Description d'un fluide au repos

Pourquoi les oreilles font-elles mal quand on descend au fond d'une piscine ? Pourquoi une bouteille de plongée contient-elle autant d'air alors qu'elle est si petite ? Pourquoi un sac de chips gonfle-t-il en montagne ? Toutes ces questions concernent des fluides, liquides ou gaz, décrits par trois grandeurs macroscopiques : la masse volumique, la pression et la température. Ce chapitre relie ces grandeurs à l'agitation des molécules, établit la loi de Mariotte pour les gaz, calcule les forces pressantes exercées par un fluide et énonce la loi fondamentale de la statique des fluides, qui explique la variation de la pression avec la profondeur.

1. Deux échelles pour décrire un fluide

1.1 Échelle macroscopique

Un fluide au repos est décrit par des grandeurs mesurables à notre échelle :

La masse volumique est $\rho = m/V$. La pression est une grandeur définie en tout point du fluide ; on la mesure avec un manomètre ou un baromètre (pression atmosphérique). Le bar ($1$ bar $= 10^5$ Pa) et l'hectopascal ($1$ hPa $= 100$ Pa) sont d'usage courant.

1.2 Échelle microscopique

Un fluide est constitué d'un très grand nombre d'entités (molécules, atomes, ions) en agitation permanente et désordonnée, appelée agitation thermique. Les grandeurs macroscopiques en découlent :

• la masse volumique traduit le nombre d'entités par unité de volume et leur masse : dans un gaz, les molécules sont très éloignées (masse volumique mille fois plus faible que dans un liquide) ;
• la pression résulte des chocs des entités sur les parois : chaque choc exerce une petite force ; plus les chocs sont nombreux et violents, plus la pression est grande ;
• la température mesure l'agitation des entités : plus elle est élevée, plus leur vitesse moyenne est grande.

Ainsi, comprimer un gaz (moins de volume pour le même nombre de molécules) augmente le nombre de chocs par seconde sur les parois : la pression augmente. Le chauffer augmente la vitesse des molécules : les chocs sont plus violents, la pression augmente aussi.

2. Le modèle du gaz : la loi de Mariotte

2.1 Énoncé

À température constante, pour une quantité de gaz donnée, le produit de la pression par le volume est constant :

$P \times V = \text{constante} \qquad \text{soit} \qquad P_1 V_1 = P_2 V_2$

La pression et le volume sont inversement proportionnels : si l'on divise le volume par deux, la pression double. C'est la loi de Mariotte (ou de Boyle-Mariotte).

Exemple. Une seringue bouchée contient $60$ mL d'air à $1{,}0 \times 10^5$ Pa. On enfonce le piston jusqu'à $30$ mL : $P_2 = \dfrac{P_1 V_1}{V_2} = \dfrac{1{,}0 \times 10^5 \times 60}{30} = 2{,}0 \times 10^5$ Pa. Les unités de volume peuvent rester en mL à condition d'être les mêmes des deux côtés.

2.2 Vérifier la loi

On relie une seringue à un capteur de pression (ou à un microcontrôleur) et on relève $P$ pour plusieurs volumes. Le tracé de $P$ en fonction de $1/V$ est une droite passant par l'origine ; le produit $P \times V$ est constant aux incertitudes près.

Limites. La loi de Mariotte décrit bien les gaz aux pressions modérées ; elle cesse d'être valable aux très hautes pressions ou près de la liquéfaction. Elle suppose la température constante : une compression rapide échauffe le gaz.

3. Les forces pressantes

Un fluide exerce sur toute surface en contact une force pressante, perpendiculaire à la surface et dirigée du fluide vers la surface. Sa valeur est

$F = P \times S \qquad F \text{ en N},\ P \text{ en Pa},\ S \text{ en m}^2$

Le pascal est donc un newton par mètre carré : $1$ Pa $= 1$ N·m⁻².

Exemple. L'air atmosphérique exerce sur une table de $1{,}0$ m² une force $F = 1{,}013 \times 10^5 \times 1{,}0 = 1{,}0 \times 10^5$ N, l'équivalent du poids de dix tonnes ! La table ne s'effondre pas parce que l'air situé dessous exerce une force égale et opposée. C'est aussi pourquoi il est si difficile de séparer deux hémisphères de Magdebourg dans lesquels on a fait le vide.

