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Calcul vectoriel et produit scalaire

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Fiche de révision

📝 Fiche de révision — Calcul vectoriel et produit scalaire

📖 Définitions clés

TermeDéfinition
Produit scalaire u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}Un nombre réel associé à deux vecteurs : AB→⋅AC→=±AB×AH\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \pm AB \times AH où HH est le projeté orthogonal de CC sur (AB)(AB) ; ou ∥u⃗∥ ∥v⃗∥cos⁡θ\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta
Carré scalaireu⃗⋅u⃗=∥u⃗∥2\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2
Vecteurs orthogonauxu⃗⊥v⃗  ⟺  u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 (le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur)
Base orthonorméei⃗⋅i⃗=j⃗⋅j⃗=1\vec{i} \cdot \vec{i} = \vec{j} \cdot \vec{j} = 1 et i⃗⋅j⃗=0\vec{i} \cdot \vec{j} = 0

📐 Formules essentielles

FormuleUsage
AB→⋅AC→=AB×AH\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AH (ou −AB×AH-AB \times AH)Projection orthogonale : figure avec angle droit
u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥ ∥v⃗∥cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\thetaDeux longueurs et un angle
u⃗⋅v⃗=xx′+yy′\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy', ∥u⃗∥=x2+y2\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}Repère orthonormé
u⃗⋅v⃗=12(∥u⃗+v⃗∥2−∥u⃗∥2−∥v⃗∥2)\vec{u} \cdot \vec{v} = \dfrac{1}{2}\left(\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right)Avec des normes seulement
∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+2 u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2Développement (idem avec −-)
cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥ ∥v⃗∥\cos\theta = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}Calculer un angle
a2=b2+c2−2bccos⁡A^a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A}Al-Kashi : longueur ou angle dans un triangle quelconque
MA→⋅MB→=MI2−IA2\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 - IA^2 (II milieu de [AB][AB])Transformation ; =0  ⟺  M= 0 \iff M sur le cercle de diamètre [AB][AB]

Propriétés : symétrie u⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u} ; bilinéarité u⃗⋅(v⃗+w⃗)=u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w} et (ku⃗)⋅v⃗=k (u⃗⋅v⃗)(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k\,(\vec{u} \cdot \vec{v}) : on développe comme un produit de nombres.

✅ Méthodes

Choisir la méthode de calcul :

DonnéesMéthode
Figure avec projeté orthogonal (carré, rectangle, triangle rectangle)projection : ±AB×AH\pm AB \times AH
Longueurs et anglecosinus
Coordonnéesxx′+yy′xx' + yy'
Normes de u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v}, u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}formule des normes

Démontrer une orthogonalité : calculer le produit scalaire (souvent avec les coordonnées ou par bilinéarité) et montrer qu'il vaut 00.

Calculer une longueur dans un triangle : Al-Kashi avec l'angle opposé au côté cherché.

Calculer un angle : cos⁡A^=b2+c2−a22bc\cos\widehat{A} = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} (Al-Kashi inversé) ou cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥ ∥v⃗∥\cos\theta = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}, puis la calculatrice.

Démonstrations à savoir :

  • Al-Kashi : BC→=AC→−AB→\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}, puis développer ∥AC→−AB→∥2\|\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\|^2.
  • Cercle de diamètre [AB][AB] : MA→⋅MB→=(MI→+IA→)⋅(MI→−IA→)=MI2−IA2\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}) \cdot (\overrightarrow{MI} - \overrightarrow{IA}) = MI^2 - IA^2, nul si et seulement si MI=IAMI = IA.

⚠️ Pièges à éviter

PiègeCorrection
Croire que u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v} est un vecteurC'est un nombre
Oublier le signe dans la projectionSigne −- si AH→\overrightarrow{AH} et AB→\overrightarrow{AB} sont de sens contraires (angle obtus)
Utiliser xx′+yy′xx' + yy' dans un repère non orthonorméLa formule exige un repère orthonormé
Al-Kashi avec le mauvais angleL'angle est celui opposé au côté isolé : a2=…−2bccos⁡A^a^2 = \ldots - 2bc\cos\widehat{A}
∥u⃗+v⃗∥=∥u⃗∥+∥v⃗∥\|\vec{u} + \vec{v}\| = \|\vec{u}\| + \|\vec{v}\|Faux en général : passer par le carré et le double produit
Confondre AB→⋅BC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} et BA→⋅BC→\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}Changer un vecteur en son opposé change le signe : AB→⋅BC→=−BA→⋅BC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}

📌 À retenir

  1. Produit scalaire = nombre ; trois formules (projection, cosinus, coordonnées) et une quatrième avec les normes.
  2. Orthogonal   ⟺  \iff produit scalaire nul.
  3. On développe par bilinéarité : ∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+2 u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2.
  4. Al-Kashi généralise Pythagore : a2=b2+c2−2bccos⁡A^a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A}.
  5. MA→⋅MB→=0  ⟺  M\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0 \iff M sur le cercle de diamètre [AB][AB].

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