Fonction exponentielle

Un capital placé à taux fixe, une population de bactéries, la désintégration d'un noyau radioactif, la décharge d'un condensateur : tous ces phénomènes ont un point commun. Leur vitesse de variation est proportionnelle à la quantité présente. Plus il y a de bactéries, plus il en naît ; plus il y a de noyaux, plus il s'en désintègre.

Traduit avec les dérivées, cela donne une équation du type $f' = k f$. La fonction qui résout le cas le plus simple, $f' = f$, est la fonction exponentielle. C'est l'une des fonctions les plus importantes des mathématiques et des sciences, et l'objet de ce chapitre.

1. Définition

1.1 La fonction exponentielle

On admet qu'il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que

$\boxed{f' = f \qquad \text{et} \qquad f(0) = 1}$

Cette fonction s'appelle la fonction exponentielle, notée $\exp$. Ainsi, pour tout réel $x$ : $\exp'(x) = \exp(x)$ et $\exp(0) = 1$.

La fonction exponentielle est donc sa propre dérivée : en tout point de sa courbe, la pente de la tangente est égale à l'ordonnée du point. C'est ce qui la rend unique et si utile.

1.2 Dérivée de $t \mapsto e^{at}$

On admet aussi que, pour tout réel $a$, la fonction $g(t) = \exp(at)$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et

$\boxed{g'(t) = a \exp(at)}$

Cette formule sera utilisée en permanence, en physique comme en mathématiques.

2. Propriétés algébriques

2.1 La relation fonctionnelle

Pour tous réels $x$ et $y$ :

$\boxed{\exp(x + y) = \exp(x) \times \exp(y)} \qquad \boxed{\exp(x) \times \exp(-x) = 1}$

La première égalité transforme une somme en produit. La seconde en est le cas particulier $y = -x$ (car $\exp(0) = 1$) ; elle montre que $\exp(x)$ n'est jamais nul et que $\exp(-x) = \dfrac{1}{\exp(x)}$.

Pourquoi $\exp(x)\exp(-x) = 1$ (démonstration, non exigible). Posons $g(x) = \exp(x)\exp(-x)$. C'est un produit, de dérivée $g'(x) = \exp(x)\exp(-x) + \exp(x) \times (-\exp(-x)) = 0$. Une fonction de dérivée nulle sur $\mathbb{R}$ est constante : $g(x) = g(0) = 1 \times 1 = 1$.

2.2 Le nombre $e$ et la notation $e^x$

On note $e = \exp(1) \approx 2{,}718$. De $\exp(n) = \exp(1 + 1 + \cdots + 1) = e \times e \times \cdots \times e = e^n$ pour $n$ entier, on généralise la notation à tout réel :

$\boxed{\exp(x) = e^x}$

Avec cette notation, les propriétés algébriques ressemblent exactement aux règles sur les puissances. Pour tous réels $x$, $y$ et tout entier $n$ :

Exemples de transformations :

• $e^{2x} \times e^{-x} = e^{2x - x} = e^x$.
• $(e^x)^2 = e^{2x}$ et $\dfrac{e^{x + 1}}{e^{x - 1}} = e^{(x+1) - (x-1)} = e^2$.
• $(e^x - 1)(e^x + 1) = e^{2x} - 1$ (identité remarquable).
• $\dfrac{1}{e^{-3x}} = e^{3x}$.

3. Signe, variations et courbe

3.1 Signe

Pour tout réel $x$ : $e^x = e^{\frac{x}{2} + \frac{x}{2}} = \left(e^{x/2}\right)^2 \geqslant 0$, et $e^x \neq 0$. Donc

$\boxed{e^x > 0 \quad \text{pour tout réel } x}$

L'exponentielle est strictement positive sur $\mathbb{R}$ : sa courbe est entièrement au-dessus de l'axe des abscisses.

3.2 Variations

La dérivée de $\exp$ est $\exp$ elle-même, strictement positive : la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Deux conséquences essentielles pour résoudre des équations et des inéquations : pour tous réels $a$ et $b$,

$\boxed{e^a = e^b \iff a = b} \qquad \boxed{e^a < e^b \iff a < b}$

Exemples : $e^{2x} = e^{x + 3} \iff 2x = x + 3 \iff x = 3$. Et $e^{3x - 1} > 1 = e^0 \iff 3x - 1 > 0 \iff x > \dfrac{1}{3}$.

