Le calcul littéral est la boîte à outils de l'algèbre en 3ème. On apprend à transformer des expressions — les développer, les factoriser, les simplifier — pour préparer le chapitre suivant (Équations et inéquations).
1. Rappels : vocabulaire et conventions
1.1 Nature d'une expression
Avant de transformer une expression, il faut savoir ce qu'elle est :
Expression
Nature
Explication
3x+2
Somme
L'opération principale est un +
5(x+4)
Produit
L'opération principale est un ×
x2−9
Différence
L'opération principale est un −
(2x+1)(x−3)
Produit
Deux facteurs multipliés
💡 La nature d'une expression détermine ce qu'on peut en faire :
Un produit → on peut le développer (transformer en somme).
Une somme (ou différence) → on peut la factoriser (transformer en produit).
1.2 Conventions d'écriture
2×x s'écrit 2x (on supprime le signe × devant une lettre).
1×x s'écrit x (pas 1x).
x×x s'écrit x2 (pas xx).
3x×2x=6x2 (on multiplie les coefficients et on additionne les exposants de x).
1.3 Opposé d'une expression
Prendre l'opposé d'une expression, c'est multiplier par −1. On change le signe de chaque terme :
−(5−4x)=−5+4x
−(a+b)=−a−b
⚠️ C'est une source d'erreur très fréquente, surtout quand l'expression contient plusieurs termes.
2. Développer une expression
2.1 Simple distributivité (rappel de 4ème)
k(a+b)=ka+kb
Exemple :3(2x+5)=3×2x+3×5=6x+15
Avec un signe négatif :−2(x−4)=−2×x+(−2)×(−4)=−2x+8
2.2 Double distributivité
En 3ème, on développe des produits de deux parenthèses :
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde.
=ac+ad+bc+bd
Exemple résolu : Développer et réduire (3x+2)(x−5).
=3x23x×x+−15x3x×(−5)+2x2×x+−102×(−5)
=3x2−15x+2x−10
=3x2−13x−10
Autre exemple : Développer (2x−1)(4+3x).
=2x×4+2x×3x+(−1)×4+(−1)×3x
=8x+6x2−4−3x
=6x2+5x−4
3. Les trois identités remarquables
Ce sont des cas particuliers de la double distributivité. Elles permettent de calculer beaucoup plus vite et sont à connaître par cœur, dans les deux sens (développer et factoriser).
C'est la différence de deux carrés. Il n'y a pas de double produit.
Exemple :(3x−7)(3x+7)=(3x)2−72=9x2−49
3.4 Tableau récapitulatif
3.5 Méthode pour utiliser une identité remarquable
Étape 1 → Identifier la forme : est-ce (a+b)2, (a−b)2 ou (a−b)(a+b) ?
Étape 2 → Identifier a et b.
Étape 3 → Appliquer la formule.
Étape 4 → Simplifier si nécessaire.
Exemple : Développer (x+4)2.
Forme : (a+b)2 avec a=x et b=4.
(x+4)2=x2+2×x×4+42=x2+8x+16
Exemple : Développer (3x−5)2.
Forme : (a−b)2 avec a=3x et b=5.
(3x−5)2=(3x)2−2×3x×5+52=9x2−30x+25
4. Factoriser une expression
Factoriser, c'est l'opération inverse du développement : on transforme une somme (ou différence) en produit.
4.1 Factoriser avec un facteur commun
Si tous les termes d'une expression contiennent un même facteur, on le met devant une parenthèse :
ab+ac=a(b+c)
Méthode : on repère le facteur commun (le plus grand possible), puis on le « sort » de chaque terme.
Exemple 1 : Factoriser 6x+15.
Facteur commun : 3 (car 6=3×2 et 15=3×5).
6x+15=3×2x+3×5=3(2x+5)
Exemple 2 : Factoriser 5x2−15x.
Facteur commun : 5x (car 5x2=5x×x et 15x=5x×3).
5x2−15x=5x×x−5x×3=5x(x−3)
Exemple 3 : Factoriser (2x+1)(x−3)+(2x+1)(4x+7).
Facteur commun : (2x+1).
