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Fonctions polynômes du second degré

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Fiche de révision

📝 Fiche de révision — Fonctions polynômes du second degré

📖 Définitions clés

Terme	Définition
Fonction polynôme du second degré (trinôme)	$f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$ (forme développée)
Parabole	Courbe de $f$ ; tournée vers le haut si $a > 0$ , vers le bas si $a < 0$
Sommet $S(\alpha\,;\,\beta)$	Point le plus bas ( $a > 0$ ) ou le plus haut ( $a < 0$ ) de la parabole ; l'axe de symétrie est la droite $x = \alpha$
Forme canonique	$f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$
Racine	Réel $x_0$ tel que $f(x_0) = 0$ ; abscisse d'un point d'intersection avec l'axe des abscisses
Forme factorisée	$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ quand $f$ a deux racines $x_1$ et $x_2$
Discriminant	$\Delta = b^2 - 4ac$ : son signe donne le nombre de racines

📐 Formules essentielles

Formule	Usage
$x^2 + 2ax = (x + a)^2 - a^2$	Complétion du carré, pour obtenir la forme canonique
$\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ , $\beta = f(\alpha)$	Coordonnées du sommet
$\Delta = b^2 - 4ac$	Discriminant
$x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ , $x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$	Racines si $\Delta > 0$ ; si $\Delta = 0$ , racine double $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ ; si $\Delta < 0$ , aucune
$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$	Factorisation ( $\Delta > 0$ ) ; $a(x - x_0)^2$ si $\Delta = 0$ ; impossible si $\Delta < 0$
$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ , $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$	Somme et produit des racines : trouver des racines entières de tête, ou la seconde racine à partir d'une racine évidente

📊 Variations et signe

Variations (forme canonique) :

$a > 0$	$a < 0$
↘ sur $]-\infty\,;\,\alpha]$ puis ↗ sur $[\alpha\,;\,+\infty[$	↗ sur $]-\infty\,;\,\alpha]$ puis ↘ sur $[\alpha\,;\,+\infty[$
minimum $\beta$ atteint en $\alpha$	maximum $\beta$ atteint en $\alpha$

Signe (règle générale) : $ax^2 + bx + c$ est du signe de $a$ à l'extérieur des racines et du signe opposé entre les racines. Si $\Delta = 0$ : signe de $a$ partout, nul en $x_0$ . Si $\Delta < 0$ : signe de $a$ partout.

✅ Méthodes

Résoudre $ax^2 + bx + c = 0$ :

Regarder d'abord si une méthode rapide s'applique : $b = 0$ (différence de carrés), $c = 0$ (facteur $x$ ), identité remarquable, racine évidente ( $a + b + c = 0 \Rightarrow 1$ est racine ; $a - b + c = 0 \Rightarrow -1$ est racine), somme et produit.
Sinon, calculer $\Delta$ , conclure selon son signe, appliquer les formules.
Vérifier en remplaçant une racine dans l'équation.

Résoudre une inéquation $ax^2 + bx + c \geqslant 0$ (ou $\leqslant$ , $>$ , $<$ ) :

Tout ramener dans un seul membre, l'autre valant $0$ .
Trouver les racines (méthode ci-dessus).
Dresser le tableau de signes avec la règle « signe de $a$ à l'extérieur ».
Lire l'ensemble des solutions, avec des crochets adaptés (racines incluses pour $\geqslant$ et $\leqslant$ ).

Trouver un extremum (optimisation) :

Exprimer la grandeur à optimiser comme un trinôme $f(x)$ , avec l'intervalle des valeurs possibles de $x$ .
Calculer $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$ .
$a < 0$ : maximum $\beta$ en $\alpha$ ; $a > 0$ : minimum. Vérifier que $\alpha$ est dans l'intervalle.

Choisir la bonne forme :

Je cherche…	J'utilise la forme…
$f(0)$ , le discriminant	développée
le sommet, l'extremum, les variations	canonique
les racines, le signe, une inéquation	factorisée

⚠️ Pièges à éviter

Piège	Correction
Erreur de signe dans $\Delta$	$\Delta = b^2 - 4ac$ : avec $c < 0$ , $-4ac$ devient positif ; écrire les parenthèses : $\Delta = (-5)^2 - 4 \times 2 \times (-3)$
Oublier $a$ dans la forme factorisée	$2x^2 - 5x - 3 = 2(x - 3)\left(x + \dfrac{1}{2}\right)$ , pas $(x - 3)\left(x + \dfrac{1}{2}\right)$
Diviser une inéquation par un nombre négatif sans changer le sens	$-2x^2 + 40x - 150 \geqslant 0 \iff x^2 - 20x + 75 \leqslant 0$
Conclure « pas de solution » pour l'inéquation quand $\Delta < 0$	Si $\Delta < 0$ , le trinôme est du signe de $a$ partout : la solution est $\mathbb{R}$ ou $\varnothing$ selon l'inégalité
Confondre extremum et abscisse du sommet	Le maximum est $\beta = f(\alpha)$ , il est atteint en $\alpha$
Compléter le carré sans factoriser par $a$	$2x^2 + 8x = 2(x^2 + 4x) = 2\left[(x + 2)^2 - 4\right]$

📌 À retenir

Trois formes, trois usages : développée ( $f(0)$ , $\Delta$ ), canonique (sommet, extremum), factorisée (racines, signe).
$\Delta = b^2 - 4ac$ ; racines $\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ si $\Delta > 0$ .
Signe : celui de $a$ à l'extérieur des racines, l'opposé entre.
Sommet en $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ ; complétion du carré $x^2 + 2ax = (x + a)^2 - a^2$ .
Avant le discriminant : racine évidente, somme et produit, identité remarquable.

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