Fonctions polynômes du second degré

En seconde, tu as étudié la fonction carré $x \mapsto x^2$ et sa parabole. Ce chapitre généralise à toutes les fonctions de la forme $x \mapsto ax^2 + bx + c$ : leur courbe est encore une parabole, et l'on apprend à répondre à trois questions qui reviennent sans cesse, en maths comme en physique ou en économie.

• Où la fonction s'annule-t-elle ? C'est résoudre une équation du second degré.
• Quel est son signe ? C'est résoudre une inéquation.
• Quel est son maximum ou son minimum ? C'est un problème d'optimisation.

La clé du chapitre : une même fonction s'écrit sous trois formes, et chaque forme répond à une question différente.

1. Fonction polynôme du second degré

1.1 Définition

Une fonction polynôme du second degré (on dit aussi un trinôme) est une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$\boxed{f(x) = ax^2 + bx + c} \qquad \text{avec } a, b, c \text{ réels et } a \neq 0$

Cette écriture est la forme développée réduite.

Exemples :

• $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$ : $a = 2$, $b = -3$, $c = 1$.
• $g(x) = -x^2 + 4$ : $a = -1$, $b = 0$, $c = 4$.
• $h(x) = 3x(x - 2) = 3x^2 - 6x$ : $a = 3$, $b = -6$, $c = 0$ (il faut développer pour lire les coefficients).

Contre-exemples : $x \mapsto 2x + 1$ n'est pas du second degré ($a = 0$), $x \mapsto x^3 - x^2$ non plus (degré $3$).

1.2 La parabole

La courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré est une parabole. Son allure dépend du signe de $a$ :

• si $a > 0$, la parabole est tournée vers le haut (elle « sourit ») et possède un minimum ;
• si $a < 0$, la parabole est tournée vers le bas et possède un maximum.

Le point le plus bas (ou le plus haut) est le sommet $S$. La parabole est symétrique par rapport à la droite verticale passant par $S$ : c'est son axe de symétrie.

2. Forme canonique, sommet et variations

2.1 La complétion du carré

L'outil est l'identité, valable pour tous réels $x$ et $a$ :

$\boxed{x^2 + 2ax = (x + a)^2 - a^2}$

Elle vient de $(x + a)^2 = x^2 + 2ax + a^2$ : on « complète » $x^2 + 2ax$ en un carré parfait, puis on retire ce qu'on a ajouté en trop.

Exemples :

• $x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9$ (ici $2a = 6$ donc $a = 3$).
• $x^2 - 4x + 3 = (x - 2)^2 - 4 + 3 = (x - 2)^2 - 1$.
• $2x^2 + 8x + 3 = 2(x^2 + 4x) + 3 = 2\left[(x + 2)^2 - 4\right] + 3 = 2(x + 2)^2 - 5$.

Dans le dernier exemple, on a d'abord factorisé par $a$ les termes en $x^2$ et en $x$ avant de compléter le carré.

2.2 Forme canonique

Toute fonction polynôme du second degré peut s'écrire sous la forme canonique :

$\boxed{f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta}$

Le sommet de la parabole est alors $S(\alpha\,;\,\beta)$ et l'axe de symétrie a pour équation $x = \alpha$.

Exemple : $f(x) = x^2 - 4x + 3 = (x - 2)^2 - 1$ : ici $\alpha = 2$ et $\beta = -1$, le sommet est $S(2\,;\,-1)$, ce qu'on lit sur le graphique ci-dessus.

📌 À connaître : l'abscisse du sommet est toujours

$\alpha = -\frac{b}{2a} \qquad \text{et} \qquad \beta = f(\alpha).$

En effet, $ax^2 + bx = a\left(x^2 + \dfrac{b}{a}x\right) = a\left[\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{b^2}{4a^2}\right]$ : le carré s'annule pour $x = -\dfrac{b}{2a}$. Le calcul de la forme canonique dans le cas général n'est pas exigible, mais la formule $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ est utilisée en permanence.

Exemple : $g(x) = -2x^2 + 8x - 3$. On a $\alpha = -\dfrac{8}{2 \times (-2)} = 2$ et $\beta = g(2) = -8 + 16 - 3 = 5$. Donc $g(x) = -2(x - 2)^2 + 5$ et le sommet est $S(2\,;\,5)$.

2.3 Variations et extremum

Comme $(x - \alpha)^2 \geqslant 0$, la quantité $a(x - \alpha)^2$ est du signe de $a$ et s'annule seulement en $x = \alpha$.

Exemple : $g(x) = -2(x - 2)^2 + 5$ : $a = -2 < 0$, donc $g$ admet un maximum égal à $5$, atteint en $x = 2$.

