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Dérivation locale : nombre dérivé et tangente

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Fiche de révision

📝 Fiche de révision — Dérivation locale : nombre dérivé et tangente

📖 Définitions clés

Terme	Définition
Taux de variation de $f$ entre $a$ et $b$	$\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$ , ou $\dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$ avec $b = a + h$
Sécante	Droite $(AB)$ joignant deux points de la courbe ; son coefficient directeur est le taux de variation
Nombre dérivé $f'(a)$	Nombre vers lequel tend le taux de variation $\dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$ quand $h$ tend vers $0$ (s'il existe)
Fonction dérivable en $a$	Fonction dont le taux de variation en $a$ admet une limite finie quand $h \to 0$
Tangente en $A(a\,;\,f(a))$	Droite passant par $A$ et de coefficient directeur $f'(a)$ ; « limite des sécantes »
Approximation affine	Remplacer $f(a + h)$ par $f(a) + f'(a)h$ pour $h$ petit

📐 Formules essentielles

Formule	Usage
$\tau(h) = \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$	Taux de variation, pente de la sécante
$f'(a) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$	Nombre dérivé
$y = f'(a)(x - a) + f(a)$	Équation de la tangente au point d'abscisse $a$
$f(a + h) \approx f(a) + f'(a)\,h$	Approximation affine pour $h$ petit
$f(x) = x^2 \Rightarrow f'(a) = 2a$	Nombre dérivé de la fonction carré (taux $= 2a + h$ )
$g(x) = \dfrac{1}{x} \Rightarrow g'(2) = -\dfrac{1}{4}$	Exemple de la fonction inverse (taux $= \dfrac{-1}{2(2 + h)}$ )
$r(x) = \sqrt{x} \Rightarrow r'(1) = \dfrac{1}{2}$	Exemple de la racine carrée (quantité conjuguée : taux $= \dfrac{1}{\sqrt{1 + h} + 1}$ )

🔎 Interprétations de $f'(a)$

Contexte	$f'(a)$ est…
Courbe	la pente de la tangente au point d'abscisse $a$
Position $d(t)$ d'un mobile	la vitesse instantanée à l'instant $a$
Coût total $C(q)$	le coût marginal : coût approché de l'unité suivante

Tangente horizontale $\iff f'(a) = 0$ . Taux de variation = vitesse moyenne ; nombre dérivé = vitesse instantanée.

✅ Méthodes

Calculer un nombre dérivé avec la définition :

Écrire le taux de variation $\dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$ avec les valeurs de l'énoncé.
Développer et réduire le numérateur : tout doit contenir un facteur $h$ (pour un quotient, réduire au même dénominateur ; pour une racine, multiplier par la quantité conjuguée).
Simplifier par $h$ .
Remplacer $h$ par $0$ : le résultat est $f'(a)$ .

Écrire l'équation de la tangente :

Calculer $f(a)$ et $f'(a)$ .
Remplacer dans $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ , puis développer.
Vérifier que le point $A(a\,;\,f(a))$ est bien sur la droite.

Lire $f'(a)$ sur un graphique : choisir deux points de la tangente (pas de la courbe), calculer $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ .

Construire la tangente : depuis $A$ , avancer de $1$ en abscisse et de $f'(a)$ en ordonnée, tracer la droite par les deux points.

Approximation affine : identifier $a$ (valeur « simple » proche) et $h$ (petit écart), puis $f(a + h) \approx f(a) + f'(a)h$ .

🐍 Python

def f(x):
    return x**2

def pentes(a, pas):
    return [(f(a + h) - f(a)) / h for h in pas]

pentes(1, [1, 0.1, 0.01, 0.001])   # [3.0, 2.1, 2.01, 2.001] → f'(1) = 2

⚠️ Pièges à éviter

Piège	Correction
Remplacer $h$ par $0$ avant de simplifier	On obtient $\dfrac{0}{0}$ : il faut d'abord simplifier par $h$
Confondre $f(a)$ et $f'(a)$	$f(a)$ est l'ordonnée du point, $f'(a)$ la pente de la tangente
Lire la pente sur la courbe	La pente se lit sur la tangente, avec deux de ses points
Écrire $y = f'(a)x + f(a)$	L'équation correcte est $y = f'(a)(x - a) + f(a)$
Croire que toute fonction est dérivable	$\sqrt{x}$ n'est pas dérivable en $0$ : taux $\dfrac{1}{\sqrt{h}}$ sans limite finie
Oublier le signe de $f'(a)$	$f'(a) < 0$ : la tangente descend, la fonction décroît autour de $a$

📌 À retenir

$f'(a)$ = limite du taux de variation = pente de la tangente = vitesse instantanée.
Méthode de calcul : simplifier par $h$ , puis $h = 0$ .
Tangente : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ .
$f(a + h) \approx f(a) + f'(a)h$ .
Démonstrations à savoir : équation de la tangente ; non-dérivabilité de $\sqrt{x}$ en $0$ .

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