Fonctions — Introduction (4ème)

1. Programme de calcul

Qu'est-ce qu'un programme de calcul ?

Un programme de calcul est une suite d'opérations (étapes) que l'on applique à un nombre de départ pour obtenir un résultat.

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🔢 Exemple de programme :

Nombre de départ → ✖️ Multiplier par $3$ → ➕ Ajouter $5$ → 🎯 Résultat

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Appliquer un programme à un nombre simple

Exemple : Appliquons ce programme au nombre $4$.

• Étape 1 → On part de $4$
• Étape 2 → On multiplie par $3$ : $4 \times 3 = 12$
• Étape 3 → On ajoute $5$ : $12 + 5 = 17$

🎯 Le résultat est $17$.

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Appliquer un programme à une variable

On remplace le nombre de départ par une lettre (souvent $x$), appelée variable : elle représente n'importe quel nombre.

Avec le même programme, si le nombre de départ est $x$ :

• Étape 1 → On part de $x$
• Étape 2 → On multiplie par $3$ : $x \times 3 = 3x$
• Étape 3 → On ajoute $5$ : $3x + 5$

🎯 L'expression littérale obtenue est $3x + 5$.

2. Remonter un programme de calcul

Remonter un programme, c'est partir du résultat pour retrouver le nombre de départ. On effectue les opérations inverses, dans l'ordre inverse.

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🎯 Résultat → ➖ Soustraire $5$ → ➗ Diviser par $3$ → 🔢 Nombre de départ

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Exemple résolu pas à pas : Le résultat du programme précédent est $20$. Quel était le nombre de départ ?

• Étape 1 → On part du résultat : $20$
• Étape 2 → L'inverse de « ajouter $5$ » est « soustraire $5$ » : $20 - 5 = 15$
• Étape 3 → L'inverse de « multiplier par $3$ » est « diviser par $3$ » : $15 \div 3 = 5$

🎯 Le nombre de départ était $5$.

Vérification : $5 \xrightarrow{\times 3} 15 \xrightarrow{+5} 20$ ✅

3. La dépendance entre deux grandeurs

Comprendre la notion

En mathématiques, on dit qu'une grandeur dépend d'une autre lorsque la valeur de l'une est déterminée par la valeur de l'autre.

Exemple concret : Le prix d'un plein d'essence dépend du nombre de litres achetés. Si un litre coûte $1{,}80$ €, alors :

$\text{Prix} = 1{,}80 \times \text{nombre de litres}$

Le prix est fonction du nombre de litres.

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Produire une formule littérale

On note la variable $x$ pour la grandeur dont on connaît la valeur, et on exprime l'autre grandeur en fonction de $x$.

Exemple : Un rectangle a une largeur de $5$ cm et une longueur de $x$ cm.

📐 Son périmètre $P$ vaut :

$P = 2 \times (x + 5) = 2x + 10$

📏 Son aire $A$ vaut :

$A = 5 \times x = 5x$

$P$ et $A$ sont exprimés en fonction de $x$.

4. Représenter par un graphique

On peut représenter graphiquement la dépendance entre deux grandeurs en plaçant des points dans un repère :

• L'axe horizontal (abscisses) porte la variable $x$
• L'axe vertical (ordonnées) porte le résultat

Exemple complet : On reprend $A = 5x$. On construit un tableau de valeurs, puis on place les points.

Méthode pour tracer le graphique :

• Étape 1 → Tracer un repère avec les axes et les graduations
• Étape 2 → Reporter chaque couple $(x\, ;\, A)$ comme un point : $(1\, ;\, 5)$, $(2\, ;\, 10)$, etc.
• Étape 3 → Relier les points si la grandeur varie de manière continue

📊 Ici, les points sont alignés : quand $x$ augmente de $1$, $A$ augmente toujours de $5$. On reconnaît une situation de proportionnalité (le graphique passe par l'origine).

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📌 À retenir

• Un programme de calcul appliqué à une variable $x$ donne une expression littérale (ex : $3x + 5$).
• Pour remonter un programme de calcul, on effectue les opérations inverses dans l'ordre inverse.
• Quand une grandeur dépend d'une autre, on peut écrire une formule en fonction de $x$ (ex : $A = 5x$).
• On représente cette dépendance par un tableau de valeurs puis un graphique dans un repère.
• Sur un graphique, l'axe horizontal porte la variable, l'axe vertical porte le résultat : chaque point a pour coordonnées $(x\, ;\, \text{résultat})$.