4. Loi fondamentale de la statique des fluides

4.1 Énoncé

Dans un fluide incompressible (liquide) au repos, la pression augmente avec la profondeur. Entre deux points $1$ et $2$ d'altitudes $z_1$ et $z_2$ (axe vertical orienté vers le haut),

$P_2 - P_1 = \rho \, g \, (z_1 - z_2)$

Le point le plus bas est à la pression la plus élevée : chaque tranche de fluide supporte le poids de celles qui sont au-dessus. En posant $h = z_1 - z_2$ la profondeur du point $2$ sous le point $1$ :

$P_2 = P_1 + \rho \, g \, h$

4.2 Conséquences

• Dans l'eau ($\rho = 1{,}0 \times 10^3$ kg·m⁻³, $g = 9{,}8$ N·kg⁻¹), la pression augmente de $\rho g h = 9{,}8 \times 10^3$ Pa par mètre, soit environ $1$ bar tous les $10$ m. À $10$ m de profondeur, $P = 1{,}0 \times 10^5 + 9{,}8 \times 10^4 \approx 2{,}0 \times 10^5$ Pa : le double de la pression atmosphérique.
• La pression ne dépend que de la profondeur, pas de la forme du récipient ni de la quantité de liquide (vases communicants).
• Deux points d'un même liquide à la même altitude sont à la même pression (surface libre horizontale).
• Dans l'air, la loi ne s'applique que sur de faibles dénivelés (l'air est compressible) : avec $\rho_{\text{air}} = 1{,}2$ kg·m⁻³, la pression diminue d'environ $12$ Pa par mètre d'altitude, soit $1{,}2$ hPa tous les $10$ m.

4.3 Vérifier la loi

Un capteur de pression plongé dans une éprouvette d'eau à différentes profondeurs donne une droite $P = f(h)$ de coefficient directeur $\rho g$ et d'ordonnée à l'origine $P_{\text{atm}}$.

5. Exemple résolu pas à pas

Énoncé. Un plongeur descend à $30$ m de profondeur en mer ($\rho = 1{,}03 \times 10^3$ kg·m⁻³, $g = 9{,}8$ N·kg⁻¹, $P_{\text{atm}} = 1{,}01 \times 10^5$ Pa). Sa bouteille de $12$ L contient de l'air comprimé à $200$ bar. À $30$ m, il lâche une bulle d'air de $0{,}50$ L.

a) Calculer la pression à $30$ m. b) Calculer la force pressante exercée par l'eau sur la vitre de son masque, de surface $150$ cm². c) Quel volume d'air, ramené à la pression de $30$ m, la bouteille contient-elle ? d) Quel est le volume de la bulle lorsqu'elle arrive à la surface ? Quelle règle de sécurité en découle ?

Résolution.

a) $P = P_{\text{atm}} + \rho g h = 1{,}01 \times 10^5 + 1{,}03 \times 10^3 \times 9{,}8 \times 30 = 1{,}01 \times 10^5 + 3{,}03 \times 10^5 = 4{,}0 \times 10^5$ Pa, soit environ $4$ bar.

b) $S = 150$ cm² $= 1{,}50 \times 10^{-2}$ m². $F = P S = 4{,}0 \times 10^5 \times 1{,}50 \times 10^{-2} = 6{,}0 \times 10^3$ N, perpendiculaire à la vitre, dirigée vers l'intérieur du masque. L'air du masque, à la même pression, compense cette force.

c) Loi de Mariotte à température constante : $P_1 V_1 = P_2 V_2$ avec $P_1 = 200$ bar, $V_1 = 12$ L, $P_2 = 4{,}0$ bar : $V_2 = \dfrac{200 \times 12}{4{,}0} = 6{,}0 \times 10^2$ L d'air respirable à $30$ m (contre $2\,400$ L en surface : l'autonomie diminue avec la profondeur).

d) $V_{\text{surface}} = \dfrac{P_{30} V_{30}}{P_{\text{atm}}} = \dfrac{4{,}0 \times 0{,}50}{1{,}0} = 2{,}0$ L : la bulle quadruple de volume. Un plongeur qui remonterait en bloquant sa respiration verrait l'air de ses poumons se dilater de la même façon : il faut expirer en remontant.

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🎯 Rédiger. Convertir les surfaces en m² ($1$ cm² $= 10^{-4}$ m²) et les pressions dans la même unité (Pa ou bar) des deux côtés d'une relation. Pour la statique des fluides, repérer le point le plus bas (pression la plus grande) et écrire $P_{\text{bas}} = P_{\text{haut}} + \rho g h$.

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📌 À retenir

1. Grandeurs macroscopiques : $\rho = m/V$ (kg·m⁻³), $P$ (Pa, $1$ bar $= 10^5$ Pa), $T$ (K). Microscopiquement : nombre d'entités par volume, chocs sur les parois, agitation.
2. Loi de Mariotte : $P V =$ constante à température constante pour une quantité de gaz donnée.
3. Force pressante : $F = P S$, perpendiculaire à la surface, du fluide vers la surface ; $1$ Pa $= 1$ N·m⁻².
4. Statique des fluides : $P_2 - P_1 = \rho g (z_1 - z_2)$ ; dans l'eau, $+1$ bar tous les $10$ m.
5. Applications : plongée (pression, volume d'air, expiration à la remontée), altitude, vases communicants.