🔢 Mathématiques (spécialité)1ereFiche de révision

Fonction exponentielle

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Fiche de révision

📝 Fiche de révision — Fonction exponentielle

📖 Définitions clés

Terme	Définition
Fonction exponentielle $\exp$	L'unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $\exp' = \exp$ et $\exp(0) = 1$ (existence et unicité admises)
Nombre $e$	$e = \exp(1) \approx 2{,}718$
Notation $e^x$	$e^x = \exp(x)$ pour tout réel $x$ ; les règles sont celles des puissances
Relation fonctionnelle	$e^{x + y} = e^x \times e^y$ : une somme devient un produit

📐 Formules essentielles

Formule	Usage
$\exp' = \exp$ , c'est-à-dire $(e^x)' = e^x$	L'exponentielle est sa propre dérivée
$(e^{at})' = a\,e^{at}$	Dérivée de $e^{kt}$ , $e^{-kt}$ , $e^{0{,}2t}$ …
$e^{x + y} = e^x e^y$	Transformer somme ↔ produit
$e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}$ , $e^x e^{-x} = 1$	L'exponentielle ne s'annule jamais
$e^{x - y} = \dfrac{e^x}{e^y}$	Quotient d'exponentielles
$(e^x)^n = e^{nx}$	Puissance d'une exponentielle
$e^0 = 1$ , $e^1 = e$	Valeurs particulières
$e^x > 0$ pour tout $x$	Signe : sert à lire le signe d'une dérivée factorisée par $e^x$
$e^a = e^b \iff a = b$ ; $e^a < e^b \iff a < b$	Résoudre équations et inéquations (stricte croissance)
$e^x \geqslant x + 1$	La courbe est au-dessus de sa tangente en $0$

📊 Variations et courbe

$\exp$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ et strictement positive.
Courbe : passe par $(0\,;\,1)$ avec la tangente $y = x + 1$ , et par $(1\,;\,e)$ ; s'approche de l'axe des abscisses vers la gauche, monte très vite vers la droite.
Pour $k > 0$ : $t \mapsto e^{kt}$ croissante (dérivée $ke^{kt} > 0$ ), $t \mapsto e^{-kt}$ décroissante (dérivée $-ke^{-kt} < 0$ ) ; les deux valent $1$ en $0$ et sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$e^x$	$0{,}14$	$0{,}37$	$1$	$2{,}72$	$7{,}39$

🔗 Lien avec les suites géométriques

$u_n = e^{an}$ vérifie $u_{n+1} = e^a \times u_n$ : suite géométrique de raison $e^a$ . Une évolution à taux constant (capital $\times 1{,}02$ par an) est le modèle discret ; $C(t) = C_0 e^{kt}$ avec $e^k = 1{,}02$ est le modèle continu. Décroissance radioactive : $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ , avec $N' = -\lambda N$ .

✅ Méthodes

Simplifier une expression : tout écrire avec $e^{\ldots}$ , puis appliquer les règles des puissances (exposants qui s'ajoutent dans un produit, se soustraient dans un quotient, se multiplient dans une puissance).

Résoudre $e^{A} = e^{B}$ ou $e^{A} < e^{B}$ : remplacer par $A = B$ ou $A < B$ (stricte croissance). Écrire $1 = e^0$ si besoin.

Dériver et étudier une fonction avec $e^x$ :

Dériver avec les règles (produit, $(e^{at})' = ae^{at}$ ).
Factoriser par l'exponentielle.
Comme $e^{\ldots} > 0$ , le signe de la dérivée est celui de l'autre facteur.
Tableau de variations.

Modéliser : croissance à taux constant ⟹ $C_0 e^{kt}$ avec $k > 0$ ; décroissance ⟹ $C_0 e^{-kt}$ . La dérivée est proportionnelle à la fonction : $f' = kf$ .

🐍 Python

def euler(h, n):            # construit e^x pas à pas : f(t + h) ≈ (1 + h) f(t)
    y = 1.0
    for k in range(n):
        y = (1 + h) * y
    return y                # ≈ e^(n h) ; euler(0.01, 100) ≈ 2,705

def approx_e(n):
    return (1 + 1 / n) ** n # approx_e(10**6) ≈ 2,71828

⚠️ Pièges à éviter

Piège	Correction
$e^{x + y} = e^x + e^y$	Non : $e^{x + y} = e^x \times e^y$
$(e^{2x})' = e^{2x}$	$(e^{at})' = a\,e^{at}$ , donc $2e^{2x}$
$e^x = 0$ a une solution	Jamais : $e^x > 0$ pour tout $x$
Conclure sur le signe de $f'$ sans factoriser	Factoriser par $e^x$ , puis étudier le facteur restant
$e^{-x}$ négatif	$e^{-x} = \dfrac{1}{e^x} > 0$ ; le signe « moins » est dans l'exposant
Confondre $e^{kt}$ et $e^{-kt}$	$k > 0$ : $e^{kt}$ croît, $e^{-kt}$ décroît

📌 À retenir

$\exp' = \exp$ , $\exp(0) = 1$ , $e \approx 2{,}718$ .
Règles des puissances : $e^{x+y} = e^x e^y$ , $e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}$ , $(e^x)^n = e^{nx}$ .
$e^x > 0$ , strictement croissante : $e^a = e^b \iff a = b$ .
$(e^{at})' = ae^{at}$ ; factoriser par $e^x$ pour lire un signe.
$e^{an}$ est géométrique de raison $e^a$ : l'exponentielle modélise les évolutions à taux constant.

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