Dérivation locale : nombre dérivé et tangente

Comment mesurer la vitesse d'une voiture à un instant précis, alors qu'une vitesse se calcule sur une durée ? Comment connaître la pente d'une courbe en un point, alors qu'une pente se mesure entre deux points ? Ces deux questions ont la même réponse : on prend deux points de plus en plus proches, et on regarde vers quelle valeur tend le résultat. C'est l'idée du nombre dérivé, l'une des inventions les plus fécondes des mathématiques, due à Newton et Leibniz au XVIIᵉ siècle.

Ce chapitre est local : on étudie une fonction autour d'un seul point. Le chapitre suivant sera global : la fonction dérivée sur tout un intervalle.

1. Taux de variation et sécantes

1.1 Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, et $a$, $b$ deux réels distincts de $I$. Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $b$ est le quotient

$\boxed{\tau = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}}$

C'est le coefficient directeur de la droite $(AB)$ qui joint les points $A(a\,;\,f(a))$ et $B(b\,;\,f(b))$ de la courbe. Cette droite s'appelle une sécante à la courbe.

En posant $b = a + h$ (avec $h \neq 0$), le taux de variation s'écrit aussi

$\tau(h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$

1.2 Exemple : la fonction carré autour de $1$

Soit $f(x) = x^2$ et $a = 1$. Le taux de variation entre $1$ et $1 + h$ vaut

$\tau(h) = \frac{(1 + h)^2 - 1^2}{h} = \frac{1 + 2h + h^2 - 1}{h} = \frac{2h + h^2}{h} = 2 + h$

Quand $h$ se rapproche de $0$, le point $B$ glisse vers $A$ et la pente de la sécante se rapproche de $2$. Ce nombre $2$ est le nombre dérivé de $f$ en $1$.

1.3 Interprétation : vitesse moyenne

Si $d(t)$ est la distance parcourue par un mobile à l'instant $t$, le taux de variation $\dfrac{d(t_2) - d(t_1)}{t_2 - t_1}$ est la vitesse moyenne entre $t_1$ et $t_2$. De même, en économie, le taux de variation d'un coût entre deux quantités est un coût moyen par unité supplémentaire.

2. Nombre dérivé

2.1 Définition

On dit que $f$ est dérivable en $a$ si le taux de variation $\dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$ se rapproche d'un nombre réel $L$ lorsque $h$ se rapproche de $0$. Ce nombre est le nombre dérivé de $f$ en $a$, noté $f'(a)$ :

$\boxed{f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}}$

On lit « $f$ prime de $a$ ». En première, cette limite est étudiée de façon intuitive, en calculant le taux de variation et en regardant ce qu'il devient quand $h$ tend vers $0$.

2.2 Calculs de nombres dérivés

La fonction carré en un réel $a$ quelconque. Avec $f(x) = x^2$ :

$\frac{(a + h)^2 - a^2}{h} = \frac{2ah + h^2}{h} = 2a + h \xrightarrow[h \to 0]{} 2a$

Donc $f'(a) = 2a$. En particulier $f'(1) = 2$, $f'(3) = 6$, $f'(0) = 0$, $f'(-2) = -4$.

La fonction inverse en $2$. Avec $g(x) = \dfrac{1}{x}$ :

$\frac{g(2 + h) - g(2)}{h} = \frac{\dfrac{1}{2 + h} - \dfrac{1}{2}}{h} = \frac{\dfrac{2 - (2 + h)}{2(2 + h)}}{h} = \frac{-h}{2h(2 + h)} = \frac{-1}{2(2 + h)} \xrightarrow[h \to 0]{} -\frac{1}{4}$

Donc $g'(2) = -\dfrac{1}{4}$.

La fonction racine carrée en $1$. Avec $r(x) = \sqrt{x}$, on multiplie par la quantité conjuguée :

$\frac{\sqrt{1 + h} - 1}{h} = \frac{(\sqrt{1 + h} - 1)(\sqrt{1 + h} + 1)}{h(\sqrt{1 + h} + 1)} = \frac{1 + h - 1}{h(\sqrt{1 + h} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{1 + h} + 1} \xrightarrow[h \to 0]{} \frac{1}{2}$

Donc $r'(1) = \dfrac{1}{2}$.

