Représenter et Caractériser les Droites du Plan

1. Vecteur directeur d'une droite

1.1 Définition

Un vecteur directeur d'une droite $d$ est un vecteur non nul qui a la même direction que $d$.

Si $A$ et $B$ sont deux points distincts de $d$, alors $\vec{AB}$ est un vecteur directeur de $d$.

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🎯 Remarque : une droite admet une infinité de vecteurs directeurs : si $\vec{u}$ est un vecteur directeur de $d$, alors $k\vec{u}$ (pour tout $k \neq 0$) l'est aussi.

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2. Équations de droites

2.1 Équation cartésienne

Toute droite du plan admet une équation cartésienne de la forme :

$\boxed{ax + by + c = 0}$

où $a$, $b$, $c$ sont des réels avec $(a\,;\,b) \neq (0\,;\,0)$.

Un vecteur directeur de cette droite est $\vec{u}\binom{-b}{a}$.

Exemple : La droite $d : 2x - 3y + 6 = 0$ a pour vecteur directeur $\vec{u}\binom{3}{2}$.

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2.2 Équation réduite

Si la droite n'est pas verticale (c'est-à-dire $b \neq 0$), on peut écrire :

$\boxed{y = mx + p}$

où :

• $m = -\frac{a}{b}$ est la pente (coefficient directeur)
• $p = -\frac{c}{b}$ est l'ordonnée à l'origine

Exemple : $2x - 3y + 6 = 0 \iff -3y = -2x - 6 \iff y = \frac{2}{3}x + 2$.

La pente est $m = \frac{2}{3}$ et l'ordonnée à l'origine est $p = 2$.

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2.3 Cas des droites verticales

Une droite verticale (parallèle à l'axe des ordonnées) a pour équation $x = k$ (avec $k$ constant). Elle n'a pas d'équation réduite $y = mx + p$.

Son vecteur directeur est $\vec{j}\binom{0}{1}$.

3. Déterminer l'équation d'une droite

3.1 À partir de deux points

Méthode : si la droite passe par $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$ :

1. Si $x_A \neq x_B$ : calculer $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$, puis $p$ avec $y_A = mx_A + p$.
2. Si $x_A = x_B$ : la droite est verticale, d'équation $x = x_A$.

Exemple résolu : Trouver l'équation de la droite passant par $A(1\,;\,4)$ et $B(3\,;\,-2)$.

$m = \frac{-2 - 4}{3 - 1} = \frac{-6}{2} = -3$

$4 = -3 \times 1 + p \implies p = 7$

Équation réduite : $y = -3x + 7$.

Équation cartésienne : $3x + y - 7 = 0$.

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3.2 À partir d'un point et d'un vecteur directeur

Si la droite passe par $A(x_A\,;\,y_A)$ et a pour vecteur directeur $\vec{u}\binom{\alpha}{\beta}$ :

Un point $M(x\,;\,y)$ est sur la droite si et seulement si $\vec{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires :

$\det(\vec{AM}, \vec{u}) = 0 \iff (x - x_A)\beta - (y - y_A)\alpha = 0$

Exemple résolu : Droite passant par $A(2\,;\,-1)$ de vecteur directeur $\vec{u}\binom{3}{4}$.

$\det(\vec{AM}, \vec{u}) = (x-2) \times 4 - (y+1) \times 3 = 0$

$4x - 8 - 3y - 3 = 0 \implies 4x - 3y - 11 = 0$

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3.3 À partir d'un point et de la pente

Si la droite passe par $A(x_A\,;\,y_A)$ et a pour pente $m$ :

$y - y_A = m(x - x_A)$

Exemple : Droite de pente $m = 2$ passant par $(3\,;\,5)$ : $y - 5 = 2(x - 3)$, soit $y = 2x - 1$.

4. Positions relatives de droites

4.1 Droites parallèles

Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

En termes de pente : deux droites non verticales $y = m_1 x + p_1$ et $y = m_2 x + p_2$ sont parallèles si et seulement si $m_1 = m_2$.

• Si $m_1 = m_2$ et $p_1 = p_2$ : les droites sont confondues.
• Si $m_1 = m_2$ et $p_1 \neq p_2$ : les droites sont strictement parallèles (pas d'intersection).

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4.2 Droites sécantes

Deux droites sont sécantes si elles se coupent en un unique point.

Condition : les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires (ou $m_1 \neq m_2$).

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4.3 Alignement de trois points

Trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si les droites $(AB)$ et $(AC)$ ont le même vecteur directeur (colinéarité), ce qui revient à $\det(\vec{AB}, \vec{AC}) = 0$.

5. Système de deux équations linéaires

5.1 Interprétation géométrique

Résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues :

$\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$

revient à trouver le point d'intersection de deux droites.

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5.2 Méthode par substitution

1. Exprimer une variable en fonction de l'autre dans une équation
2. Remplacer dans l'autre équation
3. Résoudre et retrouver les deux valeurs

Exemple résolu :

$\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - 3y = -7 \end{cases}$

De la 1ère équation : $y = 7 - 2x$.

On substitue dans la 2ème : $x - 3(7 - 2x) = -7 \implies x - 21 + 6x = -7 \implies 7x = 14 \implies x = 2$.

Puis $y = 7 - 2 \times 2 = 3$.

Solution : $(x\,;\,y) = (2\,;\,3)$. Les deux droites se coupent en $(2\,;\,3)$.

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5.3 Méthode par combinaison

On multiplie les équations pour éliminer une variable.

Exemple résolu :

$\begin{cases} 3x + 2y = 12 \quad (L_1) \\ 5x - 2y = 4 \quad (L_2) \end{cases}$

$L_1 + L_2$ : $8x = 16 \implies x = 2$.

Puis dans $L_1$ : $6 + 2y = 12 \implies y = 3$.

Solution : $(2\,;\,3)$.

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5.4 Cas particuliers

• Système incompatible (pas de solution) → les deux droites sont parallèles non confondues.
• Système indéterminé (infinité de solutions) → les deux droites sont confondues.

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📌 À retenir

1. Équation cartésienne $ax + by + c = 0$ → vecteur directeur $\vec{u}\binom{-b}{a}$.
2. Équation réduite $y = mx + p$ → pente $m$, ordonnée à l'origine $p$.
3. Pente : $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ à partir de deux points.
4. Droites parallèles $\iff$ mêmes pentes (ou vecteurs directeurs colinéaires).
5. Droites sécantes $\iff$ pentes différentes → résoudre le système pour trouver le point d'intersection.
6. Pour déterminer une droite, il suffit de deux informations : deux points, ou un point et la pente, ou un point et un vecteur directeur.