Dérivation globale : fonction dérivée et variations

Au chapitre précédent, le nombre dérivé $f'(a)$ décrivait une fonction en un point. Si l'on peut le calculer en tout point d'un intervalle, on obtient une nouvelle fonction, la fonction dérivée $f'$. Et cette fonction est un outil extraordinaire : son signe donne le sens de variation de $f$, ses zéros localisent les extremums. C'est la méthode reine pour étudier une fonction, résoudre un problème d'optimisation ou démontrer une inégalité.

Le chapitre se déroule en deux temps : d'abord calculer des dérivées (formules et règles), puis les utiliser.

1. Fonction dérivée et dérivées des fonctions usuelles

1.1 Définition

Une fonction $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ si elle est dérivable en tout réel $a$ de $I$. La fonction qui à tout $x$ de $I$ associe le nombre dérivé $f'(x)$ est la fonction dérivée de $f$, notée $f'$.

Exemple : au chapitre précédent, on a montré que pour $f(x) = x^2$, le nombre dérivé en tout réel $a$ vaut $2a$. Donc la fonction carré est dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée est $f'(x) = 2x$.

1.2 Dérivées des fonctions usuelles

Deux remarques importantes :

• La formule $(x^n)' = n x^{n-1}$ contient les cas $x^2$, $x^3$ et aussi $\dfrac{1}{x} = x^{-1}$, de dérivée $-x^{-2} = -\dfrac{1}{x^2}$, ou $\dfrac{1}{x^2} = x^{-2}$, de dérivée $-2x^{-3} = -\dfrac{2}{x^3}$.
• La racine carrée est définie en $0$ mais pas dérivable en $0$ (démontré au chapitre précédent) : sa dérivée n'existe que sur $]0\,;\,+\infty[$.

1.3 Démonstration pour la fonction carré (exigible)

Pour tout réel $a$ et tout $h \neq 0$ : $\dfrac{(a + h)^2 - a^2}{h} = \dfrac{2ah + h^2}{h} = 2a + h$, qui tend vers $2a$ quand $h \to 0$. Donc $f'(a) = 2a$ pour tout $a$, soit $f'(x) = 2x$.

1.4 Démonstration pour la fonction inverse (exigible)

Pour tout réel $a \neq 0$ et tout $h \neq 0$ tel que $a + h \neq 0$ :

$\frac{\dfrac{1}{a + h} - \dfrac{1}{a}}{h} = \frac{\dfrac{a - (a + h)}{a(a + h)}}{h} = \frac{-h}{h\,a(a + h)} = \frac{-1}{a(a + h)}$

Quand $h \to 0$, cette expression tend vers $-\dfrac{1}{a^2}$. Donc la fonction inverse est dérivable sur $\mathbb{R}^*$ et $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$.

2. Opérations sur les fonctions dérivables

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$, et $k$ un réel.

⚠️ La dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées. $(uv)' \neq u'v'$. De même pour le quotient. Ce sont les erreurs les plus fréquentes du chapitre.

2.1 Démonstration de la dérivée d'un produit (exigible)

Soit $a \in I$ et $h \neq 0$. L'astuce consiste à ajouter et retrancher $u(a)\,v(a + h)$ au numérateur :

$u(a+h)v(a+h) - u(a)v(a) = \big[u(a+h) - u(a)\big]\,v(a+h) + u(a)\,\big[v(a+h) - v(a)\big]$

En divisant par $h$ :

$\frac{u(a+h)v(a+h) - u(a)v(a)}{h} = \underbrace{\frac{u(a+h) - u(a)}{h}}_{\to\ u'(a)} \times \underbrace{v(a+h)}_{\to\ v(a)} + u(a) \times \underbrace{\frac{v(a+h) - v(a)}{h}}_{\to\ v'(a)}$

Quand $h \to 0$, le premier taux tend vers $u'(a)$, le second vers $v'(a)$, et $v(a + h)$ tend vers $v(a)$ (on admet qu'une fonction dérivable en $a$ varie très peu près de $a$). Le tout tend vers $u'(a)v(a) + u(a)v'(a)$.

