Calcul vectoriel et produit scalaire

En seconde, tu as appris à additionner des vecteurs et à les multiplier par un nombre. Il manquait une opération : multiplier deux vecteurs entre eux. Le produit scalaire répond à ce besoin. Son résultat n'est pas un vecteur mais un nombre (un « scalaire »), qui mesure à quel point deux vecteurs « vont dans le même sens ».

Cet outil unifie toute la géométrie métrique : il permet de calculer des longueurs, des angles, de démontrer des orthogonalités, et il redonne le théorème de Pythagore comme un simple cas particulier. En physique, c'est lui qui définit le travail d'une force.

1. Définition du produit scalaire

1.1 Avec la projection orthogonale

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls, représentés par $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ et $\vec{v} = \overrightarrow{AC}$. On note $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$. Le produit scalaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$, noté $\vec{u} \cdot \vec{v}$, est le nombre réel

$\boxed{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH} = \begin{cases} AB \times AH & \text{si } \overrightarrow{AB} \text{ et } \overrightarrow{AH} \text{ ont le même sens} \\ -AB \times AH & \text{s'ils sont de sens contraires} \\ 0 & \text{si } H = A \end{cases}}$

Si l'un des vecteurs est nul, le produit scalaire vaut $0$.

1.2 Avec le cosinus

Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont non nuls et si $\theta$ désigne l'angle $\widehat{BAC}$ (compris entre $0$ et $\pi$) :

$\boxed{\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta}$

Cette formule est cohérente avec la précédente : dans le triangle $AHC$ rectangle en $H$, $AH = AC \cos\theta$ quand $\theta$ est aigu, et le cosinus est négatif quand $\theta$ est obtus, ce qui produit le signe « moins ».

Exemples :

• Triangle $ABC$ équilatéral de côté $4$ : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 4 \times 4 \times \cos\dfrac{\pi}{3} = 8$.
• Carré $ABCD$ de côté $3$ : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 0$ (angle droit) et $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AB = 9$, car le projeté de $C$ sur $(AB)$ est $B$.
• $\|\vec{u}\| = 2$, $\|\vec{v}\| = 5$, angle de $120°$ : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times 5 \times \cos 120° = 10 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -5$.

1.3 Le carré scalaire

$\boxed{\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2} \qquad \text{noté aussi } \vec{u}^{\,2}$

En effet $\cos 0 = 1$. En particulier $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} = AB^2$.

2. Propriétés et orthogonalité

2.1 Symétrie et bilinéarité

Pour tous vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ et tout réel $k$ :

Ces règles signifient qu'on développe un produit scalaire comme un produit de nombres. En particulier :

$\boxed{\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2} \qquad \boxed{\|\vec{u} - \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 - 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2}$

et $(\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2$.

Démonstration de la première identité : $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = \vec{u} \cdot \vec{u} + \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{u} + \vec{v} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\|^2 + 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2$.

2.2 Calculer un produit scalaire avec des normes

En isolant $\vec{u} \cdot \vec{v}$ dans l'identité précédente :

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\left(\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right)$

Exemple : si $\|\vec{u}\| = 3$, $\|\vec{v}\| = 4$ et $\|\vec{u} + \vec{v}\| = 6$, alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = \dfrac{1}{2}(36 - 9 - 16) = \dfrac{11}{2} = 5{,}5$.

2.3 Orthogonalité

Deux vecteurs sont orthogonaux si l'un est nul ou si leurs directions sont perpendiculaires. Comme $\cos\dfrac{\pi}{2} = 0$ :

$\boxed{\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0}$

C'est l'outil pour démontrer qu'un angle est droit ou que deux droites sont perpendiculaires.

3. Produit scalaire dans un repère orthonormé

3.1 Expression avec les coordonnées

Dans un repère orthonormé $(O\,;\,\vec{i}\,;\,\vec{j})$, si $\vec{u}(x\,;\,y)$ et $\vec{v}(x'\,;\,y')$ :

$\boxed{\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'} \qquad \boxed{\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}}$

Démonstration. $\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}$ et $\vec{v} = x'\vec{i} + y'\vec{j}$. Par bilinéarité, $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx'\,\vec{i} \cdot \vec{i} + xy'\,\vec{i} \cdot \vec{j} + yx'\,\vec{j} \cdot \vec{i} + yy'\,\vec{j} \cdot \vec{j}$. Comme la base est orthonormée, $\vec{i} \cdot \vec{i} = \vec{j} \cdot \vec{j} = 1$ et $\vec{i} \cdot \vec{j} = 0$ : il reste $xx' + yy'$. La norme s'en déduit avec $\vec{u} \cdot \vec{u} = x^2 + y^2$.

Les coordonnées elles-mêmes sont des produits scalaires : $x = \vec{u} \cdot \vec{i}$ et $y = \vec{u} \cdot \vec{j}$.

3.2 Applications

Orthogonalité : $\vec{u}(3\,;\,-1)$ et $\vec{v}(2\,;\,6)$ : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 6 - 6 = 0$, les vecteurs sont orthogonaux.

Angle : $\vec{u}(1\,;\,2)$ et $\vec{v}(3\,;\,1)$ : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 + 2 = 5$, $\|\vec{u}\| = \sqrt{5}$, $\|\vec{v}\| = \sqrt{10}$, donc

$\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|} = \frac{5}{\sqrt{5}\sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

et $\theta = \dfrac{\pi}{4}$, soit $45°$.