3.3 Courbe représentative

La courbe passe par $(0\,;\,1)$, où sa tangente a pour pente $\exp'(0) = e^0 = 1$ : c'est la droite $y = x + 1$. Elle passe aussi par $(1\,;\,e)$. Vers la gauche, elle s'approche de l'axe des abscisses sans jamais le toucher ; vers la droite, elle monte de plus en plus vite.

3.4 Une inégalité classique : $e^x \geqslant x + 1$

Soit $g(x) = e^x - x - 1$. Alors $g'(x) = e^x - 1$, qui est négative pour $x < 0$ et positive pour $x > 0$ (car $e^x < 1 \iff x < 0$). Donc $g$ décroît puis croît, avec un minimum $g(0) = 1 - 0 - 1 = 0$. Ainsi $g(x) \geqslant 0$, c'est-à-dire $e^x \geqslant x + 1$ pour tout réel $x$ : la courbe est toujours au-dessus de sa tangente en $0$.

4. Les fonctions $t \mapsto e^{kt}$ et $t \mapsto e^{-kt}$

Soit $k > 0$. Ces deux fonctions sont les modèles de base de la croissance et de la décroissance exponentielles.

Les deux courbes sont symétriques l'une de l'autre par rapport à l'axe des ordonnées, puisque $e^{-kt}$ est la valeur de $e^{kt}$ en $-t$. Plus $k$ est grand, plus la croissance (ou la décroissance) est rapide.

Exemple avec $k = 0{,}5$ : $e^{0{,}5 \times 1} \approx 1{,}65$ et $e^{0{,}5 \times 2} = e \approx 2{,}72$ ; $e^{-0{,}5 \times 1} \approx 0{,}61$ et $e^{-0{,}5 \times 2} = e^{-1} \approx 0{,}37$.

5. Exponentielle et suites géométriques

Soit $a$ un réel et $u_n = e^{an}$ pour $n$ entier naturel. Alors $u_{n+1} = e^{a(n+1)} = e^{an} \times e^a = e^a \times u_n$ : la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q = e^a > 0$ et de premier terme $1$.

Réciproquement, toute suite géométrique de raison $q > 0$ est « la version à temps discret » d'une fonction exponentielle : on lit les valeurs de $t \mapsto e^{at}$ aux instants entiers, avec $e^a = q$.

Exemple : capital à taux fixe. Un capital de $1\,000$ € placé à $2\,\%$ par an vaut $u_n = 1000 \times 1{,}02^n$ après $n$ années (chapitre sur les suites). Le modèle continu correspondant est $C(t) = 1000\,e^{kt}$ avec $e^k = 1{,}02$, soit $k \approx 0{,}0198$ : les deux modèles coïncident aux instants entiers, et le modèle continu donne aussi la valeur du capital en cours d'année.

Exemple : décroissance radioactive. Le nombre de noyaux d'un échantillon radioactif décroît selon $N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$, où $\lambda > 0$ est la constante radioactive. La dérivée $N'(t) = -\lambda N(t)$ traduit la loi physique : la vitesse de désintégration est proportionnelle au nombre de noyaux présents.

6. Algorithmes

6.1 Construire l'exponentielle par la méthode d'Euler

L'idée : comme $f' = f$, on avance par petits pas $h$ en utilisant l'approximation affine $f(t + h) \approx f(t) + h f'(t) = f(t) + h f(t) = (1 + h) f(t)$. En partant de $f(0) = 1$, on obtient une suite de valeurs approchées.

def euler(h, n):
    y = 1.0                 # f(0) = 1
    valeurs = [y]
    for k in range(n):
        y = (1 + h) * y     # f(t + h) ≈ (1 + h) f(t)
        valeurs.append(y)
    return valeurs          # valeurs approchées de e^0, e^h, e^(2h), ..., e^(nh)

# euler(0.1, 10)[-1] ≈ 2,594 (valeur approchée de e^1)
# euler(0.01, 100)[-1] ≈ 2,705

Plus le pas $h$ est petit, plus l'approximation est précise. Avec $h = 0{,}1$ et $10$ pas, on obtient $1{,}1^{10} \approx 2{,}594$ pour $e$ ; avec $h = 0{,}01$ et $100$ pas, $1{,}01^{100} \approx 2{,}705$.