La symétrie se traduit par $f(\alpha - h) = f(\alpha + h)$ pour tout $h$ : deux abscisses à égale distance de $\alpha$ ont la même image.

3. Forme factorisée, racines et signe

3.1 Racines et forme factorisée

Une racine de $f$ est un réel $x_0$ tel que $f(x_0) = 0$. Graphiquement, c'est l'abscisse d'un point où la parabole coupe l'axe des abscisses.

Lorsque $f$ admet deux racines $x_1$ et $x_2$, elle s'écrit sous forme factorisée :

$\boxed{f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)}$

Exemple : $f(x) = 2(x - 1)(x + 3)$ a pour racines $1$ et $-3$. En développant : $f(x) = 2(x^2 + 2x - 3) = 2x^2 + 4x - 6$.

3.2 Signe d'une fonction donnée sous forme factorisée

Pour $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ avec $x_1 < x_2$, on dresse un tableau de signes : chaque facteur du premier degré change de signe en sa racine, et l'on multiplie les signes colonne par colonne.

Exemple : $f(x) = 2(x - 1)(x + 3)$, racines $-3$ et $1$.

🎯 Règle à retenir : une fonction polynôme du second degré est du signe de $a$ à l'extérieur des racines, et du signe opposé entre les racines.

3.3 Somme et produit des racines

En développant $a(x - x_1)(x - x_2) = ax^2 - a(x_1 + x_2)x + a\,x_1 x_2$ et en comparant avec $ax^2 + bx + c$ :

$\boxed{x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a}}$

C'est très utile pour trouver des racines entières de tête.

Exemple : $x^2 - 7x + 12$. On cherche deux nombres de somme $7$ et de produit $12$ : $3$ et $4$. Donc $x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)$.

Exemple (racine évidente) : $x^2 - 5x + 4$. Comme $1 - 5 + 4 = 0$, le nombre $1$ est racine. Le produit des racines vaut $\dfrac{c}{a} = 4$, donc l'autre racine est $4$ : $x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4)$.

3.4 Trouver les fonctions qui s'annulent en deux réels donnés

Les fonctions polynômes du second degré qui s'annulent en $x_1$ et $x_2$ (distincts) sont exactement les $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ avec $a \neq 0$ : il y en a une infinité, une pour chaque valeur de $a$. Une condition supplémentaire fixe $a$.

Exemple : la fonction qui s'annule en $-2$ et $5$ et vérifie $f(0) = 20$ : $f(x) = a(x + 2)(x - 5)$ et $f(0) = a \times 2 \times (-5) = -10a = 20$, donc $a = -2$ et $f(x) = -2(x + 2)(x - 5)$.

4. Résoudre une équation du second degré : le discriminant

4.1 Le théorème

Soit l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ avec $a \neq 0$. On appelle discriminant le nombre

$\boxed{\Delta = b^2 - 4ac}$

4.2 Démonstration (exigible)

On part de la forme canonique. Pour tout $x$ :

$ax^2 + bx + c = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2}\right] + c = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}\right] = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right]$

Comme $a \neq 0$, l'équation équivaut à $\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = \dfrac{\Delta}{4a^2}$.

• Si $\Delta < 0$ : le membre de droite est strictement négatif, un carré ne peut pas lui être égal. Aucune solution.
• Si $\Delta = 0$ : $\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = 0$, donc $x = -\dfrac{b}{2a}$. Une solution.
• Si $\Delta > 0$ : $\dfrac{\Delta}{4a^2} = \left(\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2$, et l'on reconnaît une différence de deux carrés :

$\left(x + \frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x + \frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right) = 0$

d'où les deux solutions $x = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$. Cette écriture donne aussi la factorisation $a(x - x_1)(x - x_2)$.

4.3 Exemples

$2x^2 - 5x - 3 = 0$. $\Delta = (-5)^2 - 4 \times 2 \times (-3) = 25 + 24 = 49 > 0$. Deux solutions :

$x_1 = \frac{5 - 7}{4} = -\frac{1}{2} \qquad x_2 = \frac{5 + 7}{4} = 3$

Factorisation : $2x^2 - 5x - 3 = 2\left(x + \dfrac{1}{2}\right)(x - 3) = (2x + 1)(x - 3)$.

$x^2 + 4x + 4 = 0$. $\Delta = 16 - 16 = 0$. Une solution $x_0 = -\dfrac{4}{2} = -2$. On reconnaît d'ailleurs $(x + 2)^2$.

$x^2 + x + 1 = 0$. $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$. Aucune solution : la parabole ne coupe pas l'axe des abscisses.

⚠️ Avant de sortir le discriminant, regarde si une méthode plus rapide s'applique : coefficient $b$ nul, identité remarquable, racine évidente (partie 6). Le discriminant marche toujours, mais il est plus long et source d'erreurs de signe.

