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Fiche de révision Représenter et caractériser les droites du plan — Mathématiques 2nde | KlarIA

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Représenter et caractériser les droites du plan

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Fiche de révision

Fiche de révision — Droites du plan

📖 Définitions clés

Terme	Définition
Vecteur directeur	Vecteur $\vec{u}$ non nul qui donne la direction d'une droite. Si $\vec{u}(a\,;b)$ , tout vecteur colinéaire à $\vec{u}$ est aussi directeur de cette droite.
Équation cartésienne	Forme $ax + by + c = 0$ avec $(a\,;b) \neq (0\,;0)$ . Un vecteur directeur est $\vec{u}(-b\,;a)$ .
Équation réduite	Forme $y = mx + p$ (droite non parallèle à l'axe des ordonnées).
Pente (coeff. directeur)	Le nombre $m$ dans $y = mx + p$ . Il mesure l'inclinaison de la droite.
Ordonnée à l'origine	Le nombre $p$ : ordonnée du point d'intersection avec l'axe des ordonnées.

📐 Formules essentielles

Situation	Formule
Pente à partir de deux points $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$	$m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ (si $x_A \neq x_B$ )
Vecteur directeur depuis l'équation $ax+by+c=0$	$\vec{u}(-b\,;a)$
Vecteur normal depuis l'équation $ax+by+c=0$	$\vec{n}(a\,;b)$
Lien pente / vecteur directeur $\vec{u}(a\,;b)$	$m = \dfrac{b}{a}$ (si $a \neq 0$ )
Droite verticale passant par $(x_0;y_0)$	$x = x_0$ (pas d'équation réduite)

✅ Méthodes

➤ Trouver l'équation d'une droite passant par $A(x_A;y_A)$ avec pente $m$

Écrire $y - y_A = m(x - x_A)$
Développer pour obtenir $y = mx + p$

➤ Trouver l'équation à partir de deux points $A$ et $B$

Calculer $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$
Utiliser la méthode ci-dessus avec $A$ et $m$
Si $x_A = x_B$ → droite verticale : $x = x_A$

➤ Montrer que trois points $A$ , $B$ , $C$ sont alignés

Vérifier que $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires : $x_{AB} \times y_{AC} - y_{AB} \times x_{AC} = 0$

➤ Déterminer si deux droites sont parallèles ou sécantes

Comparer les vecteurs directeurs : colinéaires → droites parallèles ; non colinéaires → sécantes

➤ Trouver le point d'intersection de deux droites sécantes

Résoudre le système des deux équations (substitution ou combinaison linéaire)

➤ Tracer une droite $y = mx + p$

Placer le point $(0\,;p)$
Utiliser la pente : avancer de 1 en $x$ , monter de $m$ en $y$

⚠️ Pièges à éviter

Piège	Correction
Oublier les droites verticales $x = k$	Elles n'ont pas de pente ni d'équation réduite !
Confondre vecteur directeur $\vec{u}(-b\,;a)$ et $\vec{n}(a\,;b)$	$\vec{u}(-b\,;a)$ est directeur, $\vec{n}(a\,;b)$ est normal
Inverser le sens dans la pente	$m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ et pas $\dfrac{\Delta x}{\Delta y}$
Conclure « parallèles » sans vérifier si c'est la même droite	Parallèles et distinctes → même pente mais $p$ différent

📌 À retenir

Équation cartésienne $ax+by+c=0$ → vecteur directeur $\vec{u}(-b\,;a)$
Deux droites sont parallèles ⟺ leurs vecteurs directeurs sont colinéaires (⟺ même pente si elles ne sont pas verticales)
Trois points alignés ⟺ les vecteurs formés sont colinéaires (déterminant = 0)
Point d'intersection = solution du système des deux équations
Une droite verticale s'écrit $x = k$ : ne pas l'oublier !

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