Cosinus d'un angle aigu

Une échelle de $4$ m est posée contre un mur. Pour qu'elle soit stable, elle doit faire avec le sol un angle d'environ $75°$. À quelle distance du mur faut-il poser son pied ?

Le théorème de Pythagore ne peut pas répondre : on ne connaît qu'une seule longueur. Il faut un outil qui relie les longueurs et les angles d'un triangle rectangle : c'est le cosinus.

1. Le vocabulaire : hypoténuse et côté adjacent

Dans un triangle rectangle, on choisit l'un des deux angles aigus. Par rapport à cet angle, deux côtés ont un nom :

• l'hypoténuse : le côté en face de l'angle droit, le plus long ;
• le côté adjacent : le côté qui touche l'angle et qui n'est pas l'hypoténuse.

⚠️ Le côté adjacent dépend de l'angle choisi. Pour l'angle $\widehat{B}$, c'est $[AB]$ ; pour l'angle $\widehat{C}$, c'est $[AC]$. L'hypoténuse, elle, ne change pas.

2. Le cosinus d'un angle aigu

2.1 Une découverte : le quotient ne dépend que de l'angle

Dessine plusieurs triangles rectangles, petits ou grands, ayant tous un angle de $60°$. Dans chacun, divise le côté adjacent par l'hypoténuse : tu trouves toujours $0{,}5$.

Ce quotient ne dépend pas de la taille du triangle, seulement de l'angle.

2.2 Définition

Deux propriétés.

• Le cosinus n'a pas d'unité : c'est un quotient de deux longueurs.
• Le cosinus d'un angle aigu est compris entre $0$ et $1$, car le côté adjacent est plus court que l'hypoténuse.

💡 Si tu trouves un cosinus plus grand que $1$, tu as inversé la fraction.

2.3 À la calculatrice

Vérifie d'abord que ta calculatrice est en mode degré (un petit D ou DEG à l'écran).

3. Calculer une longueur

3.1 Le côté adjacent

Exemple résolu. $ABC$ est rectangle en $A$, $BC = 8$ cm et $\widehat{B} = 35°$. Calculer $AB$, arrondi au dixième.

Étape 1 : j'écris la définition. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ :

$\cos \widehat{B} = \dfrac{AB}{BC}$

Étape 2 : je remplace.

$\cos 35° = \dfrac{AB}{8}$

Étape 3 : j'isole la longueur cherchée. $AB$ est divisé par $8$ : on multiplie les deux côtés par $8$.

$AB = 8 \times \cos 35°$

Étape 4 : je calcule à la fin.

$\boxed{AB \approx 6{,}6 \text{ cm}}$

3.2 L'hypoténuse

Exemple résolu. $DEF$ est rectangle en $D$, $DE = 5$ cm et $\widehat{E} = 40°$. Calculer $EF$, arrondi au dixième.

Étape 1.

$\cos \widehat{E} = \dfrac{DE}{EF} \quad \text{donc} \quad \cos 40° = \dfrac{5}{EF}$

Étape 2. Cette fois l'inconnue est au dénominateur : on échange sa place avec le cosinus.

$EF = \dfrac{5}{\cos 40°}$

Étape 3.

$\boxed{EF \approx 6{,}5 \text{ cm}}$

💡 Contrôle ton résultat : l'hypoténuse doit être le plus grand côté. Ici $6{,}5 > 5$ : c'est cohérent.

4. Calculer un angle

Exemple résolu. $ABC$ est rectangle en $A$, $AB = 4$ cm et $BC = 7$ cm. Calculer $\widehat{B}$, arrondi au degré.

Étape 1.

$\cos \widehat{B} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{4}{7}$

Étape 2. On utilise la touche $\cos^{-1}$, en gardant la fraction exacte.

$\widehat{B} = \cos^{-1}\left(\dfrac{4}{7}\right)$

$\boxed{\widehat{B} \approx 55°}$

💡 Le troisième angle s'en déduit : dans un triangle rectangle, les deux angles aigus ont pour somme $90°$. Ici $\widehat{C} \approx 90° - 55° = 35°$.

5. Pythagore ou cosinus ?

Le cosinus ne relie que trois choses : un angle, son côté adjacent et l'hypoténuse. Si le côté qui t'intéresse n'est ni l'un ni l'autre, calcule d'abord avec le cosinus, puis termine avec Pythagore.

6. Résoudre un problème : l'échelle

On reprend l'échelle de $4$ m, inclinée à $75°$ par rapport au sol.

Étape 1 : je modélise. Le mur est vertical et le sol horizontal : le triangle formé par le mur, le sol et l'échelle est rectangle. L'échelle est l'hypoténuse ; la distance $d$ entre le pied et le mur est le côté adjacent à l'angle de $75°$.

Étape 2 : j'applique le cosinus.

$\cos 75° = \dfrac{d}{4} \quad \text{donc} \quad d = 4 \times \cos 75°$

Étape 3 : je conclus. $d \approx 1{,}04$ m : il faut poser le pied de l'échelle à environ $1$ m du mur.

7. Les erreurs les plus fréquentes

8. Vérifie que tu as compris

Compare tes résultats avec les réponses à la fin du cours.

1. $RST$ est rectangle en $R$. Quel est le côté adjacent à l'angle $\widehat{S}$ ? Et à l'angle $\widehat{T}$ ?
2. $ABC$ est rectangle en $A$, $BC = 10$ cm et $\widehat{B} = 60°$. Calculer $AB$.
3. $MNP$ est rectangle en $M$, $MN = 6$ cm et $\widehat{N} = 25°$. Calculer $NP$, arrondi au dixième.
4. $EFG$ est rectangle en $E$, $EF = 3$ cm et $FG = 5$ cm. Calculer $\widehat{F}$, arrondi au degré.
5. Un élève trouve $\cos \widehat{A} = 1{,}4$. Que peut-on lui dire ?

📌 À retenir

1. $\cos(\text{angle}) = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$, dans un triangle rectangle uniquement.

2. Le côté adjacent touche l'angle ; il change quand on change d'angle.

3. Un cosinus d'angle aigu est entre $0$ et $1$, sans unité.

4. Côté adjacent : on multiplie l'hypoténuse par le cosinus. Hypoténuse : on divise le côté adjacent par le cosinus.

5. Pour un angle : touche $\cos^{-1}$, calculatrice en degrés.

6. Deux longueurs connues : Pythagore. Une longueur et un angle : cosinus.

Réponses du « Vérifie que tu as compris »

1. Pour $\widehat{S}$ : $[RS]$. Pour $\widehat{T}$ : $[RT]$. L'hypoténuse est $[ST]$.
2. $AB = 10 \times \cos 60° = 5$ cm.
3. $NP = \dfrac{6}{\cos 25°} \approx 6{,}6$ cm.
4. $\cos \widehat{F} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6$, donc $\widehat{F} \approx 53°$.
5. C'est impossible : un cosinus d'angle aigu est inférieur à $1$. Il a sans doute inversé la fraction.