=(2x+1)[(x−3)+(4x+7)]=(2x+1)(5x+4)
4.2 Factoriser avec une identité remarquable
On reconnaît la forme développée d'une identité remarquable pour retrouver la forme factorisée.
Reconnaître a2−b2 (différence de deux carrés)
C'est la plus facile à repérer : deux termes, l'un moins l'autre, les deux sont des carrés.
a2−b2=(a−b)(a+b)
Exemples :
Expression
On identifie
Factorisation
x2−49
a=x, b=7 car 49=72
(x−7)(x+7)
4x2−9
a=2x, b=3 car 4x2=(2x)2
(2x−3)(2x+3)
25−x2
a=5, b=x
(5−x)(5+x)
x2−1
a=x, b=1
(x−1)(x+1)
Reconnaître (a+b)2 ou (a−b)2 (carré parfait)
On cherche trois termes dont le premier et le dernier sont des carrés, et le terme du milieu est ±2ab.
Exemple : Factoriser x2+6x+9.
x2 est le carré de x, et 9 est le carré de 3.
Vérification du double produit : 2×x×3=6x ✅
Donc x2+6x+9=(x+3)2
Exemple : Factoriser 4x2−20x+25.
4x2=(2x)2 et 25=52.
Vérification : 2×2x×5=20x ✅ (et le signe du milieu est −).
Donc 4x2−20x+25=(2x−5)2
4.3 Organigramme : comment factoriser ?
5. Simplifier une fraction algébrique
Une fraction algébrique est une fraction dont le numérateur et/ou le dénominateur contiennent des lettres. Pour la simplifier, on factorise numérateur et dénominateur, puis on simplifie les facteurs communs.
⚠️ Règle fondamentale : on simplifie des facteurs (dans un produit), jamais des termes (dans une somme).
facteurfacteurOKterme+...terme+...INTERDIT !
Exemple résolu 1
Simplifier x+3x2−9.
Étape 1 → On factorise le numérateur : x2−9=x2−32=(x−3)(x+3).
Étape 2 → On simplifie le facteur commun (x+3) :
x+3(x−3)(x+3)=x−3(pour x=−3)
Exemple résolu 2
Simplifier 2(x+1)4x(x+1).
Étape 1 → Numérateur et dénominateur sont déjà factorisés.
Étape 2 → Facteurs communs : 2 et (x+1).
2(x+1)4x(x+1)=24x=2x(pour x=−1)
Exemple résolu 3
Simplifier x2−4x2−4x+4.
Étape 1 → Numérateur : x2−4x+4=(x−2)2 (carré d'une différence avec a=x, b=2).
Étape 2 → Dénominateur : x2−4=(x−2)(x+2) (différence de deux carrés).
(x−2)(x+2)(x−2)2=(x−2)(x+2)(x−2)(x−2)=x+2x−2(pour x=2 et x=−2)
6. Démontrer avec le calcul littéral
Le calcul littéral permet de prouver des propriétés générales sur les nombres, en utilisant des lettres pour représenter n'importe quel nombre.
Nombres pairs et impairs
Un nombre pair s'écrit 2n (où n est un entier).
Un nombre impair s'écrit 2n+1.
Deux entiers consécutifs s'écrivent n et n+1.
Exemple de démonstration
Propriété : La somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de 3.
Démonstration :
Soit n un entier quelconque. Les trois entiers consécutifs sont n, n+1 et n+2.
Leur somme est :
n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)
Or 3(n+1) est un multiple de 3 (il est de la forme 3×k avec k=n+1 entier).
Donc la somme de trois entiers consécutifs est toujours divisible par 3. ∎
📌 À retenir
Développer = transformer un produit en somme. Factoriser = transformer une somme en produit. Ce sont des opérations inverses.
Double distributivité : (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.
Trois identités remarquables (dans les deux sens) :
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a−b)2=a2−2ab+b2
(a−b)(a+b)=a2−b2
⛔ (a+b)2=a2+b2 — ne jamais oublier le double produit 2ab.
Factoriser : d'abord chercher un facteur commun, sinon essayer une identité remarquable.
Fraction algébrique : factoriser AVANT de simplifier. On simplifie des facteurs, jamais des termes.
Démontrer : utiliser 2n pour un nombre pair, 2n+1 pour un impair, n et n+1 pour deux consécutifs.
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