Ce chapitre utilise les outils du calcul littéral (chapitre 3) pour résoudre des équations et des inéquations. C'est un chapitre majeur du brevet.
1. Rappel : résoudre une équation du premier degré
Résoudre une équation, c'est trouver la ou les valeurs de x qui rendent l'égalité vraie.
Méthode
On isole x en effectuant les mêmes opérations des deux côtés du signe =.
Ce qu'on fait
Règle
Déplacer un terme de l'autre côté
On change son signe
Diviser par un nombre
On divise les deux côtés
Exemple résolu
Résoudre 5x−3=2x+9.
Étape 1 → On regroupe les termes en x à gauche : 5x−2x=9+3
Étape 2 → On simplifie : 3x=12
Étape 3 → On divise par 3 : x=4
Vérification →5×4−3=17 et 2×4+9=17 ✅
2. L'équation produit nul
C'est la grande nouveauté de la 3ème en matière d'équations.
2.1 La propriété fondamentale
A×B=0⟺A=0ouB=0
Un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul.
C'est logique : si on multiplie deux nombres et que le résultat est 0, c'est forcément qu'au moins un des deux vaut 0.
2.2 Méthode de résolution
2.3 Exemple 1 — L'expression est déjà un produit
Résoudre (2x−6)(x+4)=0.
L'expression est un produit de deux facteurs égal à zéro. On applique directement la propriété :
2x−6=0oux+4=0
Premier facteur :2x−6=0⇒2x=6⇒x=3
Second facteur :x+4=0⇒x=−4
S={−4;3}
2.4 Exemple 2 — Il faut factoriser d'abord
Résoudre x2−25=0.
Étape 1 → Ce n'est pas un produit, c'est une différence. On factorise d'abord :
x2−25=x2−52=(x−5)(x+5)
Étape 2 → L'équation devient (x−5)(x+5)=0. C'est un produit nul :
x−5=0oux+5=0
S={−5;5}
2.5 Exemple 3 — Factorisation par facteur commun
Résoudre (3x+1)(x−2)−(3x+1)(5−x)=0.
Étape 1 → On repère le facteur commun (3x+1) :
=(3x+1)[(x−2)−(5−x)]
Étape 2 → On simplifie le crochet :
(x−2)−(5−x)=x−2−5+x=2x−7
Étape 3 → L'équation devient (3x+1)(2x−7)=0 :
3x+1=0⇒x=−31ou2x−7=0⇒x=27
S={−31;27}
3. Résoudre l'équation x2=a
Cette équation est un cas particulier important. Trois cas se présentent selon le signe de a :
⚠️ Piège classique : quand a>0, il y a deux solutions, a et −a. Ne pas oublier la solution négative !
Exemples résolus
Résoudre x2=36.
36>0 → deux solutions : x=36=6 ou x=−36=−6.
S={−6;6}
Résoudre x2=5.
5>0 → deux solutions : x=5 ou x=−5.
Valeurs approchées : x≈2,236 ou x≈−2,236.
S={−5;5}
Résoudre x2=−9.
−9<0 → aucune solution. Un carré est toujours positif ou nul.
S=∅
Lien avec l'équation produit nul
On peut aussi résoudre x2=a en passant par une factorisation :
x2−a=0⇒x2−(a)2=0⇒(x−a)(x+a)=0
On retrouve bien les deux solutions x=a et x=−a.
Résolution graphique
Résoudre x2=a graphiquement, c'est chercher les intersections de la parabole y=x2 avec la droite horizontale y=a :
Si a>0 : la droite coupe la parabole en deux points → deux solutions.
Si a=0 : la droite touche la parabole en un seul point (le sommet) → une solution.
Si a<0 : la droite est sous la parabole → aucune intersection → aucune solution.
4. Résoudre une inéquation du premier degré
4.1 Qu'est-ce qu'une inéquation ?
Une inéquation est une inégalité contenant une inconnue. Au lieu du signe =, on utilise >, <, ⩾ ou ⩽.
Les solutions ne sont pas un nombre unique mais un ensemble de nombres (un intervalle).
4.2 Règles de résolution
On résout une inéquation comme une équation, avec une règle cruciale en plus :
Opération
Effet sur l'inégalité
Ajouter ou soustraire un même nombre des deux côtés
Le sens ne change pas
Multiplier ou diviser par un nombre positif
Le sens ne change pas
Multiplier ou diviser par un nombre négatif
⚠️ Le sens s'inverse
4.3 Exemple résolu — sans changement de sens
Résoudre 3x+7⩽22.