Triangle rectangle : $A(1\,;\,1)$, $B(4\,;\,2)$, $C(0\,;\,4)$ : $\overrightarrow{AB}(3\,;\,1)$, $\overrightarrow{AC}(-1\,;\,3)$, $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = -3 + 3 = 0$ : le triangle est rectangle en $A$.

4. La formule d'Al-Kashi

Dans un triangle $ABC$, avec les notations usuelles $a = BC$, $b = CA$, $c = AB$ :

$\boxed{a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A}}$

et de même $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos\widehat{B}$, $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\widehat{C}$.

Démonstration (exigible). Par la relation de Chasles, $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$. Donc

$a^2 = \|\overrightarrow{BC}\|^2 = \|\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\|^2 = \|\overrightarrow{AC}\|^2 - 2\,\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} + \|\overrightarrow{AB}\|^2 = b^2 + c^2 - 2\,bc\cos\widehat{A}$

en utilisant $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} = AC \times AB \times \cos\widehat{A}$.

Si $\widehat{A}$ est droit, $\cos\widehat{A} = 0$ et l'on retrouve le théorème de Pythagore : Al-Kashi en est la généralisation à tous les triangles.

Exemple (calculer une longueur) : $AB = 7$, $AC = 5$, $\widehat{A} = 60°$. Alors $BC^2 = 25 + 49 - 2 \times 5 \times 7 \times \dfrac{1}{2} = 74 - 35 = 39$, donc $BC = \sqrt{39} \approx 6{,}24$.

Exemple (calculer un angle) : $a = 7$, $b = 5$, $c = 6$. Alors $\cos\widehat{A} = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \dfrac{25 + 36 - 49}{60} = \dfrac{12}{60} = 0{,}2$, donc $\widehat{A} \approx 78{,}5°$.

5. Transformation de $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}$

Soient $A$ et $B$ deux points distincts et $I$ le milieu de $[AB]$. Pour tout point $M$ :

$\boxed{\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 - IA^2 = MI^2 - \frac{AB^2}{4}}$

Démonstration. $\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}$ et $\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{MI} - \overrightarrow{IA}$ (car $I$ est le milieu). Donc $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}) \cdot (\overrightarrow{MI} - \overrightarrow{IA}) = MI^2 - IA^2$.

Le cercle de diamètre $[AB]$ (démonstration exigible)

$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0 \iff MI^2 = IA^2 \iff MI = IA$

L'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ est donc le cercle de centre $I$ et de rayon $IA = \dfrac{AB}{2}$, c'est-à-dire le cercle de diamètre $[AB]$. On retrouve le résultat du collège : le triangle $AMB$ est rectangle en $M$ si et seulement si $M$ est sur le cercle de diamètre $[AB]$ (avec $M \neq A$, $M \neq B$).

Exemple : dans un repère orthonormé, $A(-2\,;\,0)$ et $B(4\,;\,0)$. Pour $M(x\,;\,y)$ : $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = (-2 - x)(4 - x) + (0 - y)(0 - y) = x^2 - 2x - 8 + y^2$. La condition $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ s'écrit $(x - 1)^2 + y^2 = 9$ : cercle de centre $I(1\,;\,0)$, milieu de $[AB]$, et de rayon $3 = \dfrac{AB}{2}$.

6. Choisir la bonne méthode de calcul

Et dans l'autre sens : pour calculer une longueur, Al-Kashi ou $\|\vec{u}\|^2 = \vec{u} \cdot \vec{u}$ ; pour calculer un angle, $\cos\theta = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}$ ; pour démontrer une orthogonalité, montrer que le produit scalaire est nul.

7. Exemple résolu pas à pas

Énoncé. Dans un triangle $ABC$, $AB = 6$, $AC = 4$ et $\widehat{A} = 60°$.

1. Calculer $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$.
2. Calculer la longueur $BC$.
3. Déterminer une valeur approchée de l'angle $\widehat{B}$ au dixième de degré.

Résolution.

1. On connaît deux longueurs et l'angle : formule du cosinus. $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 6 \times 4 \times \cos 60° = 24 \times \dfrac{1}{2} = 12$.

2. Al-Kashi : $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos\widehat{A} = 36 + 16 - 2 \times 12 = 28$. Donc $BC = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \approx 5{,}29$.

3. Al-Kashi appliqué à l'angle $\widehat{B}$, opposé au côté $AC$ : $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \times AB \times BC \times \cos\widehat{B}$, soit $16 = 36 + 28 - 2 \times 6 \times 2\sqrt{7}\cos\widehat{B}$, d'où

$\cos\widehat{B} = \frac{36 + 28 - 16}{24\sqrt{7}} = \frac{48}{24\sqrt{7}} = \frac{2}{\sqrt{7}} \approx 0{,}756 \qquad \text{et} \qquad \widehat{B} \approx 40{,}9°.$

Contrôle : $\widehat{C} \approx 180° - 60° - 40{,}9° = 79{,}1°$, et le plus grand angle est bien opposé au plus grand côté $AB = 6$.

📌 À retenir

1. Définitions : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \pm AB \times AH$ (projeté orthogonal $H$) $= AB \times AC \times \cos\widehat{A}$ ; $\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2$.
2. Orthogonalité : $\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.
3. Bilinéarité : on développe comme un produit ; $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2$.
4. Repère orthonormé : $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$, $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$, $\cos\theta = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}$.
5. Al-Kashi : $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A}$ (Pythagore généralisé) ; démonstration avec $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$.
6. $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 - IA^2$ ; $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0 \iff M$ est sur le cercle de diamètre $[AB]$.