4.4 Avec Python

from math import sqrt

def racines(a, b, c):
    delta = b**2 - 4*a*c
    if delta < 0:
        return []
    if delta == 0:
        return [-b / (2*a)]
    return [(-b - sqrt(delta)) / (2*a), (-b + sqrt(delta)) / (2*a)]

# racines(2, -5, -3) renvoie [-0.5, 3.0]

5. Signe d'un trinôme et inéquations

La règle de la partie 3 s'étend à tous les cas grâce au discriminant.

Exemple : résoudre $-x^2 + 2x + 8 > 0$.

$\Delta = 4 + 32 = 36$, racines $x_1 = \dfrac{-2 - 6}{-2} = 4$ et $x_2 = \dfrac{-2 + 6}{-2} = -2$. Comme $a = -1 < 0$, le trinôme est positif entre les racines : $S = \,]-2\,;\,4[$.

Exemple : $x^2 + x + 3 > 0$. $\Delta = 1 - 12 = -11 < 0$ et $a = 1 > 0$ : le trinôme est strictement positif pour tout $x$, $S = \mathbb{R}$.

6. Factoriser malin : choisir la bonne stratégie

Pour $3x^2 - 7x + 4$ : comme $3 - 7 + 4 = 0$, le nombre $1$ est racine ; le produit des racines vaut $\dfrac{4}{3}$, donc l'autre racine est $\dfrac{4}{3}$, et $3\left(x - 1\right)\left(x - \dfrac{4}{3}\right) = (x - 1)(3x - 4)$.

7. Choisir la forme adaptée

Face à un problème, la première question à se poser est donc : « de quelle forme ai-je besoin ? », puis « comment l'obtenir à partir de celle que j'ai ? ».

8. Exemple résolu pas à pas

Énoncé. Un jardinier dispose de $40$ m de grillage pour clôturer un enclos rectangulaire adossé à un mur : le mur forme un côté, le grillage forme les trois autres. On note $x$ la longueur, en mètres, de chacun des deux côtés perpendiculaires au mur.

1. Montrer que l'aire de l'enclos est $A(x) = -2x^2 + 40x$ et préciser les valeurs possibles de $x$.
2. Pour quelle valeur de $x$ l'aire est-elle maximale ? Quelle est cette aire ?
3. Pour quelles valeurs de $x$ l'aire est-elle supérieure ou égale à $150$ m² ?

Résolution.

1. Les deux côtés perpendiculaires au mur consomment $2x$ m de grillage, il reste $40 - 2x$ m pour le côté parallèle au mur. L'aire vaut $A(x) = x(40 - 2x) = -2x^2 + 40x$. Il faut $x > 0$ et $40 - 2x > 0$, soit $0 < x < 20$.

2. On cherche un maximum : forme canonique. Avec $a = -2$ et $b = 40$, $\alpha = -\dfrac{40}{2 \times (-2)} = 10$ et $\beta = A(10) = -200 + 400 = 200$. Donc $A(x) = -2(x - 10)^2 + 200$. Comme $a < 0$, l'aire est maximale pour $x = 10$ et vaut $200$ m² : l'enclos mesure $10$ m sur $20$ m.

3. On cherche un signe : forme factorisée. $A(x) \geqslant 150$ équivaut à $-2x^2 + 40x - 150 \geqslant 0$, soit, en divisant par $-2$ (ce qui change le sens de l'inégalité), $x^2 - 20x + 75 \leqslant 0$.

$\Delta = 400 - 300 = 100$, racines $\dfrac{20 - 10}{2} = 5$ et $\dfrac{20 + 10}{2} = 15$. Le trinôme $x^2 - 20x + 75$ ($a = 1 > 0$) est négatif entre ses racines : l'aire dépasse $150$ m² pour $x \in [5\,;\,15]$.

📌 À retenir

1. $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$ ; courbe = parabole, tournée vers le haut si $a > 0$, vers le bas si $a < 0$.
2. Forme canonique $a(x - \alpha)^2 + \beta$ avec $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$ : sommet, extremum, variations. Complétion du carré : $x^2 + 2ax = (x + a)^2 - a^2$.
3. Discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ : deux racines $\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ si $\Delta > 0$, une si $\Delta = 0$, aucune si $\Delta < 0$.
4. Forme factorisée $a(x - x_1)(x - x_2)$ : racines et signe. Somme des racines $-\dfrac{b}{a}$, produit $\dfrac{c}{a}$.
5. Signe : celui de $a$ à l'extérieur des racines, l'opposé entre les racines ; celui de $a$ partout si $\Delta < 0$.
6. Avant le discriminant, chercher une factorisation rapide : $b = 0$, $c = 0$, identité remarquable, racine évidente, somme et produit.