Fonctions Affines
1. Définition et vocabulaire
1.1 Fonction affine
Une fonction affine est une fonction f définie sur R par :
f(x)=mx+p
où m et p sont deux réels fixés.
- m est le coefficient directeur (ou pente)
- p est l'ordonnée à l'origine (la valeur de f(0))
1.2 Cas particuliers
| Condition | Type de fonction | Exemple | Particularité |
|---|
| m=0, p=0 | Fonction affine (cas général) | f(x)=3x+2 | — |
| p=0 | Fonction linéaire | f(x)=3x | La droite passe par l'origine |
| m=0 | Fonction constante | f(x)=5 | La droite est horizontale |
Exemple : La fonction f(x)=−2x+7 est affine avec m=−2 et p=7.
2. Représentation graphique
2.1 La courbe d'une fonction affine est une droite
La représentation graphique de f(x)=mx+p est une droite notée souvent D.
- La droite coupe l'axe des ordonnées au point (0;p).
- Le coefficient m indique la « pente » de la droite.
📏 Lecture graphique de m et p :
- p = ordonnée du point d'intersection avec l'axe des ordonnées
- m = « quand x augmente de 1, y augmente de m »
2.2 Calculer m à partir de deux points
Si la droite passe par deux points A(xA;yA) et B(xB;yB) avec xA=xB :
m=xB−xAyB−yA
Exemple résolu : Une droite passe par A(1;3) et B(4;9).
m=4−19−3=36=2
Puis on détermine p : f(x)=2x+p. Comme A(1;3) est sur la droite : 3=2×1+p, donc p=1.
Conclusion : f(x)=2x+1.
2.3 Tracer une droite
Méthode : pour tracer la droite y=mx+p, il suffit de deux points.
Exemple : Tracer f(x)=−21x+3.
- Point 1 : x=0⟹f(0)=3 → point (0;3)
- Point 2 : x=2⟹f(2)=−1+3=2 → point (2;2)
- On trace la droite passant par ces deux points.
3. Sens de variation
Le sens de variation d'une fonction affine f(x)=mx+p dépend uniquement du signe de m :
| Signe de m | Variation | Interprétation graphique |
|---|
| m>0 | f est strictement croissante | La droite « monte » |
| m<0 | f est strictement décroissante | La droite « descend » |
| m=0 | f est constante | La droite est horizontale |
🎯 Interprétation du coefficient directeur :
m est le taux d'accroissement de f : quand x augmente de 1, f(x) augmente de m (ou diminue de ∣m∣ si m<0).
Pour deux réels quelconques x1=x2 : m=x2−x1f(x2)−f(x1).
Conséquence pour comparer des images :
Si m>0 (f croissante) et a<b, alors f(a)<f(b).
Si m<0 (f décroissante) et a<b, alors f(a)>f(b).
Exemple : Soit f(x)=−3x+10. Comme m=−3<0, f est décroissante. Donc si a<b, alors f(a)>f(b).
En particulier : 2<5⟹f(2)=4>f(5)=−5 ✔️
4. Signe d'une fonction affine
4.1 Racine d'une fonction affine
Soit f(x)=mx+p avec m=0. La racine (ou zéro) de f est la valeur x0 telle que f(x0)=0 :
f(x0)=0⟺mx0+p=0⟺x0=−mp
Exemple : f(x)=2x−6 → x0=−2−6=3. La droite coupe l'axe des abscisses en x=3.
4.2 Tableau de signes
Le signe de f(x)=mx+p (avec m=0) change de part et d'autre de la racine x0=−mp.
Si m>0 : f est d'abord négative, puis positive.
| x | −∞ | | x0 | | +∞ |
|---|
| f(x) | | − | 0 | + | |
Si m<0 : f est d'abord positive, puis négative.
| x | −∞ | | x0 | | +∞ |
|---|
| f(x) | | + | 0 | − | |
🎯 Moyen mnémotechnique : le signe de f(x)=mx+p est le même que le signe de m pour les grandes valeurs de x (quand x→+∞).
Exemple résolu complet : Dresser le tableau de signes de f(x)=−3x+12.
- Racine : x0=−−312=4
- m=−3<0 → positif puis négatif
| x | −∞ | | 4 | | +∞ |
|---|
| f(x)=−3x+12 | | + | 0 | − | |
Vérification : f(0)=12>0 ✔️ et f(5)=−3>0... non, f(5)=−15+12=−3<0 ✔️
4.3 Résoudre une inéquation du premier degré graphiquement
Exemple : Résoudre −3x+12>0.
D'après le tableau de signes ci-dessus : f(x)>0 pour x<4.
Ensemble des solutions : S=]−∞;4[.
5. Déterminer une fonction affine
5.1 À partir de deux images
Méthode : si on connaît f(x1)=y1 et f(x2)=y2, on calcule m puis p.
Exemple résolu : Trouver f affine telle que f(2)=5 et f(−1)=−1.
- m=−1−2−1−5=−3−6=2
- f(x)=2x+p. Avec f(2)=5 : 5=4+p, donc p=1.
- Conclusion : f(x)=2x+1.
5.2 À partir d'un point et de la pente
Exemple résolu : La droite D a pour pente m=−21 et passe par A(4;1). Trouver son équation.
f(x)=−21x+p. Comme f(4)=1 : −2+p=1, donc p=3.
Conclusion : f(x)=−21x+3.
📌 À retenir
- Fonction affine : f(x)=mx+p — sa courbe est une droite.
- Coefficient directeur : m=xB−xAyB−yA — c'est la pente de la droite.
- Sens de variation : m>0 → croissante ; m<0 → décroissante.
- Racine : x0=−mp — c'est le point où la droite coupe l'axe des abscisses.
- Signe : le signe de f(x) change en x0 ; il est celui de m pour x grand.
- Pour déterminer f, il suffit de deux informations (deux points, ou un point et la pente).