Calcul numérique

Ce chapitre regroupe les trois grands outils du calcul avec les nombres en 3ème : les fractions, les puissances et la racine carrée.

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Partie A — Fractions et nombres rationnels

1. Qu'est-ce qu'un nombre rationnel ?

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme $\dfrac{a}{b}$, où $a$ est un entier relatif et $b$ est un entier relatif non nul ($b \neq 0$).

• $\dfrac{3}{4}$, $\dfrac{-7}{2}$, $\dfrac{5}{1} = 5$ sont des nombres rationnels.
• Le nombre $\sqrt{2}$ n'est pas rationnel : on ne peut pas l'écrire sous forme de fraction d'entiers.

💡 Un même nombre rationnel peut s'écrire de plusieurs façons : $\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{50}{100}$. Parmi toutes ces écritures, on cherche la plus simple : c'est la forme irréductible (voir chapitre 1).

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2. Opérations sur les fractions

2.1 Addition et soustraction

Pour additionner ou soustraire des fractions, il faut d'abord les mettre au même dénominateur (via le PPCM, vu au chapitre 1).

$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \times d + c \times b}{b \times d}$

Exemple résolu : Calculer $\dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{4}$.

• Dénominateur commun : $\text{PPCM}(3, 4) = 12$.
• $\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 4}{3 \times 4} = \dfrac{8}{12}$ et $\dfrac{5}{4} = \dfrac{5 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{15}{12}$
• $\dfrac{8}{12} + \dfrac{15}{12} = \dfrac{23}{12}$
• $\text{PGCD}(23, 12) = 1$ → la fraction est déjà irréductible. ✅

2.2 Multiplication

On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :

$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$

💡 Astuce : on peut simplifier avant de multiplier (simplification croisée) pour éviter les grands nombres.

Exemple résolu : Calculer $\dfrac{6}{35} \times \dfrac{5}{9}$.

• Avant de multiplier, on simplifie : $6$ et $9$ ont un facteur commun $3$, et $5$ et $35$ ont un facteur commun $5$.
• $\dfrac{6}{35} \times \dfrac{5}{9} = \dfrac{\cancel{6}^{\ 2}}{\cancel{35}_{\ 7}} \times \dfrac{\cancel{5}^{\ 1}}{\cancel{9}_{\ 3}} = \dfrac{2}{7} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{21}$

2.3 Division

Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse :

$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$

L'inverse de $\dfrac{c}{d}$ est $\dfrac{d}{c}$ (on retourne la fraction). Attention : $c \neq 0$.

Exemple résolu : Calculer $\dfrac{3}{5} \div \dfrac{2}{7}$.

$\frac{3}{5} \div \frac{2}{7} = \frac{3}{5} \times \frac{7}{2} = \frac{21}{10}$

2.4 Tableau récapitulatif

⚠️ Règle d'or : le résultat final doit toujours être donné sous forme de fraction irréductible.

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3. Résoudre des problèmes avec des fractions

Exemple résolu : Dans une classe de $30$ élèves, $\dfrac{2}{5}$ pratiquent un sport et $\dfrac{1}{3}$ font de la musique. Quelle fraction des élèves fait sport ou musique (sans cumul) ? Combien d'élèves cela représente-t-il ?

Étape 1 → On additionne les deux fractions : $\frac{2}{5} + \frac{1}{3} = \frac{2 \times 3}{5 \times 3} + \frac{1 \times 5}{3 \times 5} = \frac{6}{15} + \frac{5}{15} = \frac{11}{15}$

Étape 2 → Vérification : $\text{PGCD}(11, 15) = 1$ → irréductible. ✅

Étape 3 → En nombre d'élèves : $\dfrac{11}{15} \times 30 = \dfrac{11 \times 30}{15} = \dfrac{330}{15} = 22$ élèves.

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Partie B — Puissances

4. Rappels : puissances d'exposant positif

La puissance $a^n$ (« $a$ exposant $n$ ») est le produit de $a$ multiplié par lui-même $n$ fois :

$a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ facteurs}}$

Cas particuliers : pour tout nombre $a \neq 0$ :

• $a^1 = a$
• $a^0 = 1$

Exemples : $5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125$ et $7^0 = 1$.

