Fonctions Affines

1. Définition et vocabulaire

1.1 Fonction affine

Une fonction affine est une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$\boxed{f(x) = mx + p}$

où $m$ et $p$ sont deux réels fixés.

• $m$ est le coefficient directeur (ou pente)
• $p$ est l'ordonnée à l'origine (la valeur de $f(0)$)

---

1.2 Cas particuliers

Exemple : La fonction $f(x) = -2x + 7$ est affine avec $m = -2$ et $p = 7$.

2. Représentation graphique

2.1 La courbe d'une fonction affine est une droite

La représentation graphique de $f(x) = mx + p$ est une droite notée souvent $\mathcal{D}$.

• La droite coupe l'axe des ordonnées au point $(0\,;\,p)$.
• Le coefficient $m$ indique la « pente » de la droite.

---

📏 Lecture graphique de $m$ et $p$ :

• $p$ = ordonnée du point d'intersection avec l'axe des ordonnées
• $m$ = « quand $x$ augmente de $1$, $y$ augmente de $m$ »

---

2.2 Calculer $m$ à partir de deux points

Si la droite passe par deux points $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$ avec $x_A \neq x_B$ :

$\boxed{m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}}$

Exemple résolu : Une droite passe par $A(1\,;\,3)$ et $B(4\,;\,9)$.

$m = \frac{9 - 3}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$

Puis on détermine $p$ : $f(x) = 2x + p$. Comme $A(1\,;\,3)$ est sur la droite : $3 = 2 \times 1 + p$, donc $p = 1$.

Conclusion : $f(x) = 2x + 1$.

---

2.3 Tracer une droite

Méthode : pour tracer la droite $y = mx + p$, il suffit de deux points.

Exemple : Tracer $f(x) = -\frac{1}{2}x + 3$.

• Point 1 : $x = 0 \implies f(0) = 3$ → point $(0\,;\,3)$
• Point 2 : $x = 2 \implies f(2) = -1 + 3 = 2$ → point $(2\,;\,2)$
• On trace la droite passant par ces deux points.

3. Sens de variation

Le sens de variation d'une fonction affine $f(x) = mx + p$ dépend uniquement du signe de $m$ :

---

🎯 Interprétation du coefficient directeur :

$m$ est le taux d'accroissement de $f$ : quand $x$ augmente de $1$, $f(x)$ augmente de $m$ (ou diminue de $|m|$ si $m < 0$).

Pour deux réels quelconques $x_1 \neq x_2$ : $m = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$.

---

Conséquence pour comparer des images :

Si $m > 0$ ($f$ croissante) et $a < b$, alors $f(a) < f(b)$.

Si $m < 0$ ($f$ décroissante) et $a < b$, alors $f(a) > f(b)$.

Exemple : Soit $f(x) = -3x + 10$. Comme $m = -3 < 0$, $f$ est décroissante. Donc si $a < b$, alors $f(a) > f(b)$.

En particulier : $2 < 5 \implies f(2) = 4 > f(5) = -5$ ✔️

---

4. Signe d'une fonction affine

4.1 Racine d'une fonction affine

Soit $f(x) = mx + p$ avec $m \neq 0$. La racine (ou zéro) de $f$ est la valeur $x_0$ telle que $f(x_0) = 0$ :

$f(x_0) = 0 \iff mx_0 + p = 0 \iff \boxed{x_0 = -\frac{p}{m}}$

Exemple : $f(x) = 2x - 6$ → $x_0 = -\frac{-6}{2} = 3$. La droite coupe l'axe des abscisses en $x = 3$.

---

4.2 Tableau de signes

Le signe de $f(x) = mx + p$ (avec $m \neq 0$) change de part et d'autre de la racine $x_0 = -\frac{p}{m}$.

Si $m > 0$ : $f$ est d'abord négative, puis positive.

Si $m < 0$ : $f$ est d'abord positive, puis négative.

---

🎯 Moyen mnémotechnique : le signe de $f(x) = mx + p$ est le même que le signe de $m$ pour les grandes valeurs de $x$ (quand $x \to +\infty$).

---

Exemple résolu complet : Dresser le tableau de signes de $f(x) = -3x + 12$.

1. Racine : $x_0 = -\frac{12}{-3} = 4$
2. $m = -3 < 0$ → positif puis négatif

Vérification : $f(0) = 12 > 0$ ✔️ et $f(5) = -3 > 0$... non, $f(5) = -15 + 12 = -3 < 0$ ✔️

---

4.3 Résoudre une inéquation du premier degré graphiquement

Exemple : Résoudre $-3x + 12 > 0$.

D'après le tableau de signes ci-dessus : $f(x) > 0$ pour $x < 4$.

Ensemble des solutions : $S = ]-\infty\,;\,4[$.

---

5. Déterminer une fonction affine

5.1 À partir de deux images

Méthode : si on connaît $f(x_1) = y_1$ et $f(x_2) = y_2$, on calcule $m$ puis $p$.

Exemple résolu : Trouver $f$ affine telle que $f(2) = 5$ et $f(-1) = -1$.

1. $m = \frac{-1 - 5}{-1 - 2} = \frac{-6}{-3} = 2$
2. $f(x) = 2x + p$. Avec $f(2) = 5$ : $5 = 4 + p$, donc $p = 1$.
3. Conclusion : $f(x) = 2x + 1$.

---

5.2 À partir d'un point et de la pente

Exemple résolu : La droite $\mathcal{D}$ a pour pente $m = -\frac{1}{2}$ et passe par $A(4\,;\,1)$. Trouver son équation.

$f(x) = -\frac{1}{2}x + p$. Comme $f(4) = 1$ : $-2 + p = 1$, donc $p = 3$.

Conclusion : $f(x) = -\frac{1}{2}x + 3$.

---

📌 À retenir

1. Fonction affine : $f(x) = mx + p$ — sa courbe est une droite.
2. Coefficient directeur : $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ — c'est la pente de la droite.
3. Sens de variation : $m > 0$ → croissante ; $m < 0$ → décroissante.
4. Racine : $x_0 = -\frac{p}{m}$ — c'est le point où la droite coupe l'axe des abscisses.
5. Signe : le signe de $f(x)$ change en $x_0$ ; il est celui de $m$ pour $x$ grand.
6. Pour déterminer $f$, il suffit de deux informations (deux points, ou un point et la pente).