Fonctions affines

Ce chapitre étudie les fonctions dont la courbe est une droite. Il inclut les fonctions linéaires (cas particulier) et les fonctions affines (cas général). C'est un chapitre essentiel pour le brevet et la préparation au lycée.

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1. La fonction linéaire

1.1 Définition

Une fonction linéaire est une fonction de la forme :

$\boxed{f(x) = ax}$

où $a$ est un nombre fixé appelé coefficient.

Exemples : $f(x) = 3x$, $g(x) = -2x$, $h(x) = \dfrac{1}{4}x$.

💡 La fonction linéaire modélise la proportionnalité : le coefficient $a$ est le coefficient de proportionnalité. Si un produit coûte $3$ €/kg, le prix est $f(x) = 3x$ (fonction linéaire de coefficient $3$).

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1.2 Propriétés

• $f(0) = 0$ : la fonction linéaire passe toujours par l'origine.
• Si $a > 0$ : la fonction est croissante (la droite monte ↗).
• Si $a < 0$ : la fonction est décroissante (la droite descend ↘).
• Si $a = 0$ : $f(x) = 0$ pour tout $x$ (droite confondue avec l'axe des abscisses).

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1.3 Représentation graphique

La courbe d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine $O(0\;;\;0)$.

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1.4 Calculer le coefficient $a$

Si on connaît un point $A(x_A\;;\;y_A)$ de la droite (autre que l'origine) :

$a = \frac{y_A}{x_A} = \frac{f(x_A)}{x_A}$

Exemple : La droite passe par $O$ et par $A(4\;;\;6)$. Alors $a = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}$, donc $f(x) = \dfrac{3}{2}x$.

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2. La fonction affine

2.1 Définition

Une fonction affine est une fonction de la forme :

$\boxed{f(x) = ax + b}$

où :

• $a$ est le coefficient directeur (la pente de la droite)
• $b$ est l'ordonnée à l'origine (la valeur de $f(0)$)

Exemples :

• $f(x) = 2x + 3$ est affine ($a = 2$, $b = 3$).
• $g(x) = -x + 5$ est affine ($a = -1$, $b = 5$).
• $h(x) = 4x$ est linéaire ($a = 4$, $b = 0$).
• $k(x) = 7$ est constante ($a = 0$, $b = 7$).

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2.2 Représentation graphique

La courbe d'une fonction affine est une droite (qui ne passe pas forcément par l'origine).

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2.3 Lire les coefficients sur un graphique

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2.4 Sens de variation selon le signe de $a$

💡 Plus $|a|$ est grand, plus la droite est pentue. Plus $|a|$ est petit, plus la droite est plate.

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3. Calculer le coefficient directeur

3.1 Formule

Si on connaît deux points $A(x_A\;;\;y_A)$ et $B(x_B\;;\;y_B)$ de la droite :

$\boxed{a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}}$

C'est le rapport entre la variation verticale ($\Delta y$) et la variation horizontale ($\Delta x$).

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3.2 Exemple résolu

Deux points de la droite : $A(1\;;\;3)$ et $B(4\;;\;9)$.

$a = \frac{9 - 3}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$

Le coefficient directeur est $a = 2$ : quand $x$ augmente de $1$, $y$ augmente de $2$.

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4. Déterminer l'expression d'une fonction affine

4.1 À partir de deux points

Méthode : Étape 1 → Calculer $a$ avec la formule du coefficient directeur. Étape 2 → Trouver $b$ en remplaçant les coordonnées d'un point dans $f(x) = ax + b$.

Exemple résolu : La droite passe par $A(1\;;\;3)$ et $B(4\;;\;9)$.

Étape 1 → $a = \dfrac{9-3}{4-1} = \dfrac{6}{3} = 2$

Étape 2 → On utilise le point $A(1\;;\;3)$ : $f(1) = 2 \times 1 + b = 3$, donc $b = 3 - 2 = 1$.

$\boxed{f(x) = 2x + 1}$

Vérification avec $B$ : $f(4) = 2 \times 4 + 1 = 9$ ✅

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4.2 À partir du graphique

Étape 1 → Lire $b$ : c'est l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des ordonnées. Étape 2 → Lire $a$ : choisir deux points bien placés sur les graduations, puis appliquer la formule.