3x⩽22−7
3x⩽15
x⩽5 (on divise par 3, positif → le sens ne change pas)
Les solutions sont tous les nombres inférieurs ou égaux à5.
Représentation sur une droite graduée :
Solutions : x ≤ 5
💡 Le point plein ● signifie que 5 est inclus (car ⩽). Un point vide ○ signifierait exclu (si c'était <).
4.4 Exemple résolu — avec changement de sens
Résoudre −3x⩾12.
On divise par −3 → ⚠️ le sens s'inverse :
x⩽−312⇒x⩽−4
Représentation :
Solutions : x ≤ −4
4.5 Pourquoi le sens s'inverse ?
Prenons un exemple numérique simple. On sait que 3<5.
Si on multiplie par 2 (positif) : 6<10 ✅ → le sens est conservé.
Si on multiplie par −2 (négatif) : −6>−10 ✅ → le sens s'est inversé !
Sur une droite graduée, multiplier par un négatif retourne les positions : le plus petit devient le plus grand.
5. Modéliser un problème par une équation
Méthode
Étape 1 → Choisir l'inconnue et la nommer (x).
Étape 2 → Traduire l'énoncé en équation (ou inéquation).
Étape 3 → Résoudre.
Étape 4 → Vérifier que la solution a du sens dans le contexte et conclure par une phrase.
Exemple résolu
Problème : Un rectangle a un périmètre de 54 cm. Sa longueur dépasse sa largeur de 7 cm. Quelles sont ses dimensions ?
Étape 1 → On appelle x la largeur (en cm). Alors la longueur est x+7.
Étape 2 → Le périmètre est 2×(longueur+largeur) :
2(x+x+7)=54
Étape 3 → On résout :
2(2x+7)=544x+14=544x=40x=10
Étape 4 → La largeur est 10 cm et la longueur est 10+7=17 cm.
Vérification :2×(10+17)=2×27=54 cm ✅
Exemple avec une inéquation
Problème : Un cinéma propose un abonnement à 25 € puis 3 € par séance, ou un tarif sans abonnement à 8 € par séance. À partir de combien de séances l'abonnement est-il avantageux ?
Étape 1 → On appelle x le nombre de séances.
Étape 2 → L'abonnement est avantageux quand son coût est inférieur au tarif normal :
25+3x<8x
Étape 3 → On résout :
25<8x−3x25<5x5<x
Étape 4 → L'abonnement est avantageux à partir de 6 séances (car x doit être un entier, et x>5).
6. Raisonnement par analyse-synthèse
Ce raisonnement structure la résolution en deux phases :
Phase
Objectif
Ce qu'on fait
Analyse
Trouver les candidats
On suppose qu'une solution x existe et on en déduit sa valeur
Synthèse
Vérifier qu'ils conviennent
On remplace dans l'énoncé pour confirmer
Exemple résolu
Problème : Trouver x tel que l'aire d'un carré de côté (x+3) soit égale à 49.
Analyse : On suppose que x existe. Alors (x+3)2=49.
L'équation X2=49 (avec X=x+3) a deux solutions : X=7 ou X=−7.
Si x+3=7 → x=4
Si x+3=−7 → x=−10
Synthèse : On vérifie dans le contexte.
x=4 : le côté vaut 4+3=7>0, et l'aire est 72=49 ✅
x=−10 : le côté vaut −10+3=−7<0 → impossible, un côté ne peut pas être négatif ❌
Conclusion : La seule solution est x=4.
📌 À retenir
Équation du 1er degré : on isole x en effectuant les mêmes opérations des deux côtés.
Équation produit nul :A×B=0⟺A=0 ou B=0. Si l'expression n'est pas un produit, factoriser d'abord.
Équation x2=a :
a>0 → deux solutions : x=a ou x=−a
a=0 → une solution : x=0
a<0 → aucune solution
Inéquation : on résout comme une équation, mais ⚠️ on inverse le sens quand on multiplie ou divise par un négatif.
Modéliser : choisir l'inconnue → écrire l'équation → résoudre → vérifier dans le contexte.
Analyse-synthèse : trouver les candidats (analyse), puis vérifier qu'ils conviennent (synthèse).
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