Fonctions — Découverte

L'expression « en fonction de »

Comprendre la dépendance entre deux grandeurs

Dans la vie courante, une grandeur dépend souvent d'une autre. On dit alors qu'elle varie « en fonction de » cette autre grandeur.

• Le prix des fruits varie en fonction de la masse achetée.
• La distance parcourue varie en fonction du temps de trajet.
• La note obtenue varie en fonction du nombre de bonnes réponses.

Définition : Quand une grandeur dépend d'une autre, on peut associer à chaque valeur de départ une unique valeur d'arrivée. Cette relation s'appelle une fonction.

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Traduire par une formule

Écrire la relation mathématique

On peut souvent exprimer la relation entre deux grandeurs par une formule.

Exemple concret : Un cinéma propose des places à $5$ € chacune. Le prix total $P$ dépend du nombre de places $n$. On écrit :

$P = 5 \times n$

On dit : « $P$ est en fonction de $n$ ».

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Produire, lire et interpréter un tableau de valeurs

Construire un tableau

Un tableau de valeurs regroupe des couples de valeurs liées par la fonction.

Exemple : Avec la formule $P = 5 \times n$ (prix au cinéma) :

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Interpréter un tableau

• Lire : Pour $n = 4$, on lit $P = 20$ €. Donc 4 places coûtent 20 €.
• Produire : On me demande $P$ pour $n = 10$ → je calcule $P = 5 \times 10 = 50$ €.
• Retrouver : Le prix est 15 € → je cherche $n$ tel que $5 \times n = 15$, donc $n = 3$.

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Placer des points dans un repère et lire un graphique

Le repère orthogonal 📐

Un repère orthogonal est formé de deux axes perpendiculaires :

• l'axe horizontal (axe des abscisses) → la grandeur de départ
• l'axe vertical (axe des ordonnées) → la grandeur d'arrivée

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🔢 Méthode : placer un point dans le repère

Étape 1 → Lire la valeur sur l'axe horizontal (ex : $n = 3$) Étape 2 → Calculer ou lire la valeur correspondante (ex : $P = 15$) Étape 3 → Repérer $3$ sur l'axe horizontal, monter ⬆️ jusqu'à $15$ Étape 4 → Marquer le point ✏️ de coordonnées $(3\, ;\, 15)$

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Exemple résolu pas à pas

Plaçons les points de notre tableau $P = 5 \times n$ :

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Lire et interpréter un graphique cartésien

Pour lire un graphique, on fait le chemin inverse :

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📊 Lecture d'un point sur le graphique

Axe horizontal → repérer la position du point → descendre ⬇️ → lire l'abscisse Axe vertical → repérer la position du point → aller à gauche ⬅️ → lire l'ordonnée

Résultat : on obtient le couple $(abscisse\, ;\, ordonnée)$

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Caractériser graphiquement la proportionnalité

Reconnaître la proportionnalité sur un graphique

Propriété fondamentale : Lorsque deux grandeurs sont proportionnelles, le graphique est constitué de points alignés avec l'origine $(0\, ;\, 0)$.

Notre exemple $P = 5 \times n$ est une situation de proportionnalité (coefficient : $5$).

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📐 Proportionnel ou non ? Méthode graphique

✅ Proportionnel : $(0;0)$ ———— • ———— • ———— • → Points alignés passant par l'origine

❌ Non proportionnel (cas 1) : $(0;0)$ ———— • ——• ————— • → Points non alignés (courbe)

❌ Non proportionnel (cas 2) : $(0;3)$ ———— • ———— • ———— • → Alignés mais ne passent PAS par l'origine

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Comment vérifier ?

Contre-exemple : Un forfait téléphone coûte $10$ € par mois $+ \ 0{,}05$ € par SMS. Pour $x$ SMS, le prix est $P = 10 + 0{,}05 \times x$. Quand $x = 0$, $P = 10 \neq 0$. Le graphique ne passe pas par l'origine : ce n'est pas proportionnel.

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📌 À retenir

1. « En fonction de » signifie qu'une grandeur dépend d'une autre : à chaque valeur de départ correspond une seule valeur d'arrivée.
2. Un tableau de valeurs organise les couples de valeurs ; une formule (comme $P = 5 \times n$) traduit la relation mathématiquement.
3. Dans un repère orthogonal, chaque couple de valeurs donne un point de coordonnées $(x\, ;\, y)$ : abscisse à l'horizontale, ordonnée à la verticale.
4. Pour lire un graphique, on repère un point puis on lit ses coordonnées sur les deux axes.
5. Deux grandeurs sont proportionnelles si et seulement si les points du graphique sont alignés avec l'origine $(0\, ;\, 0)$.