2.2 Exemples de calculs

Somme et multiple : $f(x) = 3x^2 - 5x + 2$ donne $f'(x) = 3 \times 2x - 5 \times 1 + 0 = 6x - 5$.

Puissances et racine : $g(x) = x^4 + 2\sqrt{x}$ donne, sur $]0\,;\,+\infty[$, $g'(x) = 4x^3 + \dfrac{2}{2\sqrt{x}} = 4x^3 + \dfrac{1}{\sqrt{x}}$.

Produit : $p(x) = (2x + 1)(x^2 - 3)$. On pose $u = 2x + 1$, $u' = 2$, $v = x^2 - 3$, $v' = 2x$ :

$p'(x) = 2(x^2 - 3) + (2x + 1)(2x) = 2x^2 - 6 + 4x^2 + 2x = 6x^2 + 2x - 6$

Vérification possible en développant d'abord : $p(x) = 2x^3 + x^2 - 6x - 3$, donc $p'(x) = 6x^2 + 2x - 6$.

Inverse : $q(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$. Avec $v = x^2 + 1$, $v' = 2x$ : $q'(x) = -\dfrac{2x}{(x^2 + 1)^2}$.

Quotient : $r(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$ sur $]3\,;\,+\infty[$. Avec $u = 2x + 1$, $u' = 2$, $v = x - 3$, $v' = 1$ :

$r'(x) = \frac{2(x - 3) - (2x + 1) \times 1}{(x - 3)^2} = \frac{2x - 6 - 2x - 1}{(x - 3)^2} = \frac{-7}{(x - 3)^2}$

🎯 Méthode pour un produit ou un quotient : écrire explicitement $u$, $u'$, $v$, $v'$ avant d'appliquer la formule, puis développer et réduire le numérateur. Ne pas développer le dénominateur d'un quotient : la forme $(x - 3)^2$ sert à lire le signe.

3. Deux compléments sur les fonctions

3.1 La valeur absolue n'est pas dérivable en $0$

Soit $f(x) = |x|$. Pour $h > 0$, $\dfrac{|h| - |0|}{h} = \dfrac{h}{h} = 1$ ; pour $h < 0$, $\dfrac{|h|}{h} = \dfrac{-h}{h} = -1$. Le taux de variation vaut $1$ à droite de $0$ et $-1$ à gauche : il ne tend vers aucune valeur unique. La valeur absolue n'est pas dérivable en $0$.

Graphiquement, la courbe présente un point anguleux en $O$ : deux demi-tangentes de pentes $1$ et $-1$, mais pas de tangente. En revanche, $|x|$ est dérivable sur $]0\,;\,+\infty[$ (dérivée $1$) et sur $]-\infty\,;\,0[$ (dérivée $-1$).

3.2 Fonctions paires, fonctions impaires

Soit $f$ définie sur un ensemble $D$ symétrique par rapport à $0$.

• $f$ est paire si, pour tout $x \in D$, $f(-x) = f(x)$. Sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Exemples : $x^2$, $x^4$, $|x|$.
• $f$ est impaire si, pour tout $x \in D$, $f(-x) = -f(x)$. Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine $O$. Exemples : $x$, $x^3$, $\dfrac{1}{x}$.

Exemple : $f(x) = x^3 - 3x$ est impaire car $f(-x) = (-x)^3 - 3(-x) = -x^3 + 3x = -f(x)$. Il suffit donc de l'étudier sur $[0\,;\,+\infty[$ et de compléter par symétrie.

4. Signe de la dérivée et sens de variation

4.1 Le théorème fondamental

Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$.

• Si $f'(x) \geqslant 0$ pour tout $x \in I$, alors $f$ est croissante sur $I$.
• Si $f'(x) \leqslant 0$ pour tout $x \in I$, alors $f$ est décroissante sur $I$.
• $f$ est constante sur $I$ si et seulement si $f'(x) = 0$ pour tout $x \in I$.

