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Dérivation globale : fonction dérivée et variations

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Fiche de révision

📝 Fiche de révision — Dérivation globale : fonction dérivée et variations

📖 Définitions clés

Terme	Définition
Fonction dérivable sur $I$	Dérivable en tout point de l'intervalle $I$
Fonction dérivée $f'$	Fonction qui à $x$ associe le nombre dérivé $f'(x)$
Fonction paire	$f(-x) = f(x)$ ; courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ( $x^2$ , $\\|x\\|$ )
Fonction impaire	$f(-x) = -f(x)$ ; courbe symétrique par rapport à l'origine ( $x^3$ , $\dfrac{1}{x}$ )
Extremum local en $a$	Maximum ou minimum de $f$ sur un petit intervalle autour de $a$ ; la tangente y est horizontale ( $f'(a) = 0$ )
Point anguleux	Point où la courbe a deux demi-tangentes différentes, comme $\\|x\\|$ en $0$ : pas dérivable

📐 Dérivées usuelles

$f(x)$	$f'(x)$	Dérivable sur
$k$	$0$	$\mathbb{R}$
$x$	$1$	$\mathbb{R}$
$x^2$	$2x$	$\mathbb{R}$
$x^3$	$3x^2$	$\mathbb{R}$
$x^n$ ( $n \in \mathbb{Z}^*$ )	$n\,x^{n-1}$	$\mathbb{R}$ , ou $\mathbb{R}^*$ si $n < 0$
$\dfrac{1}{x}$	$-\dfrac{1}{x^2}$	$\mathbb{R}^*$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$	$]0\,;\,+\infty[$ (pas en $0$ )

📐 Opérations

Fonction	Dérivée
$u + v$	$u' + v'$
$k\,u$	$k\,u'$
$u \times v$	$u'v + uv'$
$\dfrac{1}{v}$	$-\dfrac{v'}{v^2}$
$\dfrac{u}{v}$	$\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$

Démonstrations à savoir : $(x^2)' = 2x$ et $\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$ par le taux de variation ; $(uv)' = u'v + uv'$ en ajoutant et retranchant $u(a)v(a + h)$ au numérateur.

📊 Dérivée et variations

Sur l'intervalle $I$	Alors $f$ est…
$f'(x) \geqslant 0$	croissante
$f'(x) \leqslant 0$	décroissante
$f'(x) = 0$	constante

Extremum local en $a$ $\Rightarrow$ $f'(a) = 0$ . Réciproque : vraie seulement si $f'$ change de signe en $a$ ( $+$ puis $-$ : maximum ; $-$ puis $+$ : minimum). Contre-exemple : $x^3$ en $0$ .

✅ Méthodes

Dériver un produit ou un quotient :

Écrire $u$ , $u'$ , $v$ , $v'$ explicitement.
Appliquer la formule sans la modifier.
Développer et réduire le numérateur seulement ; garder $v^2$ factorisé.

Étudier les variations de $f$ :

Calculer $f'(x)$ et la factoriser.
Tableau de signes de $f'$ (signe d'un trinôme, de facteurs du premier degré, d'un carré au dénominateur).
Tableau de variations de $f$ , avec les valeurs de $f$ aux zéros de $f'$ et aux bornes.

Résoudre un problème d'optimisation :

Choisir la variable, exprimer la grandeur à optimiser $f(x)$ , préciser l'intervalle.
Dériver, étudier le signe, dresser le tableau de variations.
Lire l'extremum et répondre avec les unités.

Démontrer une inégalité $f(x) \geqslant g(x)$ : étudier $d = f - g$ , montrer que son minimum est positif ou nul (ou factoriser $d$ et étudier son signe).

Position relative de deux courbes : signe de $f(x) - g(x)$ : positif ⟹ courbe de $f$ au-dessus.

🐍 Python : méthode de Newton

def newton(x, n):          # résout x² − 2 = 0, dérivée 2x
    for k in range(n):
        x = x - (x**2 - 2) / (2 * x)
    return x
# newton(2, 3) ≈ 1.414216

$x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ : on remplace la courbe par sa tangente et l'on prend le point où elle coupe l'axe des abscisses.

⚠️ Pièges à éviter

Piège	Correction
$(uv)' = u'v'$	Non : $(uv)' = u'v + uv'$
$\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'}{v'}$	Non : $\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ ; attention à l'ordre $u'v - uv'$
Dériver $\dfrac{1}{x}$ en $\dfrac{1}{1} = 1$	$\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$
Dériver $\sqrt{x}$ sur $[0\,;\,+\infty[$	Dérivable seulement sur $]0\,;\,+\infty[$
Conclure « extremum » dès que $f'(a) = 0$	Il faut que $f'$ change de signe ( $x^3$ en $0$ : pas d'extremum)
Oublier la valeur de $f$ aux zéros de $f'$ dans le tableau	C'est là que se lisent les extremums
Étudier le signe de $f$ au lieu de $f'$	Les variations de $f$ se lisent sur le signe de $f'$

📌 À retenir

Formules : $(x^n)' = nx^{n-1}$ , $\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$ , $(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ .
$(uv)' = u'v + uv'$ , $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ .
Signe de $f'$ ⟹ variations de $f$ ; extremum où $f'$ s'annule en changeant de signe.
Méthode : dériver, factoriser, tableau de signes, tableau de variations.
Optimisation, inégalités, position relative : tout passe par une dérivée et un tableau.

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