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🔢 Mathématiques4èmeFiche de révision

Cosinus d'un angle aigu

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Fiche de révision

⚡ Fiche de révision — Cosinus d'un angle aigu

📖 Définitions clés

TermeDéfinition
HypoténuseCôté opposé à l'angle droit, le plus long
Côté adjacent à un angle aiguCôté de l'angle droit qui touche cet angle
Cosinus d'un angle aigucos⁡(angle)=coˆteˊ adjacenthypoteˊnuse\cos(\text{angle}) = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} (CAH)

Dans ABCABC rectangle en AA : cos⁡ABC^=ABBC\cos \widehat{ABC} = \dfrac{AB}{BC} et cos⁡ACB^=ACBC\cos \widehat{ACB} = \dfrac{AC}{BC}.

📐 Propriétés

PropriétéDétail
Encadrement0<cos⁡(angle aigu)<10 < \cos(\text{angle aigu}) < 1
Sans unitéQuotient de deux longueurs
Ne dépend que de l'angleTous les triangles rectangles avec un angle de 40°40° ont le même cosinus
Repèrescos⁡0°=1\cos 0° = 1, cos⁡60°=0,5\cos 60° = 0{,}5, cos⁡90°=0\cos 90° = 0 ; plus l'angle grandit, plus le cosinus diminue

Calculatrice : mode DEG · touche cos (angle → cosinus) · touche cos⁻¹ (cosinus → angle).

✅ Méthodes

Calculer une longueur (un angle connu) :

  1. Nommer hypoténuse et côté adjacent pour l'angle connu
  2. Écrire cos⁡(angle)=adjacenthypoteˊnuse\cos(\text{angle}) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} et remplacer
  3. Isoler : adjacent == hyp ×cos⁡\times \cos ; hyp =adjacentcos⁡= \dfrac{\text{adjacent}}{\cos}
  4. Calculer, arrondir à la fin

Ex : cos⁡35°=DE9⇒DE=9cos⁡35°≈7,4\cos 35° = \dfrac{DE}{9} \Rightarrow DE = 9 \cos 35° \approx 7{,}4 cm

Calculer un angle (deux longueurs connues) :

  1. cos⁡(angle)=adjacenthypoteˊnuse\cos(\text{angle}) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} (garder la fraction)
  2. Touche cos⁻¹
  3. Arrondir au degré demandé

Ex : cos⁡M^=610⇒M^=cos⁡−1(0,6)≈53°\cos \widehat{M} = \dfrac{6}{10} \Rightarrow \widehat{M} = \cos^{-1}(0{,}6) \approx 53°

Pythagore ou cosinus ? Pas d'angle en jeu → Pythagore. Un angle donné ou cherché → cosinus.

⚠️ Pièges à éviter

❌ Erreur fréquente✅ Correction
cos⁡=hypoteˊnuseadjacent\cos = \dfrac{\text{hypoténuse}}{\text{adjacent}} (résultat >1> 1)Adjacent sur hypoténuse : toujours <1< 1
Prendre le côté opposé pour l'adjacentL'adjacent touche l'angle et n'est pas l'hypoténuse
Calculatrice en RADVérifier DEG avant tout calcul
Hypoténuse cherchée : 5×cos⁡52°5 \times \cos 52°On divise : 5cos⁡52°\dfrac{5}{\cos 52°}
Arrondir 57≈0,71\dfrac{5}{7} \approx 0{,}71 avant cos⁻¹Taper cos⁻¹(5÷7) directement

📌 À retenir

  1. CAH : cosinus == côté adjacent ÷\div hypoténuse.
  2. Le côté adjacent dépend de l'angle ; l'hypoténuse non.
  3. Longueur : multiplier ou diviser par le cosinus selon la place de l'inconnue.
  4. Angle : quotient puis cos⁻¹, en degrés.
  5. Le cosinus d'un angle aigu est toujours entre 00 et 11.

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