Équations et inéquations

Ce chapitre utilise les outils du calcul littéral (chapitre 3) pour résoudre des équations et des inéquations. C'est un chapitre majeur du brevet.

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1. Rappel : résoudre une équation du premier degré

Résoudre une équation, c'est trouver la ou les valeurs de $x$ qui rendent l'égalité vraie.

Méthode

On isole $x$ en effectuant les mêmes opérations des deux côtés du signe $=$.

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Exemple résolu

Résoudre $5x - 3 = 2x + 9$.

• Étape 1 → On regroupe les termes en $x$ à gauche : $5x - 2x = 9 + 3$
• Étape 2 → On simplifie : $3x = 12$
• Étape 3 → On divise par $3$ : $x = 4$
• Vérification → $5 \times 4 - 3 = 17$ et $2 \times 4 + 9 = 17$ ✅

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2. L'équation produit nul

C'est la grande nouveauté de la 3ème en matière d'équations.

2.1 La propriété fondamentale

$\boxed{A \times B = 0 \iff A = 0 \quad \text{ou} \quad B = 0}$

Un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul.

C'est logique : si on multiplie deux nombres et que le résultat est $0$, c'est forcément qu'au moins un des deux vaut $0$.

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2.2 Méthode de résolution

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2.3 Exemple 1 — L'expression est déjà un produit

Résoudre $(2x - 6)(x + 4) = 0$.

L'expression est un produit de deux facteurs égal à zéro. On applique directement la propriété :

$2x - 6 = 0 \quad \text{ou} \quad x + 4 = 0$

Premier facteur : $2x - 6 = 0 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3$

Second facteur : $x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$

$\boxed{S = \{-4\;;\;3\}}$

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2.4 Exemple 2 — Il faut factoriser d'abord

Résoudre $x^2 - 25 = 0$.

Étape 1 → Ce n'est pas un produit, c'est une différence. On factorise d'abord : $x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x - 5)(x + 5)$

Étape 2 → L'équation devient $(x-5)(x+5) = 0$. C'est un produit nul : $x - 5 = 0 \quad \text{ou} \quad x + 5 = 0$

$\boxed{S = \{-5\;;\;5\}}$

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2.5 Exemple 3 — Factorisation par facteur commun

Résoudre $(3x + 1)(x - 2) - (3x + 1)(5 - x) = 0$.

Étape 1 → On repère le facteur commun $(3x + 1)$ : $= (3x+1) \Big[ (x-2) - (5-x) \Big]$

Étape 2 → On simplifie le crochet : $(x-2) - (5-x) = x - 2 - 5 + x = 2x - 7$

Étape 3 → L'équation devient $(3x+1)(2x-7) = 0$ : $3x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{3} \qquad \text{ou} \qquad 2x - 7 = 0 \Rightarrow x = \frac{7}{2}$

$\boxed{S = \left\{-\frac{1}{3}\;;\;\frac{7}{2}\right\}}$

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3. Résoudre l'équation $x^2 = a$

Cette équation est un cas particulier important. Trois cas se présentent selon le signe de $a$ :

⚠️ Piège classique : quand $a > 0$, il y a deux solutions, $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$. Ne pas oublier la solution négative !

Exemples résolus

Résoudre $x^2 = 36$.

• $36 > 0$ → deux solutions : $x = \sqrt{36} = 6$ ou $x = -\sqrt{36} = -6$.
• $S = \{-6\;;\;6\}$

Résoudre $x^2 = 5$.

• $5 > 0$ → deux solutions : $x = \sqrt{5}$ ou $x = -\sqrt{5}$.
• Valeurs approchées : $x \approx 2{,}236$ ou $x \approx -2{,}236$.
• $S = \{-\sqrt{5}\;;\;\sqrt{5}\}$

Résoudre $x^2 = -9$.

• $-9 < 0$ → aucune solution. Un carré est toujours positif ou nul.
• $S = \emptyset$

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Lien avec l'équation produit nul

On peut aussi résoudre $x^2 = a$ en passant par une factorisation :

$x^2 - a = 0 \Rightarrow x^2 - (\sqrt{a})^2 = 0 \Rightarrow (x - \sqrt{a})(x + \sqrt{a}) = 0$

On retrouve bien les deux solutions $x = \sqrt{a}$ et $x = -\sqrt{a}$.

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Résolution graphique

Résoudre $x^2 = a$ graphiquement, c'est chercher les intersections de la parabole $y = x^2$ avec la droite horizontale $y = a$ :

• Si $a > 0$ : la droite coupe la parabole en deux points → deux solutions.
• Si $a = 0$ : la droite touche la parabole en un seul point (le sommet) → une solution.
• Si $a < 0$ : la droite est sous la parabole → aucune intersection → aucune solution.

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4. Résoudre une inéquation du premier degré

4.1 Qu'est-ce qu'une inéquation ?

Une inéquation est une inégalité contenant une inconnue. Au lieu du signe $=$, on utilise $>$, $<$, $\geqslant$ ou $\leqslant$.

