Étude de configurations planes 📐

1. Distances et milieu

La distance entre deux points $A$ et $B$ est la longueur du segment $[AB]$, notée $AB$. C'est le plus court chemin entre $A$ et $B$.

Le milieu d'un segment $[AB]$ est le point $M$ tel que $MA = MB = \frac{AB}{2}$.

2. Cercles et disques

Le cercle de centre $O$ et de rayon $r$ est l'ensemble des points situés à la distance $r$ de $O$.

Le disque est l'ensemble des points situés à une distance inférieure ou égale à $r$ de $O$ (c'est l'intérieur du cercle, bord compris).

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🔵 Schéma du cercle de centre $O$ et de rayon $r$ :

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3. Médiatrice d'un segment

La médiatrice du segment $[AB]$ est la droite perpendiculaire à $[AB]$ passant par son milieu.

Propriété caractéristique : Un point $M$ appartient à la médiatrice de $[AB]$ si et seulement si $MA = MB$ (il est à égale distance de $A$ et de $B$).

4. Angles : vocabulaire et mesure

Un angle est une portion de plan délimitée par deux demi-droites de même origine, appelée sommet. On le note $\widehat{AOB}$ et on le mesure en degrés (°) avec un rapporteur 📐.

Angles particuliers entre eux

• Adjacents : même sommet, un côté commun, et situés de part et d'autre de ce côté commun.
• Supplémentaires : deux angles dont la somme des mesures vaut $180°$.
• Opposés par le sommet : même sommet, les côtés de l'un sont les prolongements des côtés de l'autre. Ils ont la même mesure.

5. Bissectrice d'un angle saillant

La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles égaux.

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📐 Angle $\widehat{AOB} = 70°$ et sa bissectrice $[OI)$ :

$A \nearrow \quad \widehat{AOI} = 35° \quad \rightarrow [OI) \text{ (bissectrice)}$ $O \qquad \qquad \qquad \widehat{IOB} = 35°$ $B \searrow$

Chaque moitié mesure $\frac{70°}{2} = 35°$

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6. Triangles 🔺

Construction et somme des angles

Dans tout triangle, la somme des trois angles vaut $180°$.

$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°$

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Triangles particuliers — propriétés angulaires

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Médiatrices et cercle circonscrit

Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes (elles se coupent en un même point), appelé le centre du cercle circonscrit.

Ce cercle passe par les trois sommets du triangle.

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🔺 Triangle $ABC$ et cercle circonscrit :

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7. Symétrie axiale 🪞

Le symétrique d'un point $M$ par rapport à une droite $(d)$ est le point $M'$ tel que $(d)$ est la médiatrice du segment $[MM']$.

Cela signifie :

• $(d)$ est perpendiculaire à $[MM']$
• $(d)$ passe par le milieu de $[MM']$

Propriétés de la symétrie axiale

• Elle conserve les distances (longueurs)
• Elle conserve les angles
• Elle conserve les aires
• Le symétrique d'un segment est un segment de même longueur
• Le symétrique d'un cercle est un cercle de même rayon

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Construction du symétrique d'un point

Étape 1 → Tracer la perpendiculaire à $(d)$ passant par $M$ Étape 2 → Mesurer la distance de $M$ à $(d)$ (appeler ce pied $H$) Étape 3 → Reporter cette même distance de l'autre côté : $MH = HM'$

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📌 À retenir

1. Distance et milieu : le milieu $M$ de $[AB]$ vérifie $MA = MB = \frac{AB}{2}$
2. Cercle : ensemble des points à distance $r$ du centre ; diamètre $= 2r$
3. Médiatrice de $[AB]$ : droite ⊥ à $[AB]$ en son milieu ; tout point dessus vérifie $MA = MB$
4. Somme des angles d'un triangle : $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°$ ; les 3 médiatrices se coupent au centre du cercle circonscrit
5. Symétrie axiale : $(d)$ est la médiatrice de $[MM']$ ; elle conserve distances, angles et aires