 : Factoriser $6x + 15$.

• Facteur commun : $3$ (car $6 = 3 \times 2$ et $15 = 3 \times 5$).
• $6x + 15 = 3 \times 2x + 3 \times 5 = 3(2x + 5)$

Exemple 2 : Factoriser $5x^2 - 15x$.

• Facteur commun : $5x$ (car $5x^2 = 5x \times x$ et $15x = 5x \times 3$).
• $5x^2 - 15x = 5x \times x - 5x \times 3 = 5x(x - 3)$

Exemple 3 : Factoriser $(2x+1)(x-3) + (2x+1)(4x+7)$.

• Facteur commun : $(2x+1)$.
• $= (2x+1) \Big[ (x-3) + (4x+7) \Big] = (2x+1)(5x + 4)$

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4.2 Factoriser avec une identité remarquable

On reconnaît la forme développée d'une identité remarquable pour retrouver la forme factorisée.

Reconnaître $a^2 - b^2$ (différence de deux carrés)

C'est la plus facile à repérer : deux termes, l'un moins l'autre, les deux sont des carrés.

$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

Exemples :

Reconnaître $(a+b)^2$ ou $(a-b)^2$ (carré parfait)

On cherche trois termes dont le premier et le dernier sont des carrés, et le terme du milieu est $\pm 2ab$.

Exemple : Factoriser $x^2 + 6x + 9$.

• $x^2$ est le carré de $x$, et $9$ est le carré de $3$.
• Vérification du double produit : $2 \times x \times 3 = 6x$ ✅
• Donc $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$

Exemple : Factoriser $4x^2 - 20x + 25$.

• $4x^2 = (2x)^2$ et $25 = 5^2$.
• Vérification : $2 \times 2x \times 5 = 20x$ ✅ (et le signe du milieu est $-$).
• Donc $4x^2 - 20x + 25 = (2x - 5)^2$

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4.3 Organigramme : comment factoriser ?

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5. Simplifier une fraction algébrique

Une fraction algébrique est une fraction dont le numérateur et/ou le dénominateur contiennent des lettres. Pour la simplifier, on factorise numérateur et dénominateur, puis on simplifie les facteurs communs.

⚠️ Règle fondamentale : on simplifie des facteurs (dans un produit), jamais des termes (dans une somme).

$\frac{\cancel{\text{facteur}}}{\cancel{\text{facteur}}} \quad \text{OK} \qquad \qquad \frac{\cancel{\text{terme}} + ...}{\cancel{\text{terme}} + ...} \quad \text{INTERDIT !}$

Exemple résolu 1

Simplifier $\dfrac{x^2 - 9}{x + 3}$.

Étape 1 → On factorise le numérateur : $x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x-3)(x+3)$.

Étape 2 → On simplifie le facteur commun $(x+3)$ :

$\frac{(x-3)(x+3)}{x+3} = x - 3 \qquad \text{(pour } x \neq -3 \text{)}$

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Exemple résolu 2

Simplifier $\dfrac{4x(x+1)}{2(x+1)}$.

Étape 1 → Numérateur et dénominateur sont déjà factorisés.

Étape 2 → Facteurs communs : $2$ et $(x+1)$.

$\frac{4x(x+1)}{2(x+1)} = \frac{4x}{2} = 2x \qquad \text{(pour } x \neq -1 \text{)}$

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Exemple résolu 3

Simplifier $\dfrac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 4}$.

Étape 1 → Numérateur : $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$ (carré d'une différence avec $a=x$, $b=2$). Étape 2 → Dénominateur : $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$ (différence de deux carrés).

$\frac{(x-2)^2}{(x-2)(x+2)} = \frac{(x-2)(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x-2}{x+2} \qquad \text{(pour } x \neq 2 \text{ et } x \neq -2 \text{)}$

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6. Démontrer avec le calcul littéral

Le calcul littéral permet de prouver des propriétés générales sur les nombres, en utilisant des lettres pour représenter n'importe quel nombre.

Nombres pairs et impairs

• Un nombre pair s'écrit $2n$ (où $n$ est un entier).
• Un nombre impair s'écrit $2n + 1$.
• Deux entiers consécutifs s'écrivent $n$ et $n + 1$.

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Exemple de démonstration

Propriété : La somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de $3$.

Démonstration : Soit $n$ un entier quelconque. Les trois entiers consécutifs sont $n$, $n+1$ et $n+2$.

Leur somme est : $n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3 = 3(n+1)$

Or $3(n+1)$ est un multiple de $3$ (il est de la forme $3 \times k$ avec $k = n+1$ entier).

Donc la somme de trois entiers consécutifs est toujours divisible par $3$. ∎

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📌 À retenir

1. Développer = transformer un produit en somme. Factoriser = transformer une somme en produit. Ce sont des opérations inverses.

2. Double distributivité : $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$.

3. Trois identités remarquables (dans les deux sens) :

   • $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
   • $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
   • $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$

4. ⛔ $(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$ — ne jamais oublier le double produit $2ab$.

5. Factoriser : d'abord chercher un facteur commun, sinon essayer une identité remarquable.

6. Fraction algébrique : factoriser AVANT de simplifier. On simplifie des facteurs, jamais des termes.

7. Démontrer : utiliser $2n$ pour un nombre pair, $2n+1$ pour un impair, $n$ et $n+1$ pour deux consécutifs.