🎯 Méthode : écrire le taux de variation, le simplifier par $h$ (c'est toujours possible quand la fonction est dérivable), puis remplacer $h$ par $0$ dans l'expression simplifiée.

2.3 Trois interprétations du nombre dérivé

En physique, on note aussi $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ un taux de variation et $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ un nombre dérivé.

3. Tangente à une courbe

3.1 Définition

Lorsque $f$ est dérivable en $a$, la tangente à la courbe de $f$ au point $A(a\,;\,f(a))$ est la droite passant par $A$ et de coefficient directeur $f'(a)$. C'est la « limite des sécantes » $(AB)$ lorsque $B$ se rapproche de $A$ : la droite qui « colle » le mieux à la courbe autour de $A$.

3.2 Équation de la tangente

$\boxed{y = f'(a)(x - a) + f(a)}$

Démonstration (exigible). La tangente est une droite non verticale de coefficient directeur $f'(a)$ : son équation est de la forme $y = f'(a)\,x + p$. Elle passe par $A(a\,;\,f(a))$, donc $f(a) = f'(a) \times a + p$, d'où $p = f(a) - a f'(a)$. En remplaçant : $y = f'(a)\,x + f(a) - a f'(a) = f'(a)(x - a) + f(a)$.

Exemple : tangente à la parabole $y = x^2$ au point d'abscisse $1$. On a $f(1) = 1$ et $f'(1) = 2$, donc $y = 2(x - 1) + 1 = 2x - 1$.

3.3 Lire et construire une tangente

Lire $f'(a)$ sur un graphique. Si la tangente en $A$ est tracée, son coefficient directeur se lit comme pour toute droite : on choisit deux points de la tangente et on calcule $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$. Une tangente horizontale signifie $f'(a) = 0$.

Construire la tangente connaissant $f'(a)$. À partir de $A$, on avance de $1$ unité vers la droite et de $f'(a)$ unités verticalement (vers le haut si $f'(a) > 0$, vers le bas si $f'(a) < 0$) : on obtient un second point de la tangente, il ne reste qu'à tracer la droite.

Exemple : pour $f(x) = \dfrac{1}{x}$ au point $A\left(2\,;\,\dfrac{1}{2}\right)$, $f'(2) = -\dfrac{1}{4}$ : la tangente descend de $\dfrac{1}{4}$ quand on avance de $1$. Son équation est $y = -\dfrac{1}{4}(x - 2) + \dfrac{1}{2} = -\dfrac{x}{4} + 1$.

4. Approximation affine

Près de $A$, la courbe est presque confondue avec sa tangente. On peut donc remplacer $f$ par la fonction affine tangente $x \mapsto f(a) + f'(a)(x - a)$ pour $x$ proche de $a$, c'est-à-dire, pour $h$ petit :

$\boxed{f(a + h) \approx f(a) + f'(a)\,h}$

Exemples :

• Avec $f(x) = x^2$, $a = 1$, $f'(1) = 2$ : $(1 + h)^2 \approx 1 + 2h$. Ainsi $1{,}01^2 \approx 1{,}02$ (valeur exacte : $1{,}0201$).
• Avec $r(x) = \sqrt{x}$, $a = 1$, $r'(1) = \dfrac{1}{2}$ : $\sqrt{1 + h} \approx 1 + \dfrac{h}{2}$. Ainsi $\sqrt{1{,}02} \approx 1{,}01$ (valeur exacte : $1{,}00995\ldots$).
• Avec $g(x) = \dfrac{1}{x}$, $a = 2$, $g'(2) = -\dfrac{1}{4}$ : $\dfrac{1}{2 + h} \approx \dfrac{1}{2} - \dfrac{h}{4}$. Ainsi $\dfrac{1}{2{,}01} \approx 0{,}5 - 0{,}0025 = 0{,}4975$ (valeur exacte : $0{,}49751\ldots$).

Plus $h$ est petit, meilleure est l'approximation : l'erreur est de l'ordre de $h^2$.

5. Une fonction non dérivable : la racine carrée en $0$

Toutes les fonctions ne sont pas dérivables partout. Démonstration (exigible) : la fonction racine carrée n'est pas dérivable en $0$.

