Fonctions affines

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Fiche de révision

Terme	Définition
Fonction affine	Fonction de la forme $f(x) = ax + b$ . Sa représentation graphique est une droite.
Fonction linéaire	Cas particulier où $b = 0$ : $f(x) = ax$ . La droite passe par l'origine. Traduit une situation de proportionnalité.
Fonction constante	Cas particulier où $a = 0$ : $f(x) = b$ . La droite est horizontale. C'est bien une fonction affine !
Coefficient directeur $a$	Indique la pente de la droite (si $a > 0$ : croissante, si $a < 0$ : décroissante).
Ordonnée à l'origine $b$	Valeur de $f(0)$ . C'est le point où la droite coupe l'axe des ordonnées : point $(0\,;\,b)$ .

Objet	Formule
Expression générale	$f(x) = ax + b$
Coefficient directeur entre deux points $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$	$a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$
Ordonnée à l'origine	$b = f(0)$ , ou bien $b = y_A - a \times x_A$
Signe de $f(x)$ — zéro de la fonction	$f(x) = 0 \iff x = \dfrac{-b}{a}$ (si $a \neq 0$ )

Lire $b$ : repérer où la droite coupe l'axe des ordonnées → $b = f(0)$ .
Calculer $a$ : choisir deux points à coordonnées entières sur la droite, puis appliquer $a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ .

Problème	Méthode graphique
$f(x) = k$	Tracer $y = k$ (horizontale) → lire l'abscisse du point d'intersection.
$f(x) = g(x)$	Lire les coordonnées du point d'intersection des deux droites.
$f(x) > k$	Repérer la zone où la droite est au-dessus de $y = k$ → lire l'intervalle de $x$ .

	$x < \dfrac{-b}{a}$	$x = \dfrac{-b}{a}$	$x > \dfrac{-b}{a}$
Si $a > 0$	$f(x) < 0$	$f(x) = 0$	$f(x) > 0$
Si $a < 0$	$f(x) > 0$	$f(x) = 0$	$f(x) < 0$

❌ Erreur fréquente	✅ Correction
Confondre $a$ et $b$	$a$ = pente (devant $x$ ), $b$ = ordonnée à l'origine (terme seul)
Inverser la formule : $a = \dfrac{x_B - x_A}{y_B - y_A}$	C'est $a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ → les $y$ au numérateur !
Croire que toute droite est linéaire	Linéaire uniquement si $b = 0$ (passe par l'origine)
Oublier que $y = 3$ est affine	Si, c'est $f(x) = 0x + 3$ → affine avec $a = 0$
Lire $f(x)$ au lieu de $x$ lors d'une résolution graphique	On cherche l'abscisse, pas l'ordonnée !

Linéaire $\subset$ Affine : toute fonction linéaire est affine, mais pas l'inverse.
$a > 0$ → fonction croissante / $a < 0$ → fonction décroissante.
$b$ se lit toujours sur l'axe des ordonnées, à $x = 0$ .
Pour trouver $a$ : variation des $y$ divisée par variation des $x$ .
Résoudre graphiquement = lire des abscisses sur le graphique.

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