6.2 Une valeur approchée de $e$

Le calcul précédent avec $h = \dfrac{1}{n}$ et $n$ pas donne $\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$ comme valeur approchée de $e$. Cette suite se rapproche de $e$ quand $n$ grandit.

def approx_e(n):
    return (1 + 1 / n) ** n

# approx_e(10) = 2,594 ; approx_e(100) = 2,705 ; approx_e(1000) = 2,717 ; approx_e(10**6) = 2,71828

7. Étude d'une fonction avec exponentielle

Exemple : $f(x) = (x - 1)e^x$ sur $\mathbb{R}$.

Produit avec $u = x - 1$, $u' = 1$, $v = e^x$, $v' = e^x$ : $f'(x) = 1 \times e^x + (x - 1)e^x = (1 + x - 1)e^x = x\,e^x$.

Comme $e^x > 0$, $f'(x)$ est du signe de $x$ : négative sur $]-\infty\,;\,0[$, positive sur $]0\,;\,+\infty[$. La fonction $f$ décroît puis croît et admet un minimum en $0$, qui vaut $f(0) = -1$.

🎯 Réflexe à acquérir : après avoir dérivé une expression contenant $e^x$, on factorise par $e^x$. Comme $e^x > 0$, le signe de la dérivée est celui du facteur restant.

8. Exemple résolu pas à pas

Énoncé. Un médicament est injecté à un patient. La quantité présente dans le sang, en mg, au bout de $t$ heures est $Q(t) = 100\,e^{-0{,}2t}$.

1. Quelle quantité a été injectée ? Quelle quantité reste-t-il au bout de $5$ heures ?
2. Calculer $Q'(t)$ et en déduire le sens de variation de $Q$. Interpréter $Q'(0)$.
3. Vérifier que $Q'(t) = -0{,}2\,Q(t)$ et interpréter cette relation.

Résolution.

1. $Q(0) = 100\,e^0 = 100$ mg. Au bout de $5$ h : $Q(5) = 100\,e^{-1} \approx 100 \times 0{,}368 \approx 36{,}8$ mg. Il reste environ $37\,\%$ de la dose.

2. $Q'(t) = 100 \times (-0{,}2)\,e^{-0{,}2t} = -20\,e^{-0{,}2t}$. Comme $e^{-0{,}2t} > 0$, $Q'(t) < 0$ pour tout $t$ : $Q$ est strictement décroissante, la quantité de médicament diminue sans cesse. $Q'(0) = -20$ : à l'instant de l'injection, la quantité diminue à la vitesse de $20$ mg par heure.

3. $-0{,}2\,Q(t) = -0{,}2 \times 100\,e^{-0{,}2t} = -20\,e^{-0{,}2t} = Q'(t)$. La vitesse d'élimination est proportionnelle à la quantité présente : à chaque instant, l'organisme élimine $20\,\%$ de ce qui reste par heure. C'est exactement la situation modélisée par une exponentielle.

📌 À retenir

1. $\exp$ est l'unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $\exp' = \exp$ et $\exp(0) = 1$ ; on note $\exp(x) = e^x$ avec $e \approx 2{,}718$.
2. Règles de calcul comme pour les puissances : $e^{x+y} = e^x e^y$, $e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}$, $e^{x-y} = \dfrac{e^x}{e^y}$, $(e^x)^n = e^{nx}$, $e^0 = 1$.
3. $e^x > 0$ pour tout $x$ ; $\exp$ est strictement croissante : $e^a = e^b \iff a = b$ et $e^a < e^b \iff a < b$.
4. $(e^{at})' = a\,e^{at}$ ; pour $k > 0$, $e^{kt}$ est croissante et $e^{-kt}$ décroissante, toutes deux valent $1$ en $0$.
5. $u_n = e^{an}$ est géométrique de raison $e^a$ : l'exponentielle est la version continue d'une évolution à taux constant.
6. Après dérivation, factoriser par $e^x$ pour lire le signe. Euler : $f(t + h) \approx (1 + h)f(t)$ ; $\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n \to e$.