Un vecteur directeur d'une droite d est un vecteur non nul qui a la même direction que d.
Si A et B sont deux points distincts de d, alors AB est un vecteur directeur de d.
🎯 Remarque : une droite admet une infinité de vecteurs directeurs : si u est un vecteur directeur de d, alors ku (pour tout k=0) l'est aussi.
2. Équations de droites
2.1 Équation cartésienne
Toute droite du plan admet une équation cartésienne de la forme :
ax+by+c=0
où a, b, c sont des réels avec (a;b)=(0;0).
Un vecteur directeur de cette droite est u(a−b).
Exemple : La droite d:2x−3y+6=0 a pour vecteur directeur u(23).
2.2 Équation réduite
Si la droite n'est pas verticale (c'est-à-dire b=0), on peut écrire :
y=mx+p
où :
m=−ba est la pente (coefficient directeur)
p=−bc est l'ordonnée à l'origine
Exemple :2x−3y+6=0⟺−3y=−2x−6⟺y=32x+2.
La pente est m=32 et l'ordonnée à l'origine est p=2.
2.3 Cas des droites verticales
Une droite verticale (parallèle à l'axe des ordonnées) a pour équation x=k (avec k constant). Elle n'a pas d'équation réduite y=mx+p.
Son vecteur directeur est j(10).
3. Déterminer l'équation d'une droite
3.1 À partir de deux points
Méthode : si la droite passe par A(xA;yA) et B(xB;yB) :
Si xA=xB : calculer m=xB−xAyB−yA, puis p avec yA=mxA+p.
Si xA=xB : la droite est verticale, d'équation x=xA.
Exemple résolu : Trouver l'équation de la droite passant par A(1;4) et B(3;−2).
m=3−1−2−4=2−6=−3
4=−3×1+p⟹p=7
Équation réduite :y=−3x+7.
Équation cartésienne :3x+y−7=0.
3.2 À partir d'un point et d'un vecteur directeur
Si la droite passe par A(xA;yA) et a pour vecteur directeur u(βα) :
Un point M(x;y) est sur la droite si et seulement si AM et u sont colinéaires :
det(AM,u)=0⟺(x−xA)β−(y−yA)α=0
Exemple résolu : Droite passant par A(2;−1) de vecteur directeur u(43).
det(AM,u)=(x−2)×4−(y+1)×3=0
4x−8−3y−3=0⟹4x−3y−11=0
3.3 À partir d'un point et de la pente
Si la droite passe par A(xA;yA) et a pour pente m :
y−yA=m(x−xA)
Exemple : Droite de pente m=2 passant par (3;5) : y−5=2(x−3), soit y=2x−1.
4. Positions relatives de droites
4.1 Droites parallèles
Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
En termes de pente : deux droites non verticales y=m1x+p1 et y=m2x+p2 sont parallèles si et seulement si m1=m2.
Si m1=m2 et p1=p2 : les droites sont confondues.
Si m1=m2 et p1=p2 : les droites sont strictement parallèles (pas d'intersection).
4.2 Droites sécantes
Deux droites sont sécantes si elles se coupent en un unique point.
Condition : les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires (ou m1=m2).
4.3 Alignement de trois points
Trois points A, B, C sont alignés si et seulement si les droites (AB) et (AC) ont le même vecteur directeur (colinéarité), ce qui revient à det(AB,AC)=0.
5. Système de deux équations linéaires
5.1 Interprétation géométrique
Résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues :
{a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2
revient à trouver le point d'intersection de deux droites.
5.2 Méthode par substitution
Exprimer une variable en fonction de l'autre dans une équation
Remplacer dans l'autre équation
Résoudre et retrouver les deux valeurs
Exemple résolu :
{2x+y=7x−3y=−7
De la 1ère équation : y=7−2x.
On substitue dans la 2ème : x−3(7−2x)=−7⟹x−21+6x=−7⟹7x=14⟹x=2.
Puis y=7−2×2=3.
Solution :(x;y)=(2;3). Les deux droites se coupent en (2;3).
5.3 Méthode par combinaison
On multiplie les équations pour éliminer une variable.
Exemple résolu :
{3x+2y=12(L1)5x−2y=4(L2)
L1+L2 : 8x=16⟹x=2.
Puis dans L1 : 6+2y=12⟹y=3.
Solution :(2;3).
5.4 Cas particuliers
Système incompatible (pas de solution) → les deux droites sont parallèles non confondues.
Système indéterminé (infinité de solutions) → les deux droites sont confondues.