Si de plus $f'$ ne s'annule qu'en un nombre fini de points, les variations sont strictes. Ce théorème est admis en première ; il traduit l'idée que là où les tangentes montent, la courbe monte.

4.2 Étudier les variations d'une fonction : la méthode

1. Calculer $f'(x)$.
2. Étudier le signe de $f'(x)$ : factoriser, faire un tableau de signes.
3. En déduire le tableau de variations de $f$, en calculant les valeurs de $f$ aux points où $f'$ s'annule.

Exemple : $f(x) = x^3 - 3x$ sur $\mathbb{R}$.

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1)$. Ce trinôme ($a = 3 > 0$) est positif à l'extérieur de ses racines $-1$ et $1$, négatif entre. Avec $f(-1) = -1 + 3 = 2$ et $f(1) = 1 - 3 = -2$ :

5. Extremums

5.1 Extremum local et tangente horizontale

Soit $f$ dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et $a \in I$.

• Si $f$ admet un extremum local en $a$ (un maximum ou un minimum sur un petit intervalle autour de $a$), alors $f'(a) = 0$ : la tangente en $a$ est horizontale.
• Réciproquement, si $f'$ s'annule en changeant de signe en $a$, alors $f$ admet un extremum local en $a$ : un maximum si $f'$ passe du positif au négatif, un minimum si elle passe du négatif au positif.

⚠️ $f'(a) = 0$ ne suffit pas. Pour $f(x) = x^3$, $f'(x) = 3x^2$ s'annule en $0$ sans changer de signe : la fonction est croissante sur $\mathbb{R}$, il n'y a pas d'extremum en $0$, seulement une tangente horizontale qui traverse la courbe.

Exemple : pour $f(x) = x^3 - 3x$, le tableau ci-dessus montre un maximum local $2$ en $x = -1$ et un minimum local $-2$ en $x = 1$. Ce ne sont pas des extremums sur $\mathbb{R}$ tout entier, puisque $f$ prend des valeurs plus grandes que $2$ et plus petites que $-2$ ailleurs.

5.2 Retour sur le second degré

Pour $f(x) = ax^2 + bx + c$, on a $f'(x) = 2ax + b$, qui s'annule en $x = -\dfrac{b}{2a}$ : on retrouve l'abscisse $\alpha$ du sommet. Si $a > 0$, $f'$ est négative puis positive, la fonction décroît puis croît : minimum en $\alpha$. Si $a < 0$, c'est un maximum. La dérivation redémontre ainsi les résultats du chapitre sur le second degré.

6. Applications

6.1 Démontrer une inégalité

Montrer que pour tout $x > 0$, $x + \dfrac{4}{x} \geqslant 4$.

Soit $g(x) = x + \dfrac{4}{x}$ sur $]0\,;\,+\infty[$. Alors $g'(x) = 1 - \dfrac{4}{x^2} = \dfrac{x^2 - 4}{x^2} = \dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x^2}$.

Sur $]0\,;\,+\infty[$, $x + 2 > 0$ et $x^2 > 0$ : $g'(x)$ est du signe de $x - 2$, négatif sur $]0\,;\,2[$ et positif sur $]2\,;\,+\infty[$. Donc $g$ décroît puis croît et admet un minimum en $2$, qui vaut $g(2) = 2 + 2 = 4$. Ainsi $g(x) \geqslant 4$ pour tout $x > 0$.

6.2 Position relative de deux courbes

Pour comparer $f$ et $g$, on étudie le signe de la différence $d(x) = f(x) - g(x)$, éventuellement grâce à ses variations.

Exemple : position de la courbe de $f(x) = x^3$ par rapport à sa tangente en $1$, d'équation $y = 3x - 2$ (car $f'(1) = 3$ et $f(1) = 1$).