Les solutions ne sont pas un nombre unique mais un ensemble de nombres (un intervalle).

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4.2 Règles de résolution

On résout une inéquation comme une équation, avec une règle cruciale en plus :

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4.3 Exemple résolu — sans changement de sens

Résoudre $3x + 7 \leqslant 22$.

• $3x \leqslant 22 - 7$
• $3x \leqslant 15$
• $x \leqslant 5$ (on divise par $3$, positif → le sens ne change pas)

Les solutions sont tous les nombres inférieurs ou égaux à $5$.

Représentation sur une droite graduée :

Solutions : x ≤ 5

💡 Le point plein ● signifie que $5$ est inclus (car $\leqslant$). Un point vide ○ signifierait exclu (si c'était $<$).

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4.4 Exemple résolu — avec changement de sens

Résoudre $-3x \geqslant 12$.

• On divise par $-3$ → ⚠️ le sens s'inverse :

$x \leqslant \frac{12}{-3} \quad \Rightarrow \quad x \leqslant -4$

Représentation :

Solutions : x ≤ −4

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4.5 Pourquoi le sens s'inverse ?

Prenons un exemple numérique simple. On sait que $3 < 5$.

• Si on multiplie par $2$ (positif) : $6 < 10$ ✅ → le sens est conservé.
• Si on multiplie par $-2$ (négatif) : $-6 > -10$ ✅ → le sens s'est inversé !

Sur une droite graduée, multiplier par un négatif retourne les positions : le plus petit devient le plus grand.

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5. Modéliser un problème par une équation

Méthode

Étape 1 → Choisir l'inconnue et la nommer ($x$). Étape 2 → Traduire l'énoncé en équation (ou inéquation). Étape 3 → Résoudre. Étape 4 → Vérifier que la solution a du sens dans le contexte et conclure par une phrase.

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Exemple résolu

Problème : Un rectangle a un périmètre de $54$ cm. Sa longueur dépasse sa largeur de $7$ cm. Quelles sont ses dimensions ?

Étape 1 → On appelle $x$ la largeur (en cm). Alors la longueur est $x + 7$.

Étape 2 → Le périmètre est $2 \times (\text{longueur} + \text{largeur})$ : $2(x + x + 7) = 54$

Étape 3 → On résout : $2(2x + 7) = 54$ $4x + 14 = 54$ $4x = 40$ $x = 10$

Étape 4 → La largeur est $10$ cm et la longueur est $10 + 7 = 17$ cm. Vérification : $2 \times (10 + 17) = 2 \times 27 = 54$ cm ✅

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Exemple avec une inéquation

Problème : Un cinéma propose un abonnement à $25$ € puis $3$ € par séance, ou un tarif sans abonnement à $8$ € par séance. À partir de combien de séances l'abonnement est-il avantageux ?

Étape 1 → On appelle $x$ le nombre de séances.

Étape 2 → L'abonnement est avantageux quand son coût est inférieur au tarif normal : $25 + 3x < 8x$

Étape 3 → On résout : $25 < 8x - 3x$ $25 < 5x$ $5 < x$

Étape 4 → L'abonnement est avantageux à partir de $6$ séances (car $x$ doit être un entier, et $x > 5$).

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6. Raisonnement par analyse-synthèse

Ce raisonnement structure la résolution en deux phases :

Exemple résolu

Problème : Trouver $x$ tel que l'aire d'un carré de côté $(x + 3)$ soit égale à $49$.

Analyse : On suppose que $x$ existe. Alors $(x + 3)^2 = 49$.

L'équation $X^2 = 49$ (avec $X = x+3$) a deux solutions : $X = 7$ ou $X = -7$.

• Si $x + 3 = 7$ → $x = 4$
• Si $x + 3 = -7$ → $x = -10$

Synthèse : On vérifie dans le contexte.

• $x = 4$ : le côté vaut $4 + 3 = 7 > 0$, et l'aire est $7^2 = 49$ ✅
• $x = -10$ : le côté vaut $-10 + 3 = -7 < 0$ → impossible, un côté ne peut pas être négatif ❌

Conclusion : La seule solution est $x = 4$.

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📌 À retenir

1. Équation du 1er degré : on isole $x$ en effectuant les mêmes opérations des deux côtés.

2. Équation produit nul : $A \times B = 0 \iff A = 0$ ou $B = 0$. Si l'expression n'est pas un produit, factoriser d'abord.

3. Équation $x^2 = a$ :

   • $a > 0$ → deux solutions : $x = \sqrt{a}$ ou $x = -\sqrt{a}$
   • $a = 0$ → une solution : $x = 0$
   • $a < 0$ → aucune solution

4. Inéquation : on résout comme une équation, mais ⚠️ on inverse le sens quand on multiplie ou divise par un négatif.

5. Modéliser : choisir l'inconnue → écrire l'équation → résoudre → vérifier dans le contexte.

6. Analyse-synthèse : trouver les candidats (analyse), puis vérifier qu'ils conviennent (synthèse).