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4.3 À partir d'un point et du coefficient directeur

Si on connaît $a$ et un point $A(x_A\;;\;y_A)$ :

$b = y_A - a \times x_A$

Exemple : $a = -3$ et la droite passe par $(2\;;\;5)$ : $b = 5 - (-3) \times 2 = 5 + 6 = 11$ Donc $f(x) = -3x + 11$.

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5. Résolution graphique

5.1 Résoudre $f(x) = k$

On trace la droite horizontale $y = k$ et on lit l'abscisse du point d'intersection avec la droite de $f$.

Exemple : Résoudre $2x + 1 = 7$ graphiquement.

• On trace $y = 7$.
• L'intersection avec la droite $f(x) = 2x + 1$ se fait en $x = 3$.
• Vérification : $2 \times 3 + 1 = 7$ ✅

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5.2 Résoudre $f(x) = g(x)$

On lit les coordonnées du point d'intersection des deux droites.

Exemple : Résoudre $2x + 1 = -x + 7$ graphiquement.

• La droite $f(x) = 2x + 1$ et la droite $g(x) = -x + 7$ se coupent en $(2\;;\;5)$.
• Donc $x = 2$.
• Vérification : $f(2) = 5$ et $g(2) = -2 + 7 = 5$ ✅

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5.3 Résoudre $f(x) > k$ ou $f(x) > g(x)$

On cherche les zones où la courbe de $f$ est au-dessus de la droite $y = k$ (ou de la courbe de $g$).

Méthode : on repère le point d'intersection, puis on regarde de quel côté la droite $f$ est au-dessus de $g$ :

• Pour $x > 2$ : la droite de $f$ est au-dessus → $f(x) > g(x)$.
• Pour $x < 2$ : la droite de $f$ est en dessous → $f(x) < g(x)$.

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6. Signe d'une fonction affine

6.1 Zéro de la fonction

La fonction $f(x) = ax + b$ s'annule (vaut zéro) quand :

$ax + b = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{b}{a}$

Ce point s'appelle le zéro de la fonction (ou la racine).

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6.2 Tableau de signes

Le signe de $f(x)$ dépend du signe de $a$ :

Si $a > 0$ : la droite monte → $f(x)$ est négatif avant le zéro, puis positif après.

Si $a < 0$ : la droite descend → $f(x)$ est positif avant le zéro, puis négatif après.

💡 Moyen mnémotechnique : « Le signe de $f(x)$ est celui de $a$ pour les grandes valeurs de $x$. »

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6.3 Exemple résolu

Déterminer le signe de $f(x) = -2x + 6$.

Étape 1 → Zéro : $-2x + 6 = 0 \Rightarrow x = 3$.

Étape 2 → $a = -2 < 0$ → la fonction est positive avant $3$, négative après.

Vérification : $f(0) = 6 > 0$ ✅ et $f(5) = -4 < 0$ ✅

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7. Récapitulatif : les cas particuliers de fonctions affines

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📌 À retenir

1. Fonction linéaire : $f(x) = ax$ → droite passant par l'origine → modélise la proportionnalité.

2. Fonction affine : $f(x) = ax + b$ → droite quelconque.

   • $a$ = coefficient directeur (pente) : $a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$.
   • $b$ = ordonnée à l'origine : valeur de $f(0)$, lue à l'intersection avec l'axe des ordonnées.

3. Sens de variation : $a > 0$ → croissante ↗ ; $a < 0$ → décroissante ↘ ; $a = 0$ → constante →.

4. Déterminer $f(x) = ax + b$ : calculer $a$ (formule), puis $b$ (en remplaçant un point).

5. Résolution graphique : $f(x) = k$ → intersection avec $y = k$ ; $f(x) = g(x)$ → intersection des deux droites ; $f(x) > g(x)$ → zones où $f$ est au-dessus.

6. Signe : $f(x) = ax + b$ s'annule en $x = -b/a$. Le signe de $f$ est celui de $a$ « à droite » du zéro.