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5. Puissances d'exposant négatif

Pour tout nombre $a \neq 0$ et tout entier positif $n$ :

$\boxed{a^{-n} = \frac{1}{a^n}}$

L'exposant négatif donne l'inverse de la puissance. Il ne rend pas le résultat négatif !

Exemples :

• $2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8} = 0{,}125$
• $10^{-2} = \dfrac{1}{10^2} = \dfrac{1}{100} = 0{,}01$

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Puissances de 10 négatives

Les puissances de 10 négatives servent à écrire les très petits nombres :

💡 Astuce : $10^{-n}$ s'écrit avec $n$ zéros après la virgule (dont le dernier est remplacé par un $1$).

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6. Règles de calcul avec les puissances

Ces règles découlent de la définition de la puissance. L'important est de comprendre pourquoi elles fonctionnent, pas juste de les mémoriser.

⚠️ Attention : on additionne les exposants uniquement quand on multiplie des puissances de même base. $2^3 \times 5^3 \neq 10^6$ ! (Bases différentes → on utilise la règle du produit : $(2\times5)^3 = 10^3$.)

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Exemple résolu pas à pas

Simplifier $A = \dfrac{3^5 \times 3^{-2}}{3^4}$.

• Étape 1 → Numérateur : $3^5 \times 3^{-2} = 3^{5+(-2)} = 3^{3}$
• Étape 2 → Quotient : $\dfrac{3^{3}}{3^{4}} = 3^{3-4} = 3^{-1}$
• Étape 3 → Résultat : $A = 3^{-1} = \dfrac{1}{3}$

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7. Notation scientifique

7.1 Définition

La notation scientifique d'un nombre est son écriture sous la forme :

$\boxed{a \times 10^n}$

où $a$ est un nombre décimal tel que $1 \leqslant |a| < 10$ (un seul chiffre non nul avant la virgule) et $n$ est un entier relatif.

7.2 Comment trouver la notation scientifique

384 400 000 = 3,844 × 10⁸ (8 rangs vers la gauche)

0,000 52 = 5,2 × 10⁻⁴ (4 rangs vers la droite)

7.3 Calculer avec la notation scientifique

Pour calculer, on sépare les parties décimales et les puissances de 10, puis on réécrit en notation scientifique.

Exemple résolu : La distance Terre-Soleil est $d = 1{,}496 \times 10^{8}$ km. La lumière parcourt $v = 3 \times 10^{5}$ km/s. Quel est le temps mis par la lumière ?

• Étape 1 → Formule : $t = \dfrac{d}{v}$
• Étape 2 → $t = \dfrac{1{,}496 \times 10^{8}}{3 \times 10^{5}}$
• Étape 3 → On sépare : $t = \dfrac{1{,}496}{3} \times \dfrac{10^{8}}{10^{5}} = 0{,}4987 \times 10^{3}$
• Étape 4 → On réécrit en notation scientifique : $t \approx 4{,}99 \times 10^{2}$ s
• Étape 5 → En minutes : $498{,}7 \div 60 \approx 8$ min $19$ s.

💡 On sépare toujours le calcul sur les décimaux et le calcul sur les puissances de 10.

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Partie C — Racine carrée

8. Définition

La racine carrée d'un nombre positif $a$, notée $\sqrt{a}$, est le nombre positif dont le carré vaut $a$.

$\text{Si } x = \sqrt{a}, \text{ alors } x \geqslant 0 \text{ et } x^2 = a.$

⚠️ La racine carrée n'existe que pour $a \geqslant 0$. On ne peut pas calculer $\sqrt{-4}$ car aucun nombre au carré ne donne un résultat négatif.

⚠️ $\sqrt{a}$ est toujours positif. Par exemple : $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5$ (et non $-5$).

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9. Les carrés parfaits à connaître

Un carré parfait est un nombre dont la racine carrée est un entier.