$d(x) = x^3 - 3x + 2$. On remarque que $d(1) = 0$ ; en factorisant, $d(x) = (x - 1)^2(x + 2)$ (on vérifie en développant). Comme $(x - 1)^2 \geqslant 0$, $d(x)$ est du signe de $x + 2$ : la courbe est au-dessus de sa tangente pour $x > -2$, en dessous pour $x < -2$, et la coupe en $x = -2$.

6.3 Résoudre un problème d'optimisation

Voir l'exemple résolu de la partie 8 : on exprime la grandeur à optimiser comme une fonction, on la dérive, on étudie le signe de la dérivée, on lit l'extremum dans le tableau de variations.

7. Algorithme : la méthode de Newton

Pour résoudre une équation $f(x) = 0$ de façon approchée, Newton remplace la courbe par sa tangente. Partant d'une valeur $x_0$, on prend pour $x_1$ l'abscisse du point où la tangente en $x_0$ coupe l'axe des abscisses, et l'on recommence :

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

Exemple : approcher $\sqrt{2}$, solution positive de $f(x) = x^2 - 2 = 0$, avec $f'(x) = 2x$ et $x_0 = 2$.

def newton(x, n):
    for k in range(n):
        x = x - (x**2 - 2) / (2 * x)
    return x

# newton(2, 1) = 1.5 ; newton(2, 2) = 1.41667 ; newton(2, 3) = 1.414216

En trois étapes, on obtient $1{,}414216$, alors que $\sqrt{2} = 1{,}414213\ldots$ : la méthode converge très vite dans les cas favorables (fonction régulière, point de départ proche de la solution).

8. Exemple résolu pas à pas

Énoncé. Dans une feuille carrée de $12$ cm de côté, on découpe aux quatre coins des carrés de côté $x$ cm, puis on replie les bords pour former une boîte sans couvercle. Pour quelle valeur de $x$ le volume de la boîte est-il maximal ?

Résolution.

1. Modéliser. La base est un carré de côté $12 - 2x$ et la hauteur vaut $x$. Le volume est $V(x) = x(12 - 2x)^2$, avec $0 < x < 6$ (il faut $12 - 2x > 0$).

2. Dériver. $V$ est un produit : $u = x$, $u' = 1$, $v = (12 - 2x)^2 = 4x^2 - 48x + 144$, $v' = 8x - 48 = -4(12 - 2x)$.

$V'(x) = (12 - 2x)^2 + x \times (-4)(12 - 2x) = (12 - 2x)\big[(12 - 2x) - 4x\big] = (12 - 2x)(12 - 6x)$

3. Signe de $V'$. Sur $]0\,;\,6[$, le facteur $12 - 2x$ est strictement positif. Le facteur $12 - 6x$ est positif pour $x < 2$ et négatif pour $x > 2$.

4. Conclure. $V$ admet un maximum en $x = 2$, qui vaut $V(2) = 2 \times 8^2 = 128$ cm³. La boîte optimale a une base de $8$ cm de côté et une hauteur de $2$ cm.

📌 À retenir

1. Dérivées usuelles : $(x^n)' = n x^{n-1}$, $\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$, $(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ sur $]0\,;\,+\infty[$, constante $\to 0$.
2. Opérations : $(u + v)' = u' + v'$, $(ku)' = ku'$, $(uv)' = u'v + uv'$, $\left(\dfrac{1}{v}\right)' = -\dfrac{v'}{v^2}$, $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.
3. Signe de $f'$ ⟹ variations de $f$ : $f' \geqslant 0$ croissante, $f' \leqslant 0$ décroissante, $f' = 0$ constante.
4. Extremum local en $a$ ⟹ $f'(a) = 0$ ; réciproque vraie seulement si $f'$ change de signe (contre-exemple $x^3$).
5. Méthode d'étude : dériver, factoriser, tableau de signes de $f'$, tableau de variations de $f$.
6. Applications : optimisation, inégalité (minimum d'une différence), position relative (signe de $f - g$). Newton : $x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$.