Pour $h > 0$, le taux de variation entre $0$ et $h$ vaut

$\frac{\sqrt{h} - \sqrt{0}}{h} = \frac{\sqrt{h}}{h} = \frac{1}{\sqrt{h}}$

Quand $h$ se rapproche de $0$, $\sqrt{h}$ se rapproche de $0$ et $\dfrac{1}{\sqrt{h}}$ devient aussi grand que l'on veut : pour $h = 0{,}01$ il vaut $10$, pour $h = 0{,}0001$ il vaut $100$. Le taux de variation ne se rapproche d'aucun nombre réel : la racine carrée n'est pas dérivable en $0$.

Graphiquement, les sécantes issues de l'origine deviennent de plus en plus raides : la courbe admet en $O$ une tangente verticale, qui n'a pas de coefficient directeur.

6. Algorithme : la liste des pentes des sécantes

Pour conjecturer un nombre dérivé, on calcule les pentes des sécantes pour des pas $h$ de plus en plus petits et on les range dans une liste.

def f(x):
    return x**2

def pentes(a, pas):
    return [(f(a + h) - f(a)) / h for h in pas]

print(pentes(1, [1, 0.1, 0.01, 0.001]))
# affiche [3.0, 2.1, 2.01, 2.001] : on conjecture f'(1) = 2

La liste est construite en compréhension : un élément par valeur de h dans la liste pas. On peut aussi partir d'un pas $h$ et le diviser par $10$ à chaque étape avec une boucle.

7. Exemple résolu pas à pas

Énoncé. Une balle est lancée verticalement ; sa hauteur en mètres à l'instant $t$ (en secondes) est $h(t) = -5t^2 + 20t$.

1. Calculer la vitesse moyenne de la balle entre les instants $1$ et $2$.
2. Déterminer la vitesse instantanée à l'instant $t = 1$.
3. Donner l'équation de la tangente à la courbe de $h$ au point d'abscisse $1$.
4. Que vaut la vitesse instantanée à $t = 2$ ? Interpréter.

Résolution.

1. $h(1) = -5 + 20 = 15$ et $h(2) = -20 + 40 = 20$. Vitesse moyenne : $\dfrac{h(2) - h(1)}{2 - 1} = \dfrac{20 - 15}{1} = 5$ m/s.

2. La vitesse instantanée est le nombre dérivé $h'(1)$. Taux de variation entre $1$ et $1 + k$ :

$\frac{h(1 + k) - h(1)}{k} = \frac{-5(1 + k)^2 + 20(1 + k) - 15}{k} = \frac{-5 - 10k - 5k^2 + 20 + 20k - 15}{k} = \frac{10k - 5k^2}{k} = 10 - 5k$

Quand $k \to 0$, ce taux tend vers $10$ : $h'(1) = 10$ m/s. La balle monte à $10$ m/s à l'instant $1$ (plus vite que la moyenne entre $1$ et $2$, car elle ralentit).

3. $y = h'(1)(t - 1) + h(1) = 10(t - 1) + 15 = 10t + 5$.

4. Même calcul en $2$ : $\dfrac{h(2 + k) - h(2)}{k} = \dfrac{-5(2 + k)^2 + 20(2 + k) - 20}{k} = \dfrac{-20k - 5k^2 + 20k}{k} = -5k \to 0$. Donc $h'(2) = 0$ : à l'instant $2$, la vitesse est nulle, la balle est au sommet de sa trajectoire ($20$ m, chapitre du second degré) et la tangente est horizontale.

📌 À retenir

1. Taux de variation entre $a$ et $a + h$ : $\dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$, pente de la sécante ; vitesse moyenne en cinématique.
2. Nombre dérivé $f'(a)$ : valeur vers laquelle tend le taux de variation quand $h \to 0$. Méthode : simplifier par $h$, puis faire $h = 0$.
3. Pour $x^2$ : $f'(a) = 2a$. Pour $\dfrac{1}{x}$ en $2$ : $-\dfrac{1}{4}$. Pour $\sqrt{x}$ en $1$ : $\dfrac{1}{2}$.
4. Tangente en $a$ : droite passant par $A(a\,;\,f(a))$ de pente $f'(a)$, équation $y = f'(a)(x - a) + f(a)$. Tangente horizontale $\iff f'(a) = 0$.
5. Approximation affine : $f(a + h) \approx f(a) + f'(a)h$ pour $h$ petit.
6. La racine carrée n'est pas dérivable en $0$ : le taux $\dfrac{1}{\sqrt{h}}$ n'a pas de limite finie, tangente verticale.