Ces valeurs doivent être connues par cœur. Elles servent à :

• Calculer des racines exactes : $\sqrt{81} = 9$ car $9^2 = 81$.
• Encadrer une racine : $\sqrt{50}$ est entre $7$ (car $7^2 = 49$) et $8$ (car $8^2 = 64$).
• Simplifier des racines (voir section 11).

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10. Propriété fondamentale

Pour tout nombre positif $a$ :

$(\sqrt{a})^2 = a \qquad \text{et} \qquad \sqrt{a^2} = a \text{ (si } a \geqslant 0\text{)}$

Exemples :

• $(\sqrt{7})^2 = 7$
• $\sqrt{5^2} = \sqrt{25} = 5$
• $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3$ (et non $-3$ !)

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11. Simplifier une racine carrée

Les propriétés suivantes sont des outils utiles pour simplifier des racines carrées :

$\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \qquad \text{et} \qquad \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

⛔ Erreur fréquente : $\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$

Preuve par l'exemple : $\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$ mais $\sqrt{9}+\sqrt{16} = 3+4 = 7$. Ce n'est pas pareil !

Méthode pour simplifier

On cherche le plus grand carré parfait qui divise le nombre sous la racine.

Exemple résolu : Simplifier $\sqrt{72}$.

• Étape 1 → On cherche le plus grand carré parfait qui divise $72$ : $72 = 36 \times 2$ et $36 = 6^2$.
• Étape 2 → $\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

Autres exemples :

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12. Encadrer une racine carrée

Quand $\sqrt{a}$ n'est pas un entier, on peut l'encadrer entre deux entiers consécutifs grâce aux carrés parfaits.

Exemple : Encadrer $\sqrt{50}$.

• $7^2 = 49$ et $8^2 = 64$
• Comme $49 < 50 < 64$, on a $\sqrt{49} < \sqrt{50} < \sqrt{64}$
• Donc $7 < \sqrt{50} < 8$

Pour un encadrement plus précis, on utilise la calculatrice : $\sqrt{50} \approx 7{,}071$.

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13. La racine carrée en géométrie

La racine carrée apparaît naturellement dans deux situations géométriques classiques :

13.1 Côté d'un carré d'aire donnée

Problème : Un carré a une aire de $50 \text{ cm}^2$. Quelle est la longueur de son côté ?

• L'aire d'un carré est $c^2$ où $c$ est le côté. On résout $c^2 = 50$.
• Comme $c > 0$ (c'est une longueur) : $c = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07$ cm.

13.2 Théorème de Pythagore

Problème : Un triangle rectangle a des côtés de l'angle droit mesurant $3$ cm et $5$ cm. Quelle est la longueur de l'hypoténuse ?

• Pythagore : $\text{hypoténuse}^2 = 3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34$
• Donc hypoténuse $= \sqrt{34} \approx 5{,}83$ cm.

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📌 À retenir

Fractions :

1. Nombre rationnel : s'écrit $\dfrac{a}{b}$ avec $a$ entier relatif et $b \neq 0$.
2. Opérations : même dénominateur pour $+/-$, produit en ligne pour $\times$, multiplier par l'inverse pour $\div$.
3. Toujours simplifier le résultat sous forme irréductible (PGCD du chapitre 1).

Puissances :

4. Exposant négatif : $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ — c'est l'inverse, pas un nombre négatif.
5. Règles (à comprendre, pas juste mémoriser) : $a^m \times a^n = a^{m+n}$, $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, $(a^m)^n = a^{m \times n}$.
6. Notation scientifique : $a \times 10^n$ avec $1 \leqslant |a| < 10$. Séparer partie décimale et puissance de 10 pour calculer.

Racine carrée :

7. $\sqrt{a}$ est le nombre positif dont le carré vaut $a$ (existe uniquement si $a \geqslant 0$).
8. Carrés parfaits de $0$ à $144$ à connaître par cœur.
9. Simplifier : chercher le plus grand carré parfait diviseur. Ex : $\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$.
10. ⛔ $\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$.