Fiche de révision — Équations et inéquations
📖 Définitions clés
| Terme | Définition |
|---|
| Équation du 1er degré | Égalité avec une inconnue x de la forme ax+b=0 |
| Équation produit nul | Équation de la forme A×B=0, où A et B sont des expressions |
| Inéquation | Inégalité comportant une inconnue (≤, ≥, <, >) |
| Résolution graphique | Trouver la solution en lisant les coordonnées du point d'intersection de deux courbes |
📐 Formules essentielles
| Situation | Règle / Résultat |
|---|
| A×B=0 | A=0 ou B=0 (au moins un facteur est nul) |
| x2=a avec a>0 | Deux solutions : x=a ou x=−a |
| x2=0 | Une solution : x=0 |
| x2=a avec a<0 | Aucune solution (un carré est toujours ≥0) |
| Inéquation : multiplication ou division par un nombre négatif | On inverse le sens de l'inégalité |
✅ Méthodes
① Équation produit nul
- Mettre tout d'un côté pour avoir …=0
- Factoriser l'expression (identité remarquable, facteur commun…)
- Appliquer : A×B=0⇒A=0 ou B=0
- Résoudre chaque petite équation séparément
② Résoudre x2=a
- Regarder le signe de a
- Si a>0 → écrire les deux solutions : x=a et x=−a
③ Inéquation du 1er degré (ex : −3x+6≥0)
- Isoler le terme en x : −3x≥−6
- Diviser par −3 → on inverse : x≤2
- Écrire l'ensemble de solutions et représenter sur une droite graduée
④ Résolution graphique
- Lire le(s) point(s) d'intersection des deux courbes
- L'abscisse du point d'intersection = solution de l'équation
- Pour une inéquation : repérer la zone où une courbe est au-dessus/en-dessous de l'autre
⑤ Problème avec modélisation
- Définir l'inconnue x (avec son unité)
- Mettre en équation / inéquation
- Résoudre
- Vérifier que la solution a du sens dans le contexte (pas de longueur négative, etc.)
⚠️ Pièges à éviter
| Piège | Ce qu'il faut faire |
|---|
| x2=9⇒x=3 ✗ | Penser à la solution négative : x=3 ou x=−3 |
| Appliquer le produit nul sans factoriser | Toujours factoriser d'abord, puis appliquer A×B=0 |
| Diviser par −2 sans changer le sens | Si on multiplie/divise par un négatif → on retourne l'inégalité |
| Diviser par une expression contenant x | Interdit : elle peut être nulle ! On factorise à la place |
| Donner une réponse absurde | Toujours vérifier le contexte (une distance n'est pas négative, un âge non plus…) |
📌 À retenir
- Produit nul = il faut factoriser avant tout, puis résoudre chaque facteur =0.
- x2=a avec a>0 donne toujours deux solutions opposées.
- On inverse le sens d'une inégalité quand on multiplie ou divise par un nombre strictement négatif.
- Jamais diviser par une expression qui peut valoir zéro.
- En problème, toujours vérifier que la solution est cohérente avec l'énoncé.