Équations et inéquations

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Fiche de révision

Terme	Définition
Équation du 1er degré	Égalité avec une inconnue $x$ de la forme $ax + b = 0$
Équation produit nul	Équation de la forme $A \times B = 0$ , où $A$ et $B$ sont des expressions
Inéquation	Inégalité comportant une inconnue ( $\leq$ , $\geq$ , $<$ , $>$ )
Résolution graphique	Trouver la solution en lisant les coordonnées du point d'intersection de deux courbes

Situation	Règle / Résultat
$A \times B = 0$	$A = 0$ ou $B = 0$ (au moins un facteur est nul)
$x^2 = a$ avec $a > 0$	Deux solutions : $x = \sqrt{a}$ ou $x = -\sqrt{a}$
$x^2 = 0$	Une solution : $x = 0$
$x^2 = a$ avec $a < 0$	Aucune solution (un carré est toujours $\geq 0$ )
Inéquation : multiplication ou division par un nombre négatif	On inverse le sens de l'inégalité

① Équation produit nul

② Résoudre $x^2 = a$

③ Inéquation du 1er degré (ex : $-3x + 6 \geq 0$ )

④ Résolution graphique

Lire le(s) point(s) d'intersection des deux courbes
L'abscisse du point d'intersection = solution de l'équation
Pour une inéquation : repérer la zone où une courbe est au-dessus/en-dessous de l'autre

⑤ Problème avec modélisation

Définir l'inconnue $x$ (avec son unité)
Mettre en équation / inéquation
Résoudre
Vérifier que la solution a du sens dans le contexte (pas de longueur négative, etc.)

Piège	Ce qu'il faut faire
$x^2 = 9 \Rightarrow x = 3$ ✗	Penser à la solution négative : $x = 3$ ou $x = -3$
Appliquer le produit nul sans factoriser	Toujours factoriser d'abord, puis appliquer $A \times B = 0$
Diviser par $-2$ sans changer le sens	Si on multiplie/divise par un négatif → on retourne l'inégalité
Diviser par une expression contenant $x$	Interdit : elle peut être nulle ! On factorise à la place
Donner une réponse absurde	Toujours vérifier le contexte (une distance n'est pas négative, un âge non plus…)

Produit nul = il faut factoriser avant tout, puis résoudre chaque facteur $= 0$ .
$x^2 = a$ avec $a > 0$ donne toujours deux solutions opposées.
On inverse le sens d'une inégalité quand on multiplie ou divise par un nombre strictement négatif.
Jamais diviser par une expression qui peut valoir zéro.
En problème, toujours vérifier que la solution est cohérente